把握數(shù)學(xué)表征特點(diǎn)，提升建模解決物理問題能力

陳林橋 賈蘇榮

（1.江蘇省揚(yáng)中市教師發(fā)展中心，江蘇 揚(yáng)中 212200；2.江蘇省揚(yáng)中市第二高級中學(xué)，江蘇 揚(yáng)中 212200）

建構(gòu)物理模型是一種研究物理問題的科學(xué)的思維方法.即在研究和解決物理問題時(shí)，忽略次要因素，抓住主要因素，并進(jìn)行合理抽象概括，突出客觀事物的本質(zhì)特征，從而達(dá)到解決物理問題的目的.其中物理模型建構(gòu)往往涉及到數(shù)學(xué)表征這一問題，因此明晰數(shù)學(xué)表征類型以及把握其特點(diǎn)和功用，將有助于提升我們正確建構(gòu)模型解決物理問題的能力.

1 用“圖”來表征解答問題

根據(jù)物理問題所給的條件和實(shí)際情況，運(yùn)用幾何圖形、函數(shù)圖像等形式進(jìn)行恰當(dāng)?shù)谋碚?，在明確幾何圖形、函數(shù)圖像所表示的物理意義基礎(chǔ)之上進(jìn)行有效的分析，由此來解決物理問題.

1.1 基于幾何圖形表征求解

例1.火車以60m/s的速率轉(zhuǎn)過一段彎道，某乘客發(fā)現(xiàn)放在桌面上的指南針在10s內(nèi)勻速轉(zhuǎn)過了約10°.在此10s時(shí)間內(nèi)，火車

（A）運(yùn)動(dòng)路程為600m.

（B）加速度為0.

（C）角速度約為1r a d/s.

（D）轉(zhuǎn)彎半徑約為3.4k m.

解析：依據(jù)題意，不難畫出反映題中火車運(yùn)動(dòng)的情境示意圖圖1來，火車在以O(shè)為圓心彎道上運(yùn)行，指南針時(shí)刻指向地磁南極.

圖1

題目給出車中“桌面上的指南針在10s內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)”.這表明指南針在相同的時(shí)間內(nèi)繞磁南極點(diǎn)轉(zhuǎn)過的角度相同，即有圖1中∠1=∠2=∠3=∠4.但鑒于彎道的圓心O與地磁南極不重合，所以在相等時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的弧長卻并不都相等，因此可以斷定火車在嚴(yán)格意義上不是做的勻速圓周運(yùn)動(dòng).然而考慮到火車運(yùn)行的實(shí)際情況，研究的是非常短的10s時(shí)間內(nèi)的情境，再有火車在彎道運(yùn)行的區(qū)域相比地球大小而言要小得很多，所以地磁不均勻分布這一影響就可以忽略，那么由此就可以把彎道處的地磁場看作勻強(qiáng)磁場.于是我們就有理由認(rèn)為指南針指針相對地面而言始終指向某一方向（與磁感線平行），指南針的底盤卻隨火車一起繞彎道圓心O做圓周運(yùn)動(dòng)，因此我們就可以建構(gòu)起示意圖2來表征本題的物理情境，并假設(shè)火車上的指南針從A位置沿彎道運(yùn)動(dòng)到B位置，火車相對于彎道圓心O轉(zhuǎn)了α角，指南針的地盤相對于指針偏轉(zhuǎn)了β角，那么由圖可知，α角的兩條邊和β角的兩條邊相互垂直，根據(jù)數(shù)學(xué)知識，于是得到α=β.這就是說，指南針相對于地盤轉(zhuǎn)過的角度始終等于火車相對彎道圓心O轉(zhuǎn)過的角度，因此指南針指針相對于底座轉(zhuǎn)到和火車在彎道轉(zhuǎn)彎的角速度相同，于是得到10s時(shí)間內(nèi)火車運(yùn)動(dòng)路程s=v t=60×10m=600m，選項(xiàng)（A）正確；火車在彎道上運(yùn)動(dòng)，做曲線運(yùn)動(dòng)，一定有加速度，選項(xiàng)（B）錯(cuò)誤；火車勻速轉(zhuǎn)過10°，約為角速度選項(xiàng)（C）錯(cuò)誤；由v=ω R，可得轉(zhuǎn)彎半徑約為3.4k m，選項(xiàng)（D）正確.所以選（A）、（D）.

圖2

說明：從以上解答中的數(shù)學(xué)表征的特點(diǎn)來看，主要是根據(jù)題目文字的描述，運(yùn)用我們相關(guān)數(shù)學(xué)幾何方面的知識，將試題問題情境用直觀而又形象的幾何圖形來表征，并隨著對試題認(rèn)知的不斷深入和解題的實(shí)際需要，又從“對圖1否定“進(jìn)而新建出“切合題意的圖2”來，進(jìn)而解決問題.可見，一個(gè)符合題意情境的幾何圖形表征的建構(gòu)對問題的解答突破起到了關(guān)鍵的作用.

1.2 基于函數(shù)圖像表征求解

例2.中歐班列在歐亞大陸開辟了“生命之路”，為國際抗疫貢獻(xiàn)了中國力量.某運(yùn)送防疫物資的班列由40節(jié)質(zhì)量相等的車廂組成，在車頭牽引下，列車沿平直軌道勻加速行駛時(shí)，第2節(jié)對第3節(jié)車廂的牽引力為F.若每節(jié)車廂所受摩擦力、空氣阻力均相等，則倒數(shù)第3節(jié)對倒數(shù)第2節(jié)車廂的牽引力為

解析：設(shè)車頭對后面車廂的牽引力為F總、每節(jié)車廂質(zhì)量為m、受到的摩擦力和空氣阻力的合力為f、第n節(jié)對后面車廂的牽引力為Fn、火車的加速度大小為a.因此，對于前面n節(jié)車廂而言，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律得到F總-Fn-n f=n ma，變形得到Fn=F總-n（f+ma），作出Fn和n的函數(shù)關(guān)系圖像如圖3所示.再根據(jù)圖像中兩個(gè)三角△a b c和△a e d相似關(guān)系得到倒數(shù)第3節(jié)對倒數(shù)第2節(jié)車廂的牽引力F′=所以選項(xiàng)（C）正確.

圖3

說明：從以上解答中的數(shù)學(xué)表征的特點(diǎn)來看，主要是基于物理問題運(yùn)用數(shù)學(xué)知識，找出Fn和n兩者之間的函數(shù)關(guān)系式.這個(gè)關(guān)系式含有的未知數(shù)竟有4個(gè)之多，卻不能直接有效地得到“倒數(shù)第3節(jié)對倒數(shù)第2節(jié)車廂的牽引力”的大小.于是我們根據(jù)這個(gè)關(guān)系式作出它們的函數(shù)圖像，利用圖像中三角形相似關(guān)系來解決這個(gè)問題.可見這里函數(shù)圖像的表征恰恰是解答本題的核心所在.

2 用“式”來表征解答問題

在具體物理問題中找出物理量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式，結(jié)合數(shù)學(xué)自身的特征和規(guī)律，作出符合邏輯的推導(dǎo)或合理外推，在基于所得到的數(shù)學(xué)結(jié)果的基礎(chǔ)上做出物理判斷和解釋，從而解決物理問題.

2.1 基于數(shù)學(xué)關(guān)系式演繹性表征求解

例3.在游樂節(jié)目中，選手需借助懸掛在高處的繩飛越到水面的浮臺(tái)上，小明和小陽觀看后對此進(jìn)行了討論如圖4所示.他們將選手簡化為質(zhì)量m=60k g的質(zhì)點(diǎn)，選手抓住繩由靜止開始擺動(dòng)，此時(shí)繩與豎直方向夾角α=53°，繩的懸掛點(diǎn)O距水面的高度為H=3m.不考慮空氣阻力和繩的質(zhì)量，浮臺(tái)露出水面的高度不計(jì)，水足夠深.取重力加速度g=10m/s2.假如選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時(shí)松手，小明認(rèn)為繩越長，在浮臺(tái)上的落點(diǎn)距岸邊越遠(yuǎn)；小陽卻認(rèn)為繩越短，落點(diǎn)距岸邊越遠(yuǎn)，請通過推算說你的觀點(diǎn).

圖4

解析：選手從開始擺到最低點(diǎn)過程中機(jī)械能守恒，則有

選手離開最低點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)，于是有

綜合以上幾式解得

因此，兩人的看法均不正確，只有當(dāng)繩長越接近1.5m時(shí)，落點(diǎn)距岸邊越遠(yuǎn).

說明：以上解答中的這種數(shù)學(xué)關(guān)系式演繹性表征的特點(diǎn)，就是基于對題目情境做具體的物理分析，從而建立起選手水平距離和繩長之間的函數(shù)關(guān)系式，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)函數(shù)極值的方法來確定這個(gè)問題的判斷基點(diǎn)，進(jìn)而做出相應(yīng)的物理判斷，整個(gè)解答過程簡潔明了，很有說服力.

2.2 基于數(shù)學(xué)關(guān)系式歸納性表征求解

例4.雨滴在穿過云層的過程中，不斷與漂浮在云層中的小水珠相遇并結(jié)合為一體，其質(zhì)量逐漸增大.現(xiàn)將上述過程簡化為沿 豎直方向的一系列碰撞.已知雨滴的初始質(zhì)量為m0，初速度為v0，下降距離l后與靜止的小水珠碰撞且合并，質(zhì)量變?yōu)閙1.此后每經(jīng)過同樣的距離l后，雨滴均與靜止的小水珠碰撞且合并，質(zhì)量依次變?yōu)閙2、m3…mn…（設(shè)各質(zhì)量為已知量）.不計(jì)空氣阻力，求第n次碰撞后雨滴的動(dòng)能.

解析：（1）第1種情境，若不計(jì)重力，則全過程中動(dòng)量守恒，于是有m0v0=mnvn′，解得

所以得到第n次碰撞后雨滴的動(dòng)能

（2）第2種情境，若考慮重力，那么雨滴下降過程中做加速度為g的勻加速運(yùn)動(dòng)，碰撞瞬間動(dòng)量守恒，則有，第1次碰撞前

第1次碰撞后mv=mv′.解得

利用（1）式化簡得

第2次碰撞后，由（2）式得

同理，第3次碰撞后

……

由此推得第n次碰撞后

所以得到第n次碰撞后雨滴的動(dòng)能

說明：本題第2種情境解答中的這種數(shù)學(xué)關(guān)系式歸納性表征的特點(diǎn)，就是基于物理問題情境運(yùn)用物理規(guī)律和公式建構(gòu)起物理量之間的基本關(guān)系式，然后利用數(shù)學(xué)中不完全歸納法的思想來進(jìn)行合理的外推，即由相關(guān)物理知識求出雨點(diǎn)第1次、第2次以及第3次碰撞后速度表達(dá)式.仔細(xì)分析這些表達(dá)式的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)特征，對此進(jìn)行合情合理外推得出第n次碰撞后的速度表達(dá)式，最終求得第n次碰撞后雨滴的動(dòng)能.

通過以上幾個(gè)具體實(shí)例解答的剖析，我們不難總結(jié)得到數(shù)學(xué)表征建模解題的一般思想方法，即對物理問題中的情境、結(jié)構(gòu)以及要素等相關(guān)量及其之間的關(guān)系進(jìn)行數(shù)學(xué)符號化的描述.在此基礎(chǔ)上建構(gòu)與之密切相關(guān)的而且有利于問題解決的幾何圖形、函數(shù)圖像、數(shù)學(xué)關(guān)系式等較為抽象的數(shù)學(xué)“圖”或“式”來表征分析物理問題，再根據(jù)數(shù)學(xué)知識的特點(diǎn)和規(guī)律進(jìn)而有效地解決物理問題.