超拓?fù)淇臻g的超局部緊性

張 敏，王小霞，劉媛媛

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000)

1983年，Mashhour等人去掉了拓?fù)淇臻g中有限交的條件，在文獻(xiàn)[1]中提出了超拓?fù)淇臻g的定義，將拓?fù)淇臻g中的連續(xù)映射拓展到超拓?fù)淇臻g中，給出了超拓?fù)淇臻g中S連續(xù)映射、S*連續(xù)映射的定義，并給出超Ti(i=1,2)空間的概念，研究了他們的若干性質(zhì)。2008年，Jassim在文獻(xiàn)[2]中提出了超緊空間，并對超緊空間的一些性質(zhì)進(jìn)行了研究。AL-shami等在文獻(xiàn)[3-5]中引入了超極限點、超閉包算子、超α開集等概念并研究了他們的性質(zhì)，介紹了超緊(超Lindel?f)、幾乎超緊(幾乎超Lindel?f)和弱超緊(弱超Lindel?f)、超α緊(超α-Lindel?f)、幾乎超α緊(幾乎超α-Lindel?f)、超正規(guī)等空間的性質(zhì)及他們之間的關(guān)系，并且研究了超R開集和超α開集之間的關(guān)系，討論了超R開集在超R分離公理上的應(yīng)用。文獻(xiàn)[6-8]研究了超拓?fù)淇臻g中的超可數(shù)緊性、超仿緊性、超α-可數(shù)緊性的概念及若干性質(zhì)。

本文在此基礎(chǔ)上，主要討論超拓?fù)淇臻g中的超局部緊性及其性質(zhì)，研究了超局部緊空間與超緊空間、超正則空間之間的關(guān)系。文中未作其他說明的專業(yè)術(shù)語均見文獻(xiàn)[9]。

1 預(yù)備知識

定義1[1]若X上的子集族τ滿足：(1)φ,X在τ中；(2)τ中元素的任意并仍然在τ中。則稱τ為X上的超拓?fù)?，偶?X,τ)稱為超拓?fù)淇臻g。τ中的任意一個元素都稱為超拓?fù)淇臻g(X,τ)的超開集，超開集的補(bǔ)集稱為超閉集。

定義2[1]設(shè)(X,τ)是一個超拓?fù)淇臻g，x∈X，如果U是X的一個子集，滿足條件：存在一個超開集V∈τ使得x∈V?U,則稱U是點x的一個超鄰域。若U是包含著點x的一個超開集，那么他一定是x的一個超鄰域，則稱U是點x的一個超開鄰域。

定義4[2]一個超拓?fù)淇臻g(X,τ)，若對于X的每一個超開覆蓋有一個有限超子覆蓋，則稱超拓?fù)淇臻gX是超緊空間。

定義5[2]若超拓?fù)淇臻gX中的任意兩個不相同的點x,y，分別存在x,y的兩個超開集U,V使得U∩V=φ，則稱X為超T2空間。

定義6[3]超拓?fù)淇臻g(X,τ)中,如果x∈X和A∈X是一個超閉集，使得x?A，則存在A和x的超開集U,V，使得U∩V=φ，則稱X為超正則空間。

定義7[3]設(shè)A是超拓?fù)淇臻g(X,τ)的一個子集，那么包含A的所有超開集的并叫作A的超內(nèi)部，記作A°。

2 主要結(jié)果

定義8 設(shè)X是一個超拓?fù)淇臻g，如果X中的每一個點都有一個超緊致的超鄰域，則稱超拓?fù)淇臻gX是一個超局部緊空間。

定理1 超局部緊空間的每一個超閉子空間都是超局部緊的。

證明設(shè)X是超局部緊空間，A?X，A在X中是閉的，那么A中的任一點x則存在超緊致的超鄰域U，所以U∩A為U的超閉子集，并且又因為x∈U∩A，所以U∩A為x在A中超緊致的超鄰域，即A是超局部緊的。

定理2 設(shè)X1,X2是兩個超局部緊空間，則積空間X1×X2也是超局部緊空間。

證明設(shè)X1,X2為超局部緊空間，x=(x1,x2)∈X1×X2，那么分別存在x1,x2在X1,X2中的超鄰域U1,U2，使U1,U2分別為X1,X2的超緊集，而U1×U2為x的超鄰域，并且U1×U2為X1×X2的超緊集，所以X1×X2是超局部緊空間。

定理3 每個超緊空間都是超局部緊空間。

證明設(shè)X是超緊空間，x∈X，那么存在x在X中的超鄰域U。因為X是一個超緊空間，所以U是超緊集，所以X是超局部緊空間。

定理4 每個超局部緊的超T2空間都是超正則空間。

定理5 設(shè)X是一個超局部緊的超正則空間，x∈X，則點x的所有超緊的超鄰域構(gòu)成的集族是超拓?fù)淇臻gX在點x處的超鄰域基。

推論1 若X是一個超局部緊的超T2空間，x∈X，則點x的所有超緊的超鄰域構(gòu)成的集族是超拓?fù)淇臻gX在點x處的超鄰域基。

證明設(shè)(X,τ)是一個超局部緊的超T2空間，由定理4可知，(X,τ)是一個超正則空間。對任意x∈X，以及x的超開鄰域U，都存在x的超緊鄰域D，由于D是超緊集，根據(jù)定理5，命題得證。

3 結(jié)論

本文在超拓?fù)淇臻g的基礎(chǔ)上定義了超局部緊空間，把拓?fù)淇臻g的一些局部緊性推廣到超拓?fù)淇臻g的超局部緊性上，并給出證明，得到超局部緊空間的每個超閉子空間都是超局部緊的等性質(zhì)。從而豐富了超拓?fù)淇臻g的內(nèi)容。