基于GARCH族模型的深證成份指數(shù)波動(dòng)性研究

文/李昱廷

（上海大學(xué)）

一、引言

我國證券市場經(jīng)過30年的蓬勃發(fā)展已經(jīng)較為完善，但是在法律法規(guī)、政府機(jī)構(gòu)監(jiān)管以及投資者本身的專業(yè)資質(zhì)方面仍存在不足之處。整個(gè)證券市場具有較強(qiáng)的波動(dòng)性，而這種波動(dòng)性使得證券市場本身的風(fēng)險(xiǎn)增加，投資者遭受損失的可能性也會隨之增大。因此，如何度量證券市場收益率的波動(dòng)以及該波動(dòng)是否對稱成為學(xué)界研究的重要問題，該研究對機(jī)構(gòu)和個(gè)人投資者的投資決策有一定的參考意義。

二、文獻(xiàn)綜述

學(xué)術(shù)界基于GARCH族模型對證券市場的波動(dòng)性進(jìn)行了深入研究，普遍認(rèn)為證券市場收益率波動(dòng)存在著波動(dòng)集聚效應(yīng)，且具有非對稱性和持續(xù)性特征。

孫斐斐、施國洪（2019）通過非對稱效應(yīng)的GARCH模型模擬國債指數(shù)收益率的波動(dòng)情況，采用1332 組上海證券交易所日度國債收盤指數(shù)作為樣本數(shù)據(jù)，使用TGARCH和TGARCH模型對上證國債指數(shù)收益率的波動(dòng)性進(jìn)行實(shí)證分析。實(shí)證結(jié)果表明，GARCH 模型可以很好地解釋我國債券市場收益率的波動(dòng)性現(xiàn)象，收益率的平方具有較強(qiáng)的相關(guān)性，這種相關(guān)性并不表現(xiàn)出一種正態(tài)分布，而是呈現(xiàn)出一種峰高底厚的特征。上證國債指數(shù)收益率的波動(dòng)性的條件方差特性較為顯著，而且其波動(dòng)性體現(xiàn)出了較強(qiáng)的可變性和波動(dòng)集簇性，而這一特性是上證國債指數(shù)的主要影響因素。此外，上證國債指數(shù)收益率表現(xiàn)出較強(qiáng)的非對稱性效應(yīng)。同等強(qiáng)度的負(fù)面效應(yīng)對上證國債指數(shù)收益率的沖擊力要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于同等強(qiáng)度的正面效應(yīng)對上證國債指數(shù)收益率的沖擊力。孟彥菊、尹曉夢（2017）使用上證綜指日度收益率的數(shù)據(jù)建立GARCH(1,1)模型實(shí)證研究股票市場的波動(dòng)性。研究結(jié)果證明，上證綜指日度收益率具有顯著的“尖峰厚尾”特征，并且其分布是有偏分布，存在著波動(dòng)的聚集效應(yīng)。此外，過去的波動(dòng)對未來的影響是逐漸衰減的，信息沖擊的影響具有一定程度的持續(xù)性。劉湖、王瑩（2017）通過構(gòu)建ARMA-TGARCH-M模型，同時(shí)利用上證綜指和深證成指的低頻日收益率和5分鐘高頻收益率數(shù)據(jù)，對中國股票市場的波動(dòng)性問題進(jìn)行了實(shí)證研究。研究結(jié)果表明，中國股票市場收益率存在著較大幅度的波動(dòng)性，深圳股票市場收益率的波動(dòng)性也要略強(qiáng)于上海股票市場，而且其波動(dòng)幅度和頻率都略大于上海股票市場。中國股票市場收益率波動(dòng)還存在著波動(dòng)集聚性、“尖峰厚尾”性與非對稱分布（杠桿效應(yīng)）等特征。收益率時(shí)間序列具有顯著的自相關(guān)性，殘差平方項(xiàng)具有顯著的ARCH效應(yīng)，而ARMATGARCH-M模型能夠消除ARCH效應(yīng)，表明GARCH 族模型能夠很好地?cái)M合中國股票市場的波動(dòng)性。此外，股票市場外部沖擊對中國股票市場波動(dòng)性的影響具有持續(xù)性，說明中國股票市場存在著較長的外部沖擊波動(dòng)持續(xù)期。

三、實(shí)證研究

（一）理論基礎(chǔ)

ARMA模型，即自回歸移動(dòng)平均模型，ARMA(p,q)模型的公式如下：

GARCH模型，即廣義自回歸條件異方差模型，GARCH(m,s)模型的公式如下：

rt是帶有誤差項(xiàng)ARMA(p,q)的擬合結(jié)果，at是誤差項(xiàng)，并且在信息集為t-1期的條件下服從均值為0方差為σt2的正態(tài)分布，此外，還要求系數(shù)服從以下約束條件：

GARCH模型的優(yōu)點(diǎn)在于其考慮了金融時(shí)間序列的波動(dòng)集聚效應(yīng)。GARCH模型很好地反映了收益率的波動(dòng)性，其系數(shù)之和(αi+βj)反映了信息沖擊對收益率的波動(dòng)性所帶來的影響的持續(xù)性。

GARCH模型的缺點(diǎn)在于沒有考慮股票市場波動(dòng)性呈現(xiàn)的非對稱性特征，即相同單位的好消息和壞消息對股票市場波動(dòng)性的影響是不同的。因此，本文使用了非對稱的TGARCH模型來度量股票市場波動(dòng)性呈現(xiàn)的非對稱性特征。TGARCH(m,s)模型的公式如下：

（二）主要研究內(nèi)容

本文選取2005年1月到2018年6月深證成指的日度收盤價(jià)數(shù)據(jù)作為研究對象，比較了基于正態(tài)（高斯）分布、學(xué)生 t 分布和偏學(xué)生 t分布三種分布假設(shè)下的ARMAGARCH模型，并選擇最優(yōu)的擬合模型研究其日度收益率的波動(dòng)性。此外，本文還基于非對稱的TGARCH模型來實(shí)證研究股票市場波動(dòng)性呈現(xiàn)的非對稱性特征。

（三）數(shù)據(jù)的選取和來源

本文選取2005年1月到2018年6月的深證成份指數(shù)（簡稱深證成指）的日度收盤價(jià)數(shù)據(jù)作為研究對象，基于GARCH族模型研究其日度收益率的波動(dòng)性。所有數(shù)據(jù)全部來源于網(wǎng)易財(cái)經(jīng)網(wǎng)站。

（四）描述性統(tǒng)計(jì)分析

2005年1月到2018年6月深證成指日度收盤價(jià)數(shù)據(jù)描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果：

由表1可知，共有3278個(gè)深證成指日度收盤價(jià)數(shù)據(jù)，無空值，最小值為2622.026，最大值為19531.16，均值為9657.341，方差為11748616，標(biāo)準(zhǔn)差為3427.625，偏度為-0.13064，峰度為3.243992（R軟件結(jié)果中顯示的峰度為減去3的值），這表明深證成指日度收盤價(jià)序列波動(dòng)較為劇烈。

表1 深證成指日度收盤價(jià)數(shù)據(jù)描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果

2005年1月到2018年6月深證成指日度對數(shù)收益率數(shù)據(jù)描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果：

由表2可知，共有3277個(gè)深證成指日度對數(shù)收益率數(shù)據(jù)，無空值，最小值為-0.0975，最大值為0.091615，均值為0.000345，方差為0.000356，標(biāo)準(zhǔn)差為0.018857，相較于價(jià)格數(shù)據(jù)，收益率數(shù)據(jù)的均值、方差較為固定，收益率時(shí)間序列較平穩(wěn)，偏度為-0.5031，峰度為6.01068（R軟件結(jié)果中顯示的峰度為減去3的值）。說明深證成指日度對數(shù)收益率序列存在“尖峰厚尾”性，不服從正態(tài)分布，分布左右不對稱，暴漲或者暴跌可能性較大。

表2 深證成指日度度對數(shù)收益率數(shù)據(jù)描述性統(tǒng)計(jì)

（五）實(shí)證研究分析

1.ARMA模型

因?yàn)樯钭C成指日度對數(shù)收益率數(shù)據(jù)的ADF單位根檢驗(yàn)平穩(wěn)，所以，可以直接建立ARMA模型，通過觀察深證成指日度對數(shù)收益率的ACF、PACF以及模型簡潔度等因素決定模型參數(shù)。本文最終選擇了ARMA(1,1)模型作為擬合模型。

2.GARCH模型

首先，檢驗(yàn)ARMA模型的殘差平方是否存在ARCH效應(yīng)。檢驗(yàn)結(jié)果表明存在ARCH效應(yīng)，殘差平方序列包含未被使用的信息，可以使用GARCH族模型建模以使用未被使用的信息。

其次，根據(jù)殘差平方序列的ACF和PACF確定GARCH模型參數(shù)。

根據(jù)ACF和PACF結(jié)果，不管是ACF，還是PACF，都沒有明顯的截?cái)噗E象，因此判斷其ACF和PACF是一個(gè)緩慢衰退的過程。同時(shí)考慮大多數(shù)研究在此情況下選擇GARCH(1,1)模型，所以本文選用GARCH(1,1)模型擬合。本文考慮GARCH(1,1)模型的三種不同的分布：正態(tài)分布、學(xué)生 t 分布和偏t分布，并對擬合結(jié)果進(jìn)行對比。

最后，構(gòu)建GARCH(1,1)模型?；谡龖B(tài)分布、學(xué)生 t 分布和偏t分布的參數(shù)估計(jì)結(jié)果如表3所示。

表3 三種不同分布下ARMA-GARCH模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果

根據(jù)表3三種不同分布下ARMA-GARCH模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果，我們可以發(fā)現(xiàn)：第一，重要的參數(shù)估計(jì)結(jié)果基本上都在1%的顯著性水平下顯著，說明ARMA-GARCH模型能夠較好地?cái)M合深證成指。第二，表1中系數(shù)之和很接近于1，而GRACH(1,1)模型的系數(shù)之和反映了信息沖擊對收益率的波動(dòng)性所帶來的影響的持續(xù)性。這說明信息沖擊對于深證成指日度對數(shù)收益率的波動(dòng)性的影響具有持續(xù)性，深證成指的波動(dòng)沖擊會持續(xù)一段時(shí)間才會逐步衰減。第三，通過對比三種不同分布下的ARMA-GARCH模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果，可以看出，相較于正態(tài)分布假設(shè)和學(xué)生t分布假設(shè)，偏t分布假設(shè)的ARMA-GARCH模型的擬合情況是最優(yōu)的。該實(shí)證結(jié)論表明，深證成指日度對數(shù)收益率具有顯著的“尖峰厚尾”特征，其分布并不是正態(tài)分布，而是有偏分布。

此外，在5%的顯著性水平下，從擬合模型標(biāo)準(zhǔn)化殘差的檢驗(yàn)結(jié)果來看，標(biāo)準(zhǔn)化殘差已經(jīng)不存在序列相關(guān)性；從標(biāo)準(zhǔn)化殘差的平方的檢驗(yàn)結(jié)果來看，也得出相似的結(jié)論，標(biāo)準(zhǔn)化殘差的平方已經(jīng)不存在ARCH效應(yīng)，模型擬合結(jié)果較好。

根據(jù)圖1，通過對三種不同分布下的ARMA-GARCH模型QQ Plot進(jìn)行對比可以發(fā)現(xiàn)，第一，在中間部分，正態(tài)分布的QQplot很接近對角線，正態(tài)分布假設(shè)是足夠好的。但是在兩端部分特別是左下端，正態(tài)分布的QQplot嚴(yán)重偏離了對角線，因此，在分位數(shù)點(diǎn)較低和較高時(shí)，正態(tài)分布假設(shè)是不夠好的，所以需要考慮非正態(tài)分布擬合深證成指。第二，學(xué)生t分布和偏t分布的QQplot在中間部分依然很接近于對角線。在兩端部分，學(xué)生t分布和偏t分布的QQplot依然很接近對角線，并沒有像正態(tài)分布假設(shè)一樣有偏離。因此，在分位數(shù)點(diǎn)較低和較高時(shí)，學(xué)生t分布和偏t分布假設(shè)更好，他們考慮到了金融時(shí)間序列的“尖峰厚尾”性，并且偏t分布有更好的擬合效果。

圖1 基于三種不同分布下的ARMA-GARCH模型QQ Plot

3.TGARCH模型

除了對比分析三種不同分布下的ARMA-GARCH模型之外，本文使用了基于偏t分布假設(shè)的TGARCH模型對深證成指日度對數(shù)收益率的波動(dòng)不對稱性進(jìn)行研究。本文最終選取了ARMA(3,3)-TGARCH(1,1)模型進(jìn)行實(shí)證分析。根據(jù)參數(shù)估計(jì)的結(jié)果，模型重要參數(shù)基本上都在1%的顯著性水平下顯著，說明該模型能夠較好地?cái)M合深證成指。此外，在5%的顯著性水平下，標(biāo)準(zhǔn)化殘差和標(biāo)準(zhǔn)化殘差的平方均不存在序列相關(guān)性，說明已無ARCH效應(yīng)，模型擬合效果較好。

圖2 基于偏t分布的TGARCH模型信息沖擊曲線圖表明，深證成指存在著杠桿效應(yīng)，相同單位的壞消息要比好消息對深證成指對數(shù)收益率波動(dòng)性的影響更大。

圖2 基于偏t分布的TGARCH模型信息沖擊曲線圖

四、結(jié)語

本文實(shí)證研究得出的結(jié)論如下：第一，GARCH模型可以很好地反映深證成指日度對數(shù)收益率具有顯著的“尖峰厚尾”特征。第二，信息沖擊對于深證成指日度對數(shù)收益率的波動(dòng)性的影響具有持續(xù)性，深證成指的波動(dòng)沖擊會持續(xù)一段時(shí)間才會逐步衰減。第三，深證成指存在著顯著的杠桿效應(yīng)，相同單位的壞消息要比好消息對深圳成指對數(shù)收益率波動(dòng)性的影響更大。當(dāng)存在著壞的信息沖擊時(shí)，深證成指波動(dòng)率更容易產(chǎn)生變化。