一類非自治地球物理方程的拉回指數(shù)吸引子

韓英豪, 傅 雪, 周雪瑩, 李 錚

(遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,遼寧 大連 116029)

海洋和大氣的大尺度動力學(xué)方程是由Navier-Stokes方程導(dǎo)出的一個偏微分方程組,是熱力學(xué)和鹽度擴散輸運方程耦合而成的.該方程組考慮了Boussinesq逼近下的浮力和分層效應(yīng).由于海洋和大氣的低矮性,即流體層的深度與地球半徑相比非常小,海洋的垂直方向流動比大氣水平方向的流動小得多,因而通過流體靜力平衡來模擬垂直運動可得到如下大尺度海洋和大氣動力學(xué)的原始方程組[1-5]：

(1)

方程組的定義域為Ω=M×(-h,0),其中,M是以?M為光滑邊界的2中的一個有界區(qū)域,h為給定正常數(shù).該方程組以三維速度場(v1,v2,w),v=(v1,v2),溫度T和壓強p作為未知函數(shù).是3中的垂直單位矢量,f=f0+βy為Coriolis常數(shù),R0是與地球自轉(zhuǎn)對海洋動力行為的影響相關(guān)聯(lián)的Rossby常數(shù),Q(x,y,z,t)是給定的熱源函數(shù).在方程組中黏度算子L1和熱擴散算子L2的定義分別為

和

1 準(zhǔn)備工作

用Γu,Γb和Γl分別表示Ω的上邊界、下邊界和側(cè)邊界,即:

對方程組(1)施加如下邊界條件:

(2)

并初始條件為

(3)

下面證明上述方程所產(chǎn)生的動力過程{U(t,τ)}t≥τ在函數(shù)空間(H2(Ω))3∩V中的拉回指數(shù)吸引子的存在性.其中,空間V的定義如下.令

(4)

定義在H1上的線性無界算子A1和在L2(Ω)上的線性無界算子A2:

(5)

那么,對任意v1,v2∈V1,T1,T2∈V2,w∈H1,有

對任意u,v∈((H2(Ω))2∩V1),w∈H1, 定義雙線性算子B1(u,v):((H2(Ω))2∩V1)×((H2(Ω))2∩V1)→H1,使得

對任意χ∈((H2(Ω))2∩V1),φ∈(H2(Ω)∩V2),ζ∈L2(Ω),定義雙線性算子

B2(w,φ):((H2(Ω))2∩V1)×(H2(Ω)∩V2)→L2(Ω),

使得,

那么方程組(1)～方程組(3)可以寫成如下簡約形式:

(6)

其邊界條件為

(7)

初始條件為

(8)

因而,在V中可定義連續(xù)過程{U(t,τ):τ≤t}:

U(t,τ)(vτ,Tτ)=(v(t),T(t)):=(v(t;τ,(vτ,Tτ)),T(t;τ,(vτ,Tτ))).

對于?t<τ,滿足

(i)U(τ,τ)=IdV(V上的恒等映射)；

(ii)U(t,τ)=U(t,r)U(r,τ).

定理2[6]對任意T0∈,如果那么,對于t≤T0,非自治動力過程{U(t,τ):t≥τ}在V上擁有一個有界拉回吸收集其直徑僅依賴于方程組的系數(shù)h,δ,α,Rt1,Rt2,Re1和Re2的大小.因而, 當(dāng)時,非自治動力過程{U(t,τ):t≥τ}在V上擁有一致有界拉回吸收集其拉回吸收時間僅依賴于有界集合B的直徑以及t-τ的大小.

2 拉回指數(shù)吸引子的存在性

(i){U(t,τ)}在X中存在一致有界吸收集

U(t,t-τ)B?B(t), ?τ≥τ0.

(ii)存在0<δ<1,0<θ<1-δ,T1>0,有限維子空間X1?X,對于任意u,u1,u2∈D和t∈,有

‖U(t,τ)u1-U(t,τ)u2‖≤l‖u1-u2‖,l>0,?t,τ∈[kT1,(k+1)T1], ?k∈,

(9)

‖(I-Pm)(U(t,t-T1)u1-U(t,t-T1)u2)‖≤δ‖u1-u2‖,

(10)

(11)

其中，δ的值不依賴于t的值,Pm:X→X1是一個有界投影,m是X1的維數(shù).

(12)

對方程(12)的兩端與L1w做內(nèi)積,得到

(13)

把式(13)整理,得到

(14)

(15)

利用Gronwall引理,從式(15)得到

‖w(t)‖2≤‖w(τ)‖2ec(t-τ).

令w=w1+w2,其中，w1是w在PH內(nèi)的投影,將方程式(12)兩側(cè)與L1w2做內(nèi)積,可得

(16)

利用Young不等式,將等式(16)整理得到

通過使用Poincaré不等式:λn‖w2‖2≤‖L1w2‖2,從上式得到

(17)

利用Gronwall引理,從式(17)得到

進一步整理上式,得到

當(dāng)λn的值充分大時,即可得式(10).

令Hm=span((w1,η1),(w2,η2),…,(wm,ηm)),Pm:H→Hm是L2(Ω)在Hm上的正交投影.設(shè)

(v(t),T(t))=U(t,τ-s)(vτ,Tτ)=(v1+v2,T1+T2),

其中，有(v1,T1)=Pm(v,T),(v2,T2)=(I-Pm)(v,T).

將方程組(1)中的第一個等式兩端與L1v2做內(nèi)積,得到

利用Young不等式,從上式得到

進而得到

(18)

其中,

因此,當(dāng)m充分大時,從式(18)中得到

同理,對任意ε>0,t∈,τ≤τ2-1,當(dāng)m充分大時,有總之,對任意ε>0,t∈,τ≤τ2-2,當(dāng)m充分大時,有‖v2(t)‖2+‖T2(t)‖2≤ε.綜上所述,對任意ε>0,t∈,τ≤τ2-2,當(dāng)m充分大時,即有

這就證明了式(11).證畢.