Qp空間中的q-光滑模與算子逼近

王志軍， 陳英偉， 常之魁

(河北經(jīng)貿(mào)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，河北 石家莊 050061)

0 引 言

令g(.，w)為復(fù)平面中單位圓盤D上極點(diǎn)在w的Green函數(shù)，

g(z,w)=-log|φw(z)|,z,w∈D,

其中φw為D到其上的M?bius變換,

記H(D)為單位圓盤上全純函數(shù)的全體，m(z)為圓盤上lebesgue測(cè)度,則稱函數(shù)f(z)∈H(D)屬于Qp空間(0≤p<∞),是指滿足

易知[1]‖·‖Qp為半模.若取模為|f(0)|+‖f‖Qp,Qp則為Banach空間.并且Q1為BMOA空間,Q0為Dirichlet空間，當(dāng)p∈(1,∞)時(shí)，Qp為Bloch空間.更多關(guān)于BMOA及Qp函數(shù)空間的理論,可參考文獻(xiàn)[1-2].

Qp空間中的多項(xiàng)式逼近理論近年來(lái)已得到一些研究成果[3-5]，得到了多項(xiàng)式逼近的正逆定理,即Jackson定理和Bernstein定理等逼近結(jié)果.

連續(xù)模有多種定義方式，熟知經(jīng)典全純光滑模ωr(δ,f,Qp)定義如下

(1)

其中差分為

在這點(diǎn)上其延續(xù)了實(shí)連續(xù)模的性質(zhì).相比較，經(jīng)典復(fù)連續(xù)模對(duì)于多項(xiàng)式并不消零.自然會(huì)想到作為Hardy空間的極限情況BMOA空間中考慮逼近問(wèn)題，而B(niǎo)MOA空間可作為Qp空間的特例，故將其納入Qp空間來(lái)統(tǒng)一考慮.

首先在全純Qp空間中給出一種新的基于差分的q-光滑模及其性質(zhì)，再由推廣的Abel-Poisson平均構(gòu)造算子獲得多項(xiàng)式逼近階和slice邊界光滑性之間的一些內(nèi)在逼近關(guān)系.在Qp中獲得基于q-光滑模的Jackson逼近定理.并考慮了de la Valiée Poussin算子的定量最佳逼近.

本文中，符號(hào)C表示正的常數(shù)，不同的地方值有所不同，但都不依賴于f和n.

1 q-光滑模

對(duì)任意f∈H(D),易知均有Taylor展開(kāi)式

(2)

現(xiàn)在引入一種基于Newdon插值均差的q-光滑模.函數(shù)f在各節(jié)點(diǎn)zk∈D的插值[8]記為

[z0;f]=f(z0),

…,

易知

另外上述均差還有另一種表達(dá)式

(3)

通過(guò)歸納法等直接計(jì)算，可推出r階q-有限差分的一些性質(zhì)[6]:

a) 另一種表達(dá)式

其中Pr,k(q)為Gauss多項(xiàng)式

易知,

Pr,0(q)=1.

b) 遞推公式

c) 對(duì)n∈N,

d) 積分表示

易知,|z(t1+q(ti-t2)+…+qr-1(tr-1-tr)+qrtr)|≤|z|.

(4)

由上述定義及q-有限差分性質(zhì)易得，Qp空間中q-光滑模仍具有的典型性質(zhì)(關(guān)于實(shí)的情況可參見(jiàn)文獻(xiàn)[8]):

(5)

(6)

(7)

其中(5)利用q-有限差分性質(zhì)(1),(6)可由性質(zhì)c)得到.

特別地，由(3)和(4)或性質(zhì)d),易知q-光滑模對(duì)代數(shù)多項(xiàng)式具有消零性質(zhì)，

2 Jackson定理

‖f(reiθ)-f(eiθ)‖p≤Cω(1-r，f)p，0

引入推廣的Abel-Poisson平均

(8)

其中h=ρeit，0

令h=ρeit，n∈N,α>0,則有

構(gòu)造積分算子

其中n>r,α>r,

后面定理3中將證明Rn[f](z)與參數(shù)p無(wú)關(guān)，并用作函數(shù)f的n次逼近多項(xiàng)式.

廣義Jackson核函數(shù)為

引理1[8]對(duì)于任意的β∈N,存在正常數(shù)C(β)，使得對(duì)任意u=0,1,…,2β-2和k∈N,有

引理2令r,k∈N,則r≤2β-2時(shí),

證由引理1可得

現(xiàn)給出q-光滑模形式的Jackson定理.

定理1設(shè)f∈Qp(0≤p<∞)及給定r∈N,α>r,則存在一多項(xiàng)式Rn,其次數(shù)n≥r+1,滿足

證顯然只需證明

由推廣的Abel-Poisson平均來(lái)構(gòu)造逼近算子

下面證明Rn(z)=Rn[f](z)=Rn(z;f,r,α)為獨(dú)立于ρ且為次數(shù)至多為n的代數(shù)多項(xiàng)式.由f的Taylor展開(kāi)及

則

h-(n-r+1)h-k(k-1)/2-k(r-k)f(zqk)(1-q)-(1-α)Pr,k(h)=

(9)

注意到高斯多項(xiàng)式Pr,k(h)=∑cshs為關(guān)于h=ρeit次數(shù)至多為k(r-k)的多項(xiàng)式.對(duì)t在[-π,π]上積分，并利用留數(shù)定理，可知剩下不為0的項(xiàng)滿足

-(n-r+1)-k(k-1)/2-k(r-k)+jk+l+s=

k(j-r)-(n-r+1)+k(k+1)/2+l+s=0.

再由0≤k≤r,0

為簡(jiǎn)化，令m=n-r+1并取α>r，有

從而

(10)

特別取η=1,故由(3)可得

不妨取ρ=1-m-1易知

令r≤1+α-2,即α>r,再由積分型Minkowski不等式及引理2,得

定理得證.

3 de la Vallée Poussin算子逼近

對(duì)于f∈H(D),引入卷積算子

經(jīng)由Fejér算子Fk(f)(t)引入de la Vallée Poussin平均算子[12-13]

Vn(f)(z)=2F2n(f)(z)-Fn(f)(z).

在Qp空間中該算子可達(dá)定量的最佳逼近結(jié)果，即說(shuō)明可構(gòu)造具體算子在一定程度上達(dá)到最佳逼近.

定理2設(shè)f∈Qp(D),p>0和n∈N,則Vn(f)(z)次數(shù)至多為2n-1的代數(shù)多項(xiàng)式，且滿足

證算子Vn(f)(z)為次數(shù)至多為2n-1的代數(shù)多項(xiàng)式[13],由三角函數(shù)的積分正交性計(jì)算可知

為n次多項(xiàng)式,從而推知算子Vn(f)(z)為次數(shù)至多為2n-1的代數(shù)多項(xiàng)式.

令f,g∈Qp,p>0，則由函數(shù)φ(t)=tp的凸性，可得不等式(a+b)2≤2(a2+b2),對(duì)所有的a，b≥0.利用引理3,可得

再由Fn(t)dt為概率測(cè)度，故

作為Qp空間的特殊情況，Q1為BMOA空間，故給出有界平均震蕩解析函數(shù)BMOA的相應(yīng)逼近結(jié)果.

推論1設(shè)f∈Q1和n∈N,

a) 對(duì)給定r∈N,則存在一多項(xiàng)式Rn,其次數(shù)n≥r+1,滿足

其中常數(shù)C獨(dú)立于n,f;

b)Vn(f)(z)次數(shù)至多為2n-1的代數(shù)多項(xiàng)式，且滿足估計(jì)