任意單光子兩自由度量子態(tài)的概率遠(yuǎn)程制備

王美玉， 郝全枝, 付亮雪， 邸 冰

(1.河北師范大學(xué) 物理學(xué)院，河北 石家莊 050024; 2.河北科技工程職業(yè)技術(shù)大學(xué) 基礎(chǔ)課部，河北 邢臺(tái) 054000)

量子通信的核心任務(wù)之一是將攜帶信息的量子態(tài)從發(fā)送端安全地傳送到距離遙遠(yuǎn)的接收端.量子態(tài)遠(yuǎn)程制備(RSP)[1-3]是量子通信領(lǐng)域中比較典型的通信方式，也稱為已知量子態(tài)的隱形傳輸.它的基本思想是發(fā)送方利用共享的量子糾纏，根據(jù)已知的量子態(tài)信息對(duì)手中量子比特進(jìn)行適當(dāng)?shù)牟僮骱蜏y(cè)量，幫助接收方在其擁有的量子位上制備出該量子態(tài).與量子隱形傳態(tài)相比，完成該過(guò)程所需要的通信資源較少，并且所需的糾纏和經(jīng)典通信可相互協(xié)調(diào)，因此遠(yuǎn)程態(tài)制備在量子遠(yuǎn)程通信和量子網(wǎng)絡(luò)方面具有巨大的應(yīng)用潛力.近年來(lái)，利用糾纏進(jìn)行量子態(tài)的遠(yuǎn)程制備引起了人們的廣泛關(guān)注[4-7]，一些在光學(xué)上的RSP實(shí)驗(yàn)[8-12]也曾見(jiàn)到報(bào)道.

光子是長(zhǎng)距離量子通信中一種理想的信息載體，在量子信息處理和傳輸過(guò)程中有著非常重要的應(yīng)用.這是因?yàn)楣庾硬粌H具有快的傳輸速度和顯著的低噪聲特性，而且具有極化、頻率、軌道角動(dòng)量、時(shí)間和空間模等多個(gè)自由度.作為量子信息載體的光子之間既能在單個(gè)自由度上產(chǎn)生糾纏，還可以在多個(gè)自由度間同時(shí)實(shí)現(xiàn)糾纏，即超糾纏態(tài).將光子系統(tǒng)超糾纏態(tài)應(yīng)用于量子遠(yuǎn)程通信，能夠大大提高量子信道的容量和通信安全.隨著超糾纏態(tài)的提出，利用超糾纏作為量子信道的RSP也引起了人們的極大興趣，如借助光子的空間模自由度實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)程制備單光子極化自由度量子態(tài)[13-16].2008年， Barreiro等[17]遠(yuǎn)程制備了自旋-軌道角動(dòng)量單光子量子態(tài).隨后，他們利用編碼在自旋-軌道角動(dòng)量的單光子態(tài)，實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)了遠(yuǎn)程制備單光子“hybrid”糾纏態(tài)[18].近年來(lái)，兩自由度，如極化-空間模[19]、極化-頻率以及極化-時(shí)間[20]的單光子量子態(tài)RSPs陸續(xù)被提出.在這些RSPs中，雙方擁有最大超糾纏態(tài)，發(fā)送方先對(duì)自己手中的光子進(jìn)行幺正變換，對(duì)兩自由度的操作彼此獨(dú)立互不影響，然后再進(jìn)行單光子投影測(cè)量，通過(guò)單向經(jīng)典通信協(xié)助接收方制備出兩自由度單光子態(tài).

實(shí)際上，在長(zhǎng)距離的量子通信中環(huán)境噪聲是不可避免的，如熱波動(dòng)、振動(dòng)、光纖的不完善、雙折射，以及其他退相干效應(yīng).光子與環(huán)境之間的這種相互作用將使最大超糾纏態(tài)變成部分糾纏態(tài)，這將極大地影響遠(yuǎn)程量子通信的效率和安全.本文中，筆者研究了量子信道為部分超糾纏Bell態(tài)時(shí)任意單光子極化-時(shí)間兩自由度量子態(tài)的遠(yuǎn)程制備，計(jì)算了成功概率.

1 兩自由度單光子態(tài)的概率遠(yuǎn)程制備

假設(shè)通信雙方Alice和Bob之間的量子信道為部分超糾纏Bell態(tài)

|Φ〉A(chǔ)B=(a|HH〉+b|VV〉)(c|SS〉+d|LL〉)AB，

(1)

其中下標(biāo)A和B表示分屬于Alice和Bob的2個(gè)光子，|H〉和|V〉表示光子水平和垂直極化態(tài)，S和L為時(shí)間自由度的2個(gè)分量，表示光子到達(dá)的不同時(shí)間.量子通道的4個(gè)參數(shù)是已知的，且滿足歸一化條件

|a|2+|b|2=1,|c|2+|d|2=1.

Alice要幫助Bob制備的極化-時(shí)間單光子態(tài)為

|ψ〉B=(α0|H〉+β0|V〉)(α1|S〉+β1|L〉)B,

(2)

其系數(shù)滿足歸一化條件|α0|2+|β0|2=1,|α1|2+|β1|2=1.Alice完全知道α0,β0，α1,β1，但是Bob并不知道.

Alice對(duì)光子A進(jìn)行局域操作的量子線路如圖1所示.該線路主要由光學(xué)元件PBS,Rθ，PC等構(gòu)成.PBS是極化分束器，可以讓水平極化入射光子透射，而讓垂直極化入射光子反射.Rθ為波片，其作用是|H〉→cosθ|H〉+sinθ|V〉,|V〉→-sinθ|H〉+cosθ|V〉.普克爾斯盒PCS(PCL)表示時(shí)間分量S(L)出現(xiàn)時(shí)對(duì)光子極化態(tài)進(jìn)行比特翻轉(zhuǎn)操作σx.每對(duì)PBS組成一個(gè)Mach-Zehnder干涉儀(MZI),其作用可用下式表示:

圖1 Alice對(duì)光子A進(jìn)行局域操作的量子線路Fig.1 Schematic Diagram of Manipulating Photon A

(3)

其中X表示H或V,Xij(i,j=L,S)代表時(shí)間分量i經(jīng)過(guò)MZI的路徑j(luò),這樣能夠消除光子的2個(gè)時(shí)間分量S和L之間的差別.Di(i=1,2,3,4)則為單光子探測(cè)器.

光子A依次通過(guò)PBS1,Rθ1(Rθ2),PBS2(PBS3),光子對(duì)AB的量子態(tài)演化為

[a(cosθ1|H〉+sinθ1|V〉)a1|H〉+b(-sinθ2|H〉+

(4)

其中

(5)

如果單光子探測(cè)器D1，D2沒(méi)有探測(cè)到光子A,則繼續(xù)以下過(guò)程，此時(shí)系統(tǒng)量子態(tài)變?yōu)?/p>

|Φ2〉=(α0|H〉a1|H〉+β0|V〉a2|V〉)(c|SS〉+d|LL〉)AB=

α0c|HS〉a1|HS〉+α0d|HL〉a1|HL〉+β0c|VS〉α2|VS〉+β0d|VL〉α2|VL〉.

(6)

接下來(lái)，Alice讓光子A通過(guò)PCs,MZIs,則光子對(duì)AB量子態(tài)演變?yōu)?/p>

αoc|VSL〉a1|HS〉+α0d|HLS〉a1|HL〉+βoc|VSL〉a2|VS〉+

β0d|HLS〉a2|VL〉=|Φ3〉.

(7)

由上式可見(jiàn)，光子A的時(shí)間分量LS和SL是相等的，也就是說(shuō)A光子的時(shí)間自由度的2個(gè)分量之間的差別取消了，因此在隨后的討論中略去光子A的時(shí)間分量.

隨后，光子A經(jīng)過(guò)PBS4(PBS5),Rθ3(Rθ4),PBS6(PBS7),光子對(duì)AB量子態(tài)演變?yōu)閨Φ4〉，即

(8)

其中,

(9)

類似地，如果單光子探測(cè)器D3，D4沒(méi)有探測(cè)到光子A,光子對(duì)AB的量子態(tài)為

(10)

最后，Alice對(duì)光子A進(jìn)行測(cè)量，其測(cè)量裝置如圖2所示.A光子通過(guò)50∶50的分束器BS和半波片HWP22.5，這相當(dāng)于對(duì)光子空間模和極化態(tài)分別進(jìn)行了Hadamard操作，即

圖2 單光子測(cè)量裝置線路Fig.2 Schematic Diagram of the Single-photon Measurement Setup

(11)

(12)

因此量子態(tài)|Φ5〉演變?yōu)?/p>

(13)

(14)

表1 Alice測(cè)量結(jié)果及Bob相應(yīng)的幺正操作Tab.1 The Relationship Between Detection Results of Photon A and Corresponding Unitary Operations

圖3 α0=β0=α1=β1時(shí),量子態(tài)遠(yuǎn)程制備成功概率隨量子通道系數(shù)的變化Fig.3 The Success Probabilities of Our RSP for a Kind of Special State with α0=β0=α1=β1

2 結(jié)果與討論

下面簡(jiǎn)要討論實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)的可能性.在該RSP方案中，利用極化分束器PBS、分束器BS、波片、半波片HWP等線性光學(xué)元件對(duì)量子態(tài)實(shí)行幺正操作.普克爾斯盒PC能夠滿足幾個(gè)納秒量級(jí)的要求，文獻(xiàn)[21]證明等離子體PC的全孔徑開(kāi)關(guān)效率可以達(dá)到99%以上.這表明，該方案在實(shí)驗(yàn)上是可行的.需要注意的是，這里假設(shè)單光子探測(cè)器的效率是100%，即忽略信道中光子損耗的影響.實(shí)際上，由于光子損耗引起的探測(cè)裝置的不完美對(duì)RSP方案的效率有很大的影響.當(dāng)單光子探測(cè)器的效率為η時(shí)，RSP的效率會(huì)隨著η2下降.因此，在實(shí)際的遠(yuǎn)程量子通信中，消除真空態(tài)和提高探測(cè)器的效率應(yīng)該是研究者主要的關(guān)注點(diǎn).

綜上，利用部分超糾纏Bell態(tài)，提出了任意極化-時(shí)間兩自由度單光子態(tài)的遠(yuǎn)程制備協(xié)議.根據(jù)待制備量子態(tài)的信息，發(fā)送方利用光學(xué)元件對(duì)手中的處于超糾纏態(tài)的光子實(shí)行一系列幺正變換，并通過(guò)單向經(jīng)典通信告知接收方測(cè)量結(jié)果，接收方以一定概率成功重建原來(lái)的單光子態(tài).最后計(jì)算了該方案的成功概率.本方案的提出對(duì)遠(yuǎn)距離量子通信有重要的應(yīng)用價(jià)值.