一道模擬題中下滑時(shí)間長(zhǎng)短的定量比較

陳衍訸 張 旭

（1.柳州高級(jí)中學(xué)，廣西 柳州 545001；2.柳州市第二中學(xué)，廣西 柳州 545616）

例題.（2019年湖北武漢高三調(diào)研）如圖1所示，將完全相同的兩個(gè)小球1、2分別從同一高度由靜止釋放，其中圖1（甲）是一傾角為45°的光滑斜面，圖1（乙）為光滑圓弧，不計(jì)空氣阻力，則下列對(duì)四種情況下相關(guān)物理量的比較，正確的是

圖1

（A）落地時(shí)間t1=t2.

（B）全程重力做功W1＞W(wǎng)2.

（C）落地瞬間重力的功率P1=P2.

1 試題引起的討論

該題是2019年湖北武漢高三調(diào)研的試題，答案毋庸置疑為（D）選項(xiàng)，但是學(xué)生答題后普遍對(duì)（A）選項(xiàng)中兩球下滑時(shí)間長(zhǎng)短的比較產(chǎn)生濃厚興趣.

學(xué)生在分析該問(wèn)題時(shí)給出如下的解答：“由動(dòng)能定理可知，兩小球從初始位置到水平面上同一高度處速度大小總相等，但沿圓弧運(yùn)動(dòng)的小球路程更長(zhǎng)，因此t1＜t2.”

這是一種常見(jiàn)的誤解，實(shí)質(zhì)上運(yùn)用了微元法，如圖2所示，認(rèn)為在同一個(gè)Δh內(nèi)速率v相等，而每一個(gè)Δh都有對(duì)應(yīng)的斜面下滑的直線(xiàn)距離小于對(duì)應(yīng)的圓弧下滑的弧長(zhǎng)距離.但是，通過(guò)作圖分析，顯然在下滑距離較短時(shí)AB＞A′B′，而在下滑距離較長(zhǎng)時(shí)有C D＜C′D′，并不是每一段直線(xiàn)長(zhǎng)都小于對(duì)應(yīng)弧長(zhǎng)的.導(dǎo)致這一誤解的主要原因是部分學(xué)生在看到直線(xiàn)路程小于圓弧路程這個(gè)信息時(shí)，沒(méi)能深入分析該物理過(guò)程中細(xì)致的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而是僅憑直覺(jué)就認(rèn)為“路程大的運(yùn)動(dòng)時(shí)間一定長(zhǎng)”，從而步入了誤區(qū).

圖2

因此，以上的解答是存在明顯瑕疵并不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，現(xiàn)假設(shè)圖甲中下滑時(shí)間為t1，圖乙中下滑時(shí)間為t2，筆者在此給出相關(guān)問(wèn)題的嚴(yán)格證明.

2 用初等數(shù)學(xué)知識(shí)求解

圖3

情形1：沿直線(xiàn)A B′下滑的小球，

在如圖3所示的Rt△CDF由∠ECD接近于直角，則在△ECD中有代入得Δθ.則對(duì)應(yīng)時(shí)間為

情形2：對(duì)沿弧面AB下滑的小球，mgRsinθ=解得則對(duì)應(yīng)時(shí)間為

該方法雖然不涉及高等數(shù)學(xué)知識(shí)，但是巧作等時(shí)圓，將不易計(jì)算的沿斜面下滑時(shí)間轉(zhuǎn)為求解沿豎直方向自由落體的時(shí)間，化繁為簡(jiǎn).

3 用微積分求解

情形1：對(duì)沿直線(xiàn)AB下滑的小球：，解得

情形2：對(duì)沿圓弧AB下滑的小球，下滑到任意位置P時(shí)，有

圖4

機(jī)械能守恒：m g Rsinθ=

左邊是一個(gè)橢圓積分，沒(méi)有解析解，可以查表也可以用計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算.這里用MAT L A B軟件計(jì)算數(shù)值解.解得

通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬出數(shù)值解解出t1、t2的具體值，從而比較兩種情況下的時(shí)間長(zhǎng)短，結(jié)果顯示t1＞t2，結(jié)果同上.