2種獎金制度下的雙寡頭產(chǎn)量競爭模型的動力學(xué)分析

彭建奎， 黎鎖平， 楊兆蘭， 周小燕

(1.蘭州理工大學(xué) 電氣工程與信息工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730050； 2.蘭州文理學(xué)院 教育學(xué)院，甘肅 蘭州 730030)

在經(jīng)濟(jì)市場中，企業(yè)主通常會雇傭職業(yè)代理人來管理公司，但是由于企業(yè)主和經(jīng)理人之間存在利益沖突以及信息不對稱的情況，因此企業(yè)主為了更好地約束經(jīng)理人，需要建立激勵機(jī)制對經(jīng)理人進(jìn)行有效的監(jiān)督.目前，已有很多學(xué)者對職業(yè)經(jīng)理人的激勵機(jī)制進(jìn)行了研究[1-8].Jansen等[1]提出了純利潤、銷售委托、市場份額委托以及相對利潤等4種獎金激勵機(jī)制，并且利用委托游戲?qū)?種激勵機(jī)制所有可能組合的利潤效應(yīng)進(jìn)行了研究，結(jié)果表明基于相對績效的獎金制度相對最優(yōu)；薛超凱等[2]在有限理性的假設(shè)下，建立了一種企業(yè)主與職業(yè)經(jīng)理人的委托代理模型，但上述研究只是利用靜態(tài)模型進(jìn)行研究.為此，學(xué)者們相繼建立了一些動態(tài)的博弈模型來研究系統(tǒng)的演化過程，如Fanti等[3]針對價格競爭和市場份額委托的動態(tài)雙寡頭博弈模型進(jìn)行全局分析，結(jié)果表明在系統(tǒng)演化過程中初始條件尤為重要；Elsadany[4]研究了基于有限理性和企業(yè)追求相對利潤最大化建立的Cournot模型[5-6]，分析了系統(tǒng)通往混沌的路徑.基于上述研究，本文中，筆者利用市場份額和銷售委托2種激勵機(jī)制組合建立了一種動態(tài)雙寡頭產(chǎn)量競爭模型，并通過雙參數(shù)分岔圖、單參數(shù)分岔圖、最大Lyapunov指數(shù)譜分析了系統(tǒng)通過flip分岔進(jìn)入混沌的復(fù)雜的動力學(xué)行為，同時通過法里樹及吸引盆進(jìn)一步研究系統(tǒng)的動力學(xué)行為和吸引子的共存現(xiàn)象.

1 模型的建立

假設(shè)市場上僅存在2家生產(chǎn)同質(zhì)產(chǎn)品的企業(yè)，分別記為企業(yè)1和企業(yè)2.由于所考慮的是同質(zhì)產(chǎn)品，因此2家企業(yè)具有相同的技術(shù)與不變的邊際成本，記為c.根據(jù)文獻(xiàn)[7-8]的研究結(jié)果可知，相同質(zhì)量的產(chǎn)品意味著2家企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品差異度d=1，假設(shè)消費(fèi)者的效用函數(shù)為

(1)

其中：q1和q2分別表示企業(yè)1和企業(yè)2的產(chǎn)量；a表示市場上產(chǎn)品的最大價格，并且滿足a>c>0；b>0表示企業(yè)對自己產(chǎn)品價格的敏感性程度，也稱為價格敏感性系數(shù)[9].

假設(shè)消費(fèi)者的預(yù)算約束為

pq1+pq2=M，

(2)

其中p表示產(chǎn)品的價格，M表示消費(fèi)者對該產(chǎn)品的消費(fèi)預(yù)算.在預(yù)算約束下，為了使消費(fèi)者的效用函數(shù)達(dá)到最大，由此可得2個企業(yè)的逆需求函數(shù)

p=a-bQ，

(3)

其中Q=q1+q2,表示市場上2家企業(yè)的總產(chǎn)量.根據(jù)上述假設(shè)，2家企業(yè)的利潤函數(shù)可以表示為

πi=(a-bQ-c)qi，i=1,2.

(4)

在經(jīng)濟(jì)市場中，企業(yè)主通常雇傭職業(yè)經(jīng)理人并將產(chǎn)量決策權(quán)授予職業(yè)經(jīng)理人.為了使經(jīng)理人給企業(yè)帶來更多的利益，企業(yè)主使用合適的激勵合同去激勵經(jīng)理人的工作積極性.在激勵合同中，2家企業(yè)將經(jīng)理人的報酬設(shè)置為合同工資與合同中簽訂的獎金之和，2家企業(yè)具有相同的合同工資函數(shù)，記為si，企業(yè)給經(jīng)理人的合同工資的函數(shù)為

si=α+βiπi，i=1,2,

(5)

其中α表示經(jīng)理人的固定工資，βi表示企業(yè)i的經(jīng)理人為企業(yè)做出的貢獻(xiàn)值πi每增加一個單位，企業(yè)i給予經(jīng)理人的報酬相應(yīng)增加βi個單位，i=1,2.

在激勵合同中，企業(yè)主對經(jīng)理人表示只有在企業(yè)具有正的利潤時，企業(yè)才履行相應(yīng)的獎金制度，因此假設(shè)2個企業(yè)的利潤都為正，并且考慮2種獎金形式，企業(yè)1根據(jù)市場份額的方式確定獎金，然而企業(yè)2根據(jù)銷售委托的方式確定獎金.2家企業(yè)的獎金函數(shù)如下：

企業(yè)1的獎金函數(shù)

u1=π1+γq1/Q，

需要指出一點(diǎn)的是，網(wǎng)絡(luò)輿論的思維方式具有很強(qiáng)的俘獲能力，其語言求新求奇、泛娛樂化傾向嚴(yán)重，內(nèi)容也大多以奪人眼球、追求刺激為要旨，同時它又有著很強(qiáng)的自我構(gòu)建和尋求擴(kuò)散的欲望。在構(gòu)建和傳播的過程中，隨著各類輿論的合流，其表達(dá)方式呈現(xiàn)出強(qiáng)烈的自我肯定性，特別是在輿論發(fā)展的后期極易俘獲其他網(wǎng)絡(luò)主體對事物的認(rèn)知態(tài)度。在這種江河匯海似的合流中，網(wǎng)絡(luò)輿論逐漸逼近某個臨界點(diǎn)，開始向現(xiàn)實社會釋放能量?？梢哉f，網(wǎng)絡(luò)輿論的發(fā)展過程本身便是網(wǎng)絡(luò)民主興起的路徑再現(xiàn)。

(6)

其中權(quán)重γ表示企業(yè)主1基于最大化自己的利益所雇傭的經(jīng)理人1的委托變量，q1/Q表示市場份額；

企業(yè)2的獎金函數(shù)

u2=π2+σq2，

(7)

其中σ表示企業(yè)主2與經(jīng)理人2在議價過程中共同選擇的激勵參數(shù).然而，激勵參數(shù)σ有正有負(fù)，這取決于企業(yè)主是激勵經(jīng)理人還是抑制經(jīng)理人.激勵參數(shù)σ>0意味著經(jīng)理人進(jìn)取心增加，σ<0意味著經(jīng)理人缺乏積極性.

通過上述假設(shè)，給出2家企業(yè)經(jīng)理人的目標(biāo)函數(shù)

將(4)(7)代入上式得

(8)

使得經(jīng)理人的目標(biāo)函數(shù)最大的一階條件，也稱為邊際目標(biāo)函數(shù)，計算如下：

(9)

為了確定經(jīng)理人隨時間變化的行為，建立經(jīng)理人關(guān)于目標(biāo)函數(shù)的信息集十分重要.假設(shè)2家企業(yè)的經(jīng)理人都具有有限理性，即經(jīng)理人對競爭對手的決策和市場需求的信息的了解是有限的，并且假設(shè)在t(t∈Z+)時期，2家企業(yè)的經(jīng)理人同時做出決策.因此經(jīng)理人根據(jù)t時期對?Oi/?qi(i=1,2)的局部估計來決定t+1時期企業(yè)的產(chǎn)量，如果在t時期有?Oi/?qi>0，則經(jīng)理人在t+1時期增加企業(yè)的產(chǎn)量，然而如果在t時期有?Oi/?qi<0，則經(jīng)理人在t+1時期減小企業(yè)的產(chǎn)量.因此雙寡頭重復(fù)博弈的產(chǎn)量動態(tài)調(diào)整機(jī)制可表示為

(10)

其中ai(qi)是關(guān)于qi的正比例函數(shù)，描述經(jīng)理人i(i=1,2)根據(jù)邊際目標(biāo)的符號給出的產(chǎn)量變化范圍.假設(shè)ai(qi)=ψiqi，i=1,2，其中ψi>0為企業(yè)的產(chǎn)量調(diào)整速度.根據(jù)上述假設(shè)，動態(tài)模型就可以表示為二維非線性差分方程

(11)

2 Nash均衡點(diǎn)數(shù)值分析

通過數(shù)值模擬來分析系統(tǒng)Nash均衡點(diǎn)在某一參數(shù)變化下的穩(wěn)定性.固定的參數(shù)設(shè)置如下：a=0.172 4，b=0.237 0，c=0.022 2，γ=1.637 4，β1=0.213 7，β2=1.855 7，ψ1=2.396 4.激勵參數(shù)σ與企業(yè)2的產(chǎn)量調(diào)整速度ψ2的二維分岔圖如圖1a所示.其中，不同的顏色表示不同周期，黃色區(qū)域表示Nash均衡點(diǎn)的穩(wěn)定區(qū)域，綠色、橘色、紅色區(qū)域依次表示2-周期、3-周期、4-周期，深黑色區(qū)域表示混沌區(qū)域.擬周期在圖1a中用白色表示.由圖1a可以看出，在參數(shù)平面(σ,ψ2)上，ψ2∈[0,6]時，隨著ψ2的增大，系統(tǒng)依次通過黃色、綠色、紅色、藍(lán)色區(qū)域進(jìn)入黑色區(qū)域，σ∈[0,2]時，隨著σ的增大，系統(tǒng)依次通過黑色、藍(lán)色、紅色、綠色、黃色區(qū)域.為了更直觀地分析系統(tǒng)的分岔路徑，取ψ2=0.399 4，將σ作為分岔參數(shù)，圖1a中紅色線對應(yīng)系統(tǒng)的單參數(shù)分岔圖，如圖1b所示.可以看出，隨著σ的增加，系統(tǒng)分別經(jīng)歷1-周期、2-周期、4-周期、8-周期等周期后進(jìn)入混沌狀態(tài)，然后再由混沌狀態(tài)分別進(jìn)入8-周期、4-周期、2-周期和1-周期.由此可知，這一過程是典型的flip分岔與逆flip分岔.圖1b還給出了系統(tǒng)在圖1a參數(shù)下的最大Lyapunov指數(shù)譜.可以看出，當(dāng)最大Lyapunov指數(shù)小于0時，系統(tǒng)處于周期狀態(tài)；當(dāng)最大Lyapunov指數(shù)接近0時，系統(tǒng)處于擬周期狀態(tài)或者分岔點(diǎn)處；當(dāng)最大Lyapunov指數(shù)大于0時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).由上述分析可知，當(dāng)σ逐漸增大時，系統(tǒng)由穩(wěn)定狀態(tài)逐步進(jìn)入混沌狀態(tài)，然后再由混沌狀態(tài)進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)，由此可知，經(jīng)理人應(yīng)合理選擇激勵參數(shù)使其系統(tǒng)穩(wěn)定.

圖1 參數(shù)平面(σ,ψ2)上的雙參數(shù)分岔圖、單參數(shù)分岔圖及最大Lyapunov指數(shù)譜Fig.1 The Bifurcation Diagram with Two-parameters in Parameters Floor(σ,ψ2)，the Bifurcation Diagram and the Maximal Lyapunov Exponent Spectrum

由圖1a還可以看出，在參數(shù)平面[0.37,7]×[3.2,4.6]存在復(fù)雜的動力學(xué)行為.該平面參數(shù)的局部放大結(jié)果如圖2a所示.可以看出，在該區(qū)域內(nèi)展示了類似“舌”的分形序列，并且在這個序列中增加的周期窗口具有自相似性，并且隨著σ的增加，“舌”的面積逐漸減小.當(dāng)取ψ2=3.45時，圖2a的單參數(shù)分岔圖如圖2b所示，可以看到單參數(shù)分岔圖在[0.53,0.63]對應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)位于[-0.05,0.05]，表示擬周期運(yùn)動.可以看出，系統(tǒng)首先從1-周期進(jìn)入擬周期，經(jīng)歷周期窗口，最后進(jìn)入混沌狀態(tài).由圖1、圖2可得，隨著σ的增大，商品的市場供應(yīng)量的波動逐漸變?nèi)?，所對?yīng)的系統(tǒng)的動力學(xué)行為變得越來越簡單.這表明當(dāng)企業(yè)的經(jīng)理人更注重企業(yè)收入而非企業(yè)利潤時，經(jīng)濟(jì)市場穩(wěn)定性會更好，所管理的企業(yè)才能在經(jīng)濟(jì)市場上長久穩(wěn)定地發(fā)展.

圖2 參數(shù)平面(σ,ψ2)上的局部雙參數(shù)分岔圖(a)、單參數(shù)局部分岔圖及最大Lyapunov指數(shù)譜(b)Fig.2 The Local Region Bifurcation Diagram with Two-parameters in Parameters Floor(σ,ψ2)(a)，the Local Region Bifurcation Diagram and the Maximal Lyapunov Exponent Spectrum(b)

(12)

圖3 法里樹(a)及周期樹(b)Fig.3 Farey Tree (a) and Periodic Tree (b)

3 系統(tǒng)多穩(wěn)態(tài)分析

通過數(shù)值模擬研究非線性動力系統(tǒng)的過程中，均衡點(diǎn)的穩(wěn)定性會隨著參數(shù)的變化而變化.這些變化使得系統(tǒng)出現(xiàn)復(fù)雜的動力學(xué)現(xiàn)象，如具有分形結(jié)構(gòu)的混沌行為以及吸引子共存等現(xiàn)象[9-11].由于系統(tǒng)的分岔行為使得其解的數(shù)量隨著參數(shù)的變化而發(fā)生變化，解的數(shù)量的變化導(dǎo)致了系統(tǒng)的吸引子共存現(xiàn)象[12-15].多個吸引子共存意味著系統(tǒng)存在多穩(wěn)態(tài).接下來通過單參數(shù)分岔圖以及吸引盆對系統(tǒng)的多穩(wěn)態(tài)進(jìn)行討論.由圖1a可觀察到當(dāng)ψ2=1.84時，雙參數(shù)分岔圖中的顏色會有部分重疊，這說明此時可能存在吸引子共存.因此在圖1參數(shù)基礎(chǔ)上選定ψ2=1.84，系統(tǒng)對應(yīng)的單參數(shù)分岔圖如圖4a所示，可以看出，系統(tǒng)經(jīng)歷1-周期、2-周期、4-周期等周期，最后進(jìn)入混沌狀態(tài)，并且與圖1a相對應(yīng).為了更加清楚地觀察系統(tǒng)的分岔行為，[0.7,0.8]的單參數(shù)分岔圖以及最大Lyapunov指數(shù)譜如圖4b所示，可以觀察到系統(tǒng)在σ=0.705 5，0.709 0等分岔點(diǎn)處產(chǎn)生了跳躍現(xiàn)象，這也進(jìn)一步證明存在吸引子共存現(xiàn)象.以下通過吸引盆進(jìn)一步解釋吸引子共存.

圖4 單參數(shù)分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)譜Fig.4 The Parameter Bifurcation Diagram and Maximal Lyapunov Exponent Spectrum

通過上述分析說明系統(tǒng)存在多吸引子共存現(xiàn)象，以下通過變化參數(shù)來研究吸引子共存以及吸引盆.由圖4b可發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)吸引子存在跳躍現(xiàn)象，因此給出每個跳躍點(diǎn)處的吸引盆.當(dāng)σ=0.705 5時，系統(tǒng)的吸引盆如圖5a所示，存在2組吸引子，并且都顯示為周期點(diǎn).紅色表示16-周期的周期點(diǎn)，其吸引域用白色表示，黑色表示9-周期的周期點(diǎn)，其吸引域用淡藍(lán)色表示，紅色區(qū)域表示逃逸域.當(dāng)σ=0.709 0時，如圖5b所示，黑色吸引子由9-周期變?yōu)?4-周期.當(dāng)σ=0.71時，如圖5c所示，紅色吸引子的吸引域沒有明顯變化，黑色吸引子表示為9片混沌吸引子.當(dāng)σ=0.724時，如圖5d所示,黑色吸引子為16-周期的周期點(diǎn)，紅色吸引子變?yōu)?片混沌吸引子，并且紅色吸引子的吸引域逐漸變小，黑色吸引子的吸引域逐漸增大.可以觀察到，系統(tǒng)發(fā)生了全局分岔，吸引盆不連通.這種吸引子的共存現(xiàn)象說明經(jīng)理人在競爭過程中有更多的選擇.在經(jīng)濟(jì)市場中，企業(yè)可以據(jù)此制定相應(yīng)的調(diào)整策略以實現(xiàn)企業(yè)的長期穩(wěn)定發(fā)展，并獲得更大的收益.

圖5 吸引子的演化及吸引盆Fig.5 Attractor Evolution and Attractor Basin

4 結(jié) 論

通過建立動態(tài)雙寡頭產(chǎn)量競爭模型對經(jīng)濟(jì)市場中常見的職業(yè)經(jīng)理人的獎金激勵問題進(jìn)行研究發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)存在4個均衡點(diǎn).利用數(shù)值模擬對系統(tǒng)的Nash均衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)在參數(shù)平面(σ,ψ2)上存在復(fù)雜的類似于“舌”的分形結(jié)構(gòu)，通過“法里樹”以及“周期樹”對這種分形結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究.通過參數(shù)的變化發(fā)現(xiàn)，參數(shù)的變化對系統(tǒng)的演化過程有著重要的影響，并發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在多穩(wěn)態(tài)情況，同時發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)可呈現(xiàn)出多種不同形式的吸引子共存現(xiàn)象，此外，吸引盆的分形結(jié)構(gòu)也證明了系統(tǒng)的規(guī)律性.這表明在競爭過程中，企業(yè)經(jīng)理人可以有更多的選擇，同時這些結(jié)論對研究經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)性質(zhì)提供了極大的便利.

通常，企業(yè)可以在混沌市場中獲得一定的利益，但實體經(jīng)濟(jì)中的混沌不利于企業(yè)的長期穩(wěn)定發(fā)展.因此，對經(jīng)濟(jì)市場混沌系統(tǒng)的研究和對未來市場動態(tài)的預(yù)測就顯得尤為重要，同時使得所建立的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)模型更加符合實際的經(jīng)濟(jì)和市場環(huán)境，解決更多的實際問題.以后的研究中還需要對所構(gòu)建的模型進(jìn)一步優(yōu)化、創(chuàng)新，運(yùn)用分岔與混沌理論進(jìn)一步分析和預(yù)測經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的復(fù)雜動態(tài)行為，為企業(yè)做出相應(yīng)的策略性調(diào)整以實現(xiàn)企業(yè)的長期穩(wěn)定發(fā)展提供更加準(zhǔn)確有效的理論依據(jù).