基于GeoGebra軟件的回旋加速器工作原理分析
——以2021年江蘇省高考物理第15題為例

石 超 吳夢雷

（1.江蘇省邗江中學(xué)，江蘇 揚州 225009；2.江蘇省揚州中學(xué)，江蘇 揚州 225009）

2019年教育部考試中心頒布了《中國高考評價體系》，針對高考命題，提出了“一核四層四翼”的要求，其中“四翼”指高考命題須兼顧基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性.回旋加速器工作原理對物理概念、科學(xué)思維的要求都很高，非常適合作為學(xué)習(xí)探索情境來考查學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng).江蘇高考自“08方案”起，一直將其作為考查的重點，僅以計算題形式呈現(xiàn)的考題就呈現(xiàn)了3次.2021年是江蘇進(jìn)入新高考的元年，第15題作為壓軸題，再次考查了回旋加速器的工作原理，旨在突出理論知識與生產(chǎn)生活實際、現(xiàn)代高科技的緊密聯(lián)系，是一道體現(xiàn)應(yīng)用性和創(chuàng)新性的高品質(zhì)試題.此類試題對學(xué)生的科學(xué)思維能力要求極高，筆者借助GeoGebra軟件直觀呈現(xiàn)了回旋加速器中粒子的運動軌跡，化抽象為形象，有效突破思維障礙，加深了學(xué)生對回旋加速器原理的認(rèn)識.下面與讀者一同分析這道質(zhì)量很高的高考試題.

例題.（2021年江蘇省高考第15題）如題圖1所示，回旋加速器的圓形勻強磁場區(qū)域以O(shè)點為圓心，磁感應(yīng)強度大小為B，加速電壓的大小為U、質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子從O附近飄入加速電場，多次加速后粒子經(jīng)過P點繞O做圓周運動，半徑為R，粒子在電場中的加速時間可以忽略.為將粒子引出磁場，在P位置安裝一個“靜電偏轉(zhuǎn)器”，如題圖2所示，偏轉(zhuǎn)器的兩極板M和N厚度均勻，構(gòu)成的圓弧形狹縫圓心為Q、圓心角為α，當(dāng)M、N間加有電壓時，狹縫中產(chǎn)生電場強度大小為E的電場，使粒子恰能通過狹縫，粒子在再次被加速前射出磁場，不計M、N間的距離.求：

圖1

圖2

（1）粒子加速到P點所需要的時間t；

（2）極板N的最大厚度dm；

（3）磁場區(qū)域的最大半徑Rm.

解析：由題圖可知，帶電粒子在磁場中做順時針方向的勻速圓周運動，利用GeoGebra軟件作出粒子的軌跡，如圖3.

圖3

設(shè)粒子經(jīng)過n次加速到達(dá)P位置，速度為vP，

粒子加速到P點所需要的時間

相較于后兩問，第（1）問較簡單，考生即使無法正確找到粒子出發(fā)點，但只要了解回旋加速器的工作原理，知道粒子的運動過程，畫出粗略的軌跡，就能正確作答.需要注意的是，粒子加速的次數(shù)容易出錯，應(yīng)比半圓個數(shù)多1.

（2）設(shè)粒子經(jīng)過n次加速后，半徑為rn，由（1）、（2）式，

粒子第n次經(jīng)過D型盒邊界時，沿狹縫方向，距出發(fā)點的距離為

按圖3，n取奇數(shù)，粒子在出發(fā)點右側(cè)；n取偶數(shù)，粒子在出發(fā)點左側(cè).每次經(jīng)過加速，軌跡圓半徑均有一定程度放大，因此不難發(fā)現(xiàn)同側(cè)軌跡圓的圓心并不重合.如圖4所示，依據(jù)粒子運動規(guī)律，利用GeoGebra軟件的序列指令和映射指令可以作出粒子軌跡和圓心（圖4中靠得很近的點為相應(yīng)軌跡圓的圓心）.依題意，在P位置安裝一個“靜電偏轉(zhuǎn)器”，粒子經(jīng)過以O(shè)為圓心的P點，通過GeoGebra軟件改變板N的厚度，可作出圖5至圖7的動態(tài)變化過程.若極板N太厚，如圖7所示，板N的內(nèi)側(cè)邊緣擋住軌跡Ⅰ，則粒子無法完成軌跡Ⅰ和軌跡Ⅱ而到達(dá)P點，所以極板N的最大厚度dm等于圖6中軌跡Ⅰ與軌跡Ⅲ的間距.因軌跡Ⅲ與軌跡Ⅰ的圓心不在同一點，所以dm≠而應(yīng)該是

圖4

圖5

圖6

圖7

由（4）式知軌跡Ⅲ半徑

軌跡Ⅱ：

軌跡Ⅰ：

將rⅡ、rⅠ代入（5）式，得

第（2）問，考生所犯的典型錯誤是認(rèn)為dm=誤認(rèn)為軌跡Ⅰ與軌跡Ⅲ具有相同的圓心.本問注重考查學(xué)生的思維能力和理論推導(dǎo)能力，有一定的難度.

（3）未安裝“靜電偏轉(zhuǎn)器”，粒子過P點：R=得

安裝“靜電偏轉(zhuǎn)器”后，粒子在P點速率并不能突變，圓心由O突變?yōu)镼，半徑增大，向心力減小，所以“靜電偏轉(zhuǎn)器”施加沿半徑向外的電場力，使粒子在洛倫茲力和電場力共同作用下沿“靜電偏轉(zhuǎn)器”的狹縫運動.電場力、洛倫茲力均與速度垂直，所以粒子做勻速圓周運動通過狹縫，設(shè)粒子繞Q點做勻速圓周運動的半徑為rQ，

粒子通過“靜電偏轉(zhuǎn)器”狹縫從P′點再次進(jìn)入磁場以圓心為O′做半徑為R的勻速圓周運動，如圖8所示.若磁場半徑較大，粒子可運動至D型盒邊界而再次被加速，為避免這種情形，需減小磁場半徑至圖10中兩個半圓形虛線所示位置，使粒子在再次被加速前射出磁場.通過GeoGebra軟件改變磁場半徑，可作出圖8至圖10的動態(tài)變化過程（兩個半圓形虛線邊界即磁場邊界），由此可找出臨界條件：將粒子恰好能引出磁場，粒子軌跡與磁場邊界相切于G點.由幾何關(guān)系可知，此時O、O′、G三點共線.

圖8

圖9

圖10

圖11

為方便計算，利用GeoGebra軟件隱藏粒子運動至P點前的軌跡，得到圖11.由圖11可清晰得出磁場區(qū)域的最大半徑

將（7）、（8）式代入（6）式得

第（3）問通過巧妙地引入“靜電偏轉(zhuǎn)器”，重點考查了粒子在復(fù)合場中的勻速圓周運動、邊界磁場中勻速圓周運動的臨界問題等，有較強的綜合性，很好地體現(xiàn)科學(xué)思維和學(xué)科素養(yǎng).

小結(jié)：本題突出了“四翼”中的應(yīng)用性和創(chuàng)新性，立足回旋加速器的工作原理，重點考查動能定理、帶電粒子在勻強磁場中運動規(guī)律.通過在粒子經(jīng)過的P位置安裝一個“靜電偏轉(zhuǎn)器”，使粒子在再次加速前被射出磁場，構(gòu)造了新的情境，著重考查學(xué)生的模型建構(gòu)能力、推理論證能力，難度較大，學(xué)生在短時間內(nèi)難以理清頭緒.通過GeoGebra軟件作出粒子的運動動態(tài)軌跡，并根據(jù)所求問題進(jìn)行動態(tài)調(diào)整，可以化抽象為形象，使復(fù)雜問題變得簡單、直觀，學(xué)生更容易接受，同時也可以很好地幫助學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣，提升其學(xué)科核心素養(yǎng).