模態(tài)系統(tǒng)MV 及其可靠性與完全性

姚從軍，徐佳敏

（湘潭大學(xué)哲學(xué)系，湖南湘潭 411105）

我們考慮有這樣一個(gè)模型類(lèi)，它的每個(gè)模型中的每個(gè)可能世界要么自身是一個(gè)死點(diǎn)，要么至少可及一個(gè)死點(diǎn)。我們把滿(mǎn)足這樣性質(zhì)的模型類(lèi)記為★模型類(lèi)。

我們將★模型類(lèi)刻畫(huà)的系統(tǒng)稱(chēng)為MV 系統(tǒng)。MV 系統(tǒng)是由K 系統(tǒng)加上MV 公理組成的，其中MV 公理表示為MLp ∨Lp，K 公理表示為L(zhǎng)（p→q）→（Lp→Lq）。特別說(shuō)明：本文用L 表示必然性算子，M 表示可能性算子。［1］60

在證明之前，先了解什么是模型以及如何賦值的問(wèn)題。模型是一種研究正規(guī)命題模態(tài)系統(tǒng)的重要工具，由三元組〈W，R，V〉構(gòu)成，其中W 是一個(gè)非空集合，代表可能世界集，R 是W 上的二元關(guān)系；V是真值指派，其中真值指派遵循賦值定義。［2］17-34

【賦值定義】

［V～］對(duì)于任意合式公式α 和任意w∈W，如果V（～α，w）=1，那么V（α，w）=0；反之，如果V（α，w）=1，則V（～α，w）=0。

［V∨］對(duì)于任意合式公式α、β 和任意w∈W，如果V（α，w）＝1 或者V（β，w）＝1，那么V（α∨β，w）＝1；否則V（α∨β，w）＝0。

［V·］對(duì)于任意合式公式α、β 和任意w∈W，如果V（α，w）＝1 并且V（β，w）＝1，那么V（α·β，w）＝1；否則（α·β，w）＝0。

［V→］對(duì)于任意合式公式α→β 和任意w∈W，如果V（α，w）＝0 或者V（β，w）＝1，那么V（α→β，w）＝1；否則V（α→β，w）＝0。

［VL］對(duì)于任意合式公式α 和任意w∈W，如果對(duì)于每個(gè)w'∈W，wRw' 并且V（α，w'）＝1，那么V（Lα，w）＝1；否則V（Lα，w）＝0。

［VM］對(duì)于任意合式公式α 和任意w∈W，如果存在w'∈W，wRw'并且V（α，w'）＝1，那么V（Mα，w）＝1；否則V（Mα，w）＝0。

一、相關(guān)定理證明

（一）完全性與一致性

假設(shè)現(xiàn)在有一個(gè)正規(guī)模態(tài)系統(tǒng)S 以及一個(gè)C模型類(lèi)。當(dāng)一個(gè)合式公式在C 模型類(lèi)的每一個(gè)模型中都有效，我們稱(chēng)該合式公式是C 有效的。我們要證明系統(tǒng)S 在C 模型類(lèi)上具有完全性，就是要證明每一個(gè)C 有效的合式公式都是系統(tǒng)S 的定理。換句話(huà)說(shuō)，任意合式公式，如果不是系統(tǒng)S 的定理，那么它就不是C 有效的。

關(guān)于一致性，如果α 是S 一致的，那么～α 就不是S 的定理；如果α 不是S 一致的，那么～α 就是S 的定理。下面給出完全性定理的兩個(gè)等價(jià)版本，并證明二者等價(jià)性。

【定理1】對(duì)于任意合式公式α，如果α 不是系統(tǒng)S 的定理，那么必定存在一個(gè)C 模型，在這個(gè)模型中存在w∈W，V（α，w）＝0。

【定理2】對(duì)于任意合式公式α，如果α 是S一致的，那么必定存在C 模型，在這個(gè)模型中存在w∈W，V（α，w）＝1。

證明1：當(dāng)【定理2】成立的時(shí)候，【定理1】也成立。假設(shè)α 不是S 的定理，這意味著～α 是S 一致的，那么根據(jù)【定理2】，必定存在C 模型，在這個(gè)模型中存在w∈W，V（～α，w）＝1，根據(jù)［V～］，此時(shí)V（α，w）＝0，得證。

證明2：當(dāng)【定理1】成立時(shí)，【定理2】也成立。假設(shè)α 是S 一致的，那么～α 就不是S 的定理。根據(jù)【定理1】，必定存在一個(gè)C 模型，在這個(gè)模型中存在w∈W，V（～α，w）＝0。根據(jù)［V～］，此時(shí)V（α，w）＝1，得證。

（二）極大一致集

假設(shè)存在一個(gè)系統(tǒng)S 的極大一致集Γ，這就意味Γ 不僅是極大的也是S 一致的。所謂極大就是說(shuō)對(duì)于任意合式公式α，要么有α∈Γ，要么有～α∈Γ。我們接下來(lái)討論一些關(guān)于極大一致集的原則。

假設(shè)Γ 是系統(tǒng)S 的任意一個(gè)極大一致集，下面給出幾個(gè)定理：

【定理3】對(duì)于任意合式公式α，集合{α，～α}中的元素有且僅有一個(gè)在Γ 中。

證明：關(guān)于α 與～α 至少有一個(gè)在Γ 中，這是由Γ 的極大性直接給出的。下面再證，α 與～α 不能同時(shí)在Γ 中。我們需要用到一致性。假設(shè)α 和～α 都在Γ 中，那么｛α，～α｝就是Γ 的子集，根據(jù)PC 可得～（α·～α）為系統(tǒng)S 定理，所以α·～α 不是S 的一致的，因?yàn)椋粒粒铅?的子集，所以Γ 也不是S 的一致的，這與題設(shè)產(chǎn)生矛盾，所以α 和～α 只能有一個(gè)在Γ 中。

【定理4】α∨β∈Γ 當(dāng)且僅當(dāng)α∈Γ 或者β∈Γ。

證明：首先假設(shè)α∨β 在Γ 中，但是α 和β 都不在其中。由【定理3】可知，～α 和～β 都在Γ 中，因此｛α∨β，～α，～β｝為Γ 的子集。根據(jù)PC 可得～（（α∨β）·～α·～β）為S 的定理，所以（（α∨β）·～α·～β）不是S 一致的，即｛α∨β，～α，～β｝不是S 一致的。因?yàn)椋痢纽?，～α，～β｝是?的子集，所以Γ 也不是S 一致的，這與題設(shè)產(chǎn)生矛盾。

接下來(lái)再假設(shè)α 和β 中有一個(gè)在Γ 中，比如α，但是α∨β 不在Γ 中。所以｛α，～（α∨β）｝為Γ 的子集，根據(jù)PC 可得～（α，～（α∨β））是S 的定理，所以α，～（α∨β）不是S 一致的。因?yàn)椋?，～（α∨β）｝是?的子集，所以Γ 也不是S一致的，這與題設(shè)產(chǎn)生矛盾。反方向的證明與此類(lèi)似，這里略。

【定理5】α·β∈Γ 當(dāng)且僅當(dāng)α∈Γ 并且β∈Γ。

證明：假設(shè)α·β 在Γ 中，但是α 和β 不在Γ 中。由【定理3】可知～α 和～β 都在Γ 中，因此｛α·β，～α，～β｝為Γ 的子集。根據(jù)PC 可得～（（α·β）·～α·～β）為S 的定理，所以（α·β）·～α·～β）不是S 一致的，即｛α·β，～α，～β｝不是S 一致的。因?yàn)椋痢う?，～α，～β｝是?的子集，所以Γ 也不是S 一致的，這與題設(shè)產(chǎn)生矛盾。

假設(shè)α·β 和α 在Γ 中，但是β 不在Γ中，由【定理3】可知～β 在Γ 中，因此｛α·β，α，～β｝為Γ 的子集。根據(jù)PC 可得～（（α·β）·α·～β）為S 的定理，所以（α·β）·α·～β 不是S 一致的，即｛（α·β）·α·～β｝不是S 一致的，因?yàn)椋é痢う拢う痢ぁ拢铅?的子集，所以Γ 也不是S 一致的，這與題設(shè)產(chǎn)生矛盾。假設(shè)α·β 和β在Γ 中，但是α 不在Γ 中，同樣會(huì)使得Γ 不是S 一致的，因而產(chǎn)生矛盾。證明相同，略。反方向的證明與此類(lèi)似，這里略。

【定理6】如果α 是S 的定理，那么α∈Γ，即S 的任意極大一致集包含S 的所有定理。

證明：假設(shè)合式公式α 是S 的定理，那么～α就不是S 一致的，所以～α 不屬于Γ，因此α 必定屬于Γ。

【定理7】假設(shè)∧是S 一致的公式集，那么存在一個(gè)S 的極大一致集Γ，并且∧?Γ。這意味著每一個(gè)S 一致的公式集都可以擴(kuò)張成極大的S 一致集。

證明：我們首先假設(shè)所有模態(tài)邏輯的合式公式都按照一定的順序排列，并且依次帶上下標(biāo)如α1，α2，α3，…同樣地，我們?cè)俣x這公式集Γ0，Γ1，Γ2Γ3，…

其中：（1）Γ0就是∧，即S 一致的公式集；（2）給定Γn，如果Γn∪｛αn+1｝為S 一致的話(huà)，將其記為Γn+1；如果Γn∪｛αn+1｝ 不是S 一致的話(huà)，將Γn∪｛～αn+1｝記為Γn+1。

我們接下來(lái)證明對(duì)于任意n，如果Γn是S 一致的話(huà)，那么Γn+1也是S 一致的。因?yàn)槿绻+1不是S一致的，意味著Γn∪｛αn+1｝和Γn∪｛～αn+1｝都不是S一致的。這意味著在Γn中存在這樣一些合式公式β1，β2，…，βm，使得：

并且在Γn中也會(huì)存在這樣的合式公式γ1，γ2，…，γk，使得：

最后根據(jù)式（1）、式（2）通過(guò)PC 可得：

├s～（β1·…·βm·γ1·…·γk）。

因?yàn)椤é?·…·βm·γ1·…·γk）是S 的定理，所以（β1·…·βm·γ1·…·γk）就不是S 一致的，即｛β1，…，βm，γ1，…，γk｝不是S 一致的，又因?yàn)椋?，…，βm，γ1，…，γk｝是Γn的子集，所以Γn也不是S 一致的，這與題設(shè)相矛盾。所以Γn+1是S 一致的。

現(xiàn)在我們使Γ 為所有Γn的并集，那么可以得到（a）Γ 是S 一致的。因?yàn)槿绻?不是S 一致的，那么必定存在Γ 的子集不是S 一致的?？墒俏覀冎捆?的所有有限子集都是某個(gè)Γn的子集，那么就意味著存在Γn不是S 一致的，與題設(shè)相矛盾，所以Γ 為S 一致的。（b）Γ 是極大的。我們考慮，對(duì)于任意合式公式αi可以構(gòu)造出Γi，在Γi中要么αi∈Γi，要么～αi∈Γi。因?yàn)棣是Γ 的子集，所以有要么αi∈Γ，要么～αi∈Γ，由此可知Γ 是極大的。（c）∧?Γ，從上述題設(shè)可知，因?yàn)椤木褪铅?，且Γ0?Γ，所以∧?Γ。

（三）典范模型

我們現(xiàn)在要討論的是一種名為典范模型［3］22的特殊模型。和其他正規(guī)模態(tài)系統(tǒng)的模型一樣，典范模型是一個(gè)三元組，對(duì)于任意正規(guī)模態(tài)系統(tǒng)S，我們對(duì)于其典范模型的定義如下所示：（1）W＝｛w:w 是S 的極大一致集｝；（2）對(duì)于任意w∈W，w'∈W，有wRw'當(dāng)且僅當(dāng)L-（w）?w'；（3）對(duì)于任意變?cè)猵 和任意w∈W，如果有p∈w，那么V（p，w）＝1，否則V（p，w）＝0。像［V～］、［VL］、［VM］之類(lèi)的賦值規(guī)則還是和以前一樣，因?yàn)檫@些規(guī)則在正規(guī)模態(tài)系統(tǒng)理論中是固定的元素。

在S 的典范模型中，S 的所有定理在該模型有效，即S 的所有定理在該模型的所有可能世界為真，即S 的定理是每個(gè)可能世界中的元素。同樣的，每一個(gè)非S 定理在該模型的某個(gè)可能世界為假，即非S 定理就不是每個(gè)可能世界的元素。

【定理8】設(shè)是正規(guī)命題模態(tài)系統(tǒng)S 的典范模型，那么對(duì)于任意合式公式α 且任意w ∈W，如果α ∈w，那么V（α，w）＝1，否則V（α，w）＝0。

【定理9】令α 是任一合式公式，α 在系統(tǒng)S的典范模型上有效當(dāng)且僅當(dāng)α 是系統(tǒng)S 的定理。

證明：是系統(tǒng)S 的典范模型，假設(shè)α 是系統(tǒng)S 的定理。通過(guò)【定理6】，可知α 在S 的任意極大一致集中，所以對(duì)于任意w∈W，有α∈w，并且通過(guò)【定理8】我們可以知道，對(duì)于任意w∈W，有V（α，w）＝1，也就是說(shuō)α 在模型中有效。

（四）死點(diǎn)

現(xiàn)在我們介紹一下什么是死點(diǎn)，如果一個(gè)模型包含這樣的可能世界——這些可能世界不可及任意其他可能世界甚至不可及他們自身，我們把這樣的可能世界稱(chēng)為死點(diǎn)。在任意模型中，如果可能世界w 是一個(gè)死點(diǎn)，那么對(duì)于任意合式公式α 有V（Lα，w）＝1，并且V（Mα，w）＝0。

【定理10】對(duì)于任意模型和任意w∈W，有V（L（p·～p），w）＝1 當(dāng)且僅當(dāng)w 是一個(gè)死點(diǎn)。

證明：在這里我們用反證法。假設(shè)v（L（p·～p），w）＝1，但是w 不是死點(diǎn)，因此就會(huì)存在w'有wRw'。通過(guò)賦值定義［VL］，有v（p·～p，w'）＝1，但這是不可能的。因?yàn)閷?duì)于任意模型中的可能世界w'，都有V（p·～p，w'）＝0。這與上文產(chǎn)生矛盾，所以w 一定為死點(diǎn)。

【定理11】對(duì)于任意模型和任意w∈W，V（ML（p·～p），w）＝1 當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)可能世界w’∈W，有wRw'并且w'是一個(gè)死點(diǎn)。

證明：根據(jù)模態(tài)邏輯的賦值定義，V（ML（p·～p），w）＝1 當(dāng)且僅當(dāng)存在可能世界w’∈W，有wRw'并且V（L（p·～p），w'）＝1。又根據(jù)【定理10】，當(dāng)且僅當(dāng)w'是一個(gè)死點(diǎn)。

二、證明MV 系統(tǒng)可靠性

我們要證明MV 系統(tǒng)在★模型類(lèi)上具有可靠性，也就是要證明MV 系統(tǒng)的每一個(gè)定理在★模型類(lèi)上都有效。為了達(dá)到這個(gè)目的我們只需要證明兩點(diǎn)，其一，我們需要證明MV 系統(tǒng)的公理在★模型類(lèi)上有效；其二，我們要證明三大轉(zhuǎn)換規(guī)則也在★模型類(lèi)上保持有效。

（一）公理有效

我們已知K 系統(tǒng)中的公理在每個(gè)模型上都是有效的，那么可以知道K 系統(tǒng)的公理在★中的所有模型上也是有效的。證明如下：

我們已知K 公理為L(zhǎng)（p→q）→（Lp→Lq），考慮在任意模型中的任意可能世界w，假設(shè)K 公理在w 上為假，那么就有V（L（p→q），w）＝1、V（（Lp→Lq），w）＝0，也就是說(shuō)V（Lp，w）＝1 且V（Lq，w）＝0。根據(jù)賦值定義［VL］，對(duì)于任意w'∈W，并且wRw'，V（p→q，w'）＝1、V（p，w'）＝1、V（q，w'）＝0。其中V（p→q，w'）＝1 與V（p，w'）＝1 且V（q，w'）＝0相矛盾，所以K 公理在任意可能世界w 上一定為真。那么［4］K 公理在所有模型上都是有效的。

接下來(lái)證明MV 公理在★中的所有模型上也是有效的。首先，如果可能世界w 是一個(gè)死點(diǎn)，那么在w 上Lp 為真，因此MLp ∨Lp 也為真。再如果w可及一個(gè)死點(diǎn)w'，那么Lp 在w'上為真，所以MLp在w 上為真，因此MLp ∨Lp 在w 上也為真。綜上所述MV 公理是★有效的。

（二）三大轉(zhuǎn)換規(guī)則保持有效

分離規(guī)則MP 對(duì)任意模型保持有效性。用反證法證明。

假設(shè)存在模型，MP 對(duì)該模型不保持有效性，也就是說(shuō)，存在公式α→β 和公式α，他們?cè)?W，R，V>上有效。但是β 在上不有效，這意味著存在w∈W，V（β，w）＝0。根據(jù)賦值定義［V→］，我們可以知道此時(shí)V（α→β，w）＝1與V（α，w）＝1 不能同時(shí)成立，這與公式α→β和公式α 在上有效相矛盾。由此可知分離規(guī)則對(duì)任意模型保持有效，當(dāng)然也對(duì)★模型類(lèi)保持有效性。

必然化規(guī)則N 對(duì)任意模型保持有效性。

證明：假設(shè)存在模型以及合式公式α，α 在模型上有效。這意味著對(duì)于任意w∈W，有V（α，w）＝1，此時(shí)對(duì)于任意w'∈W 且wRw'有V（α，w'）＝1。根據(jù)賦值定義［VL］，此時(shí)對(duì)于任意w∈W，有V（Lα，w）＝1。因此Lα 在上有效。由此可知必然化規(guī)則對(duì)任意模型有效，當(dāng)然也對(duì)★模型類(lèi)保持有效性。

代入規(guī)則US 對(duì)★模型保持有效性。此證明見(jiàn)相關(guān)文獻(xiàn)，證明略。

綜上所述，我們證明了MV 系統(tǒng)的所有公理以及MV 系統(tǒng)的三大轉(zhuǎn)換規(guī)則都在★模型類(lèi)中有效或保持有效，所以我們說(shuō)MV 系統(tǒng)相對(duì)于★模型類(lèi)具有可靠性。

三、證明MV 系統(tǒng)的完全性

我們要證明MV 系統(tǒng)具有完全性，也就是要證明每個(gè)★有效的合式公式是MV 的定理，也就是說(shuō)所有不是MV 定理的公式在某個(gè)★模型中不有效。通過(guò)【定理9】我們知道，如果一個(gè)合式公式α 不是MV 定理，那么這個(gè)合式公式α 在MV 的典范模型中不有效。因此如果MV 的典范模型是一個(gè)★模型，那么必定存在一個(gè)被稱(chēng)作典范模型的★模型，在這個(gè)典范模型中公式α 不有效。很顯然，現(xiàn)在我們需要證明MV 系統(tǒng)的完全性，也就是要證明MV 的典范模型是★模型，也就是說(shuō)我們需要證明：在MV 系統(tǒng)的典范模型中，所有w∈W 要么是死點(diǎn)，要么可及某個(gè)死點(diǎn)。

根據(jù)【定理2】我們可以知道，對(duì)于任意合式公式α，如果α 是MV 一致的，那么必定會(huì)存在一個(gè)模型，在這個(gè)模型中有w∈W，V（α，w）＝1。由于α 是MV 一致的，那么｛α｝就是MV 一致的公式集，根據(jù)【定理7】，此時(shí)存在一個(gè)MV 系統(tǒng)的極大一致集，我們將其記為w'，有｛α｝?w'，由此我們可以構(gòu)造出MV 系統(tǒng)的典范模型，在這個(gè)模型中存在w∈W'，V（α，w）＝1。接下來(lái)我們只需要證明該典范模型是★模型。

首先我們用p·～p 代替MV 公理中的p，因此得到了新的公式（1）ML（p·～p）∨L（p·～p），對(duì)于公式（1）來(lái)講，在MV 系統(tǒng)的典范模型中，存在w∈W'，有V（ML（p·～p）∨L（p·～p），w）＝1，即ML（p·～p）∨L（p·～p）∈w。通過(guò)【定理4】，有ML（p·～p）∈w 或者L（p·～p）∈w。如果前者為真的話(huà)，有V（ML（p·～p），w）＝1，那么通過(guò)【定理11】，可知w 至少可及一個(gè)死點(diǎn)，如果后者為真的話(huà)，有V（L（p·～p），w）＝1，通過(guò)【定理10】，可知w 自身為一個(gè)死點(diǎn)。

由此可知，MV 的典范模型是★模型，即所有可能世界w∈W 要么是死點(diǎn)，要么可及某個(gè)死點(diǎn)。所以MV 系統(tǒng)具有完全性。

綜上所述，MV 系統(tǒng)在★模型類(lèi)上既可靠又完全。