基于輸出反饋和滑?？刂频囊活惗A非線性系統(tǒng)有限時(shí)間鎮(zhèn)定方法

孫訓(xùn)紅, 陳維樂, 都海波, 李世華

(1.合肥工業(yè)大學(xué)電氣與自動化工程學(xué)院,安徽合肥 230000;2.東南大學(xué)自動化學(xué)院,江蘇南京 210096)

1 引言

眾所周知,對于控制系統(tǒng),收斂性能和抗干擾性能是重要的性能指標(biāo),這也是工程師在設(shè)計(jì)控制器時(shí)所關(guān)注的重點(diǎn).注意到大多數(shù)控制器設(shè)計(jì)滿足局部利普希茨條件,這意味著閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的,收斂速度只能做到指數(shù)收斂.為了提高收斂速度,文獻(xiàn)[1-5]等相繼提出并發(fā)展了有限時(shí)間控制算法,系統(tǒng)狀態(tài)將在有限時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn).目前主要的有限時(shí)間控制算法有齊次性法[3]、加冪積分法[4]和終端滑模算法[5]等.其中,齊次性法控制器結(jié)構(gòu)簡單且易于設(shè)計(jì)[6-7],但是在高階系統(tǒng)中是一種存在性設(shè)計(jì)而不是構(gòu)造性設(shè)計(jì),抗干擾能力難以定量分析[3].而加冪積分法一方面能夠結(jié)合反步設(shè)計(jì)思想,另一方面可以通過顯式構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù),定量分析抗干擾性能,因此得到了廣泛應(yīng)用[4,8-11].終端滑模方法結(jié)合了傳統(tǒng)滑?？刂扑惴ê陀邢迺r(shí)間算法,設(shè)計(jì)了非線性滑模面,從而使得狀態(tài)在到達(dá)滑模面后,能夠沿著滑模面有限時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)[5,12].特別地,如果將有限時(shí)間控制算法定義為能夠使系統(tǒng)穩(wěn)定且系統(tǒng)狀態(tài)有限時(shí)間收斂的算法,滑模算法[13-14]也可以看成是一類有限時(shí)間控制算法.

文獻(xiàn)[4]提出并利用加冪積分技術(shù)構(gòu)造了非光滑連續(xù)狀態(tài)反饋控制器,對一類廣泛的本質(zhì)非線性系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了全局漸近鎮(zhèn)定.隨后,結(jié)合加冪積分技術(shù),文獻(xiàn)[15]考慮了一類帶不確定動力學(xué)的非線性系統(tǒng)的有限時(shí)間鎮(zhèn)定問題.文獻(xiàn)[16]基于邏輯切換,實(shí)現(xiàn)了一類不確定非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)有限時(shí)間鎮(zhèn)定.此外,文獻(xiàn)[17]針對一類帶匹配不確定非線性動力學(xué)的系統(tǒng),提出了一種時(shí)變反饋調(diào)節(jié)方法,可以在預(yù)定的時(shí)間內(nèi)對系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行調(diào)節(jié).值得注意的是,上述的控制器設(shè)計(jì)方法都是基于全狀態(tài)反饋的,這意味著系統(tǒng)的所有狀態(tài)都必須是已知的.而在實(shí)際中,有一些場合,如電機(jī)系統(tǒng),由于技術(shù)限制或成本考慮,采用無速度傳感器實(shí)現(xiàn)其控制[18-19].因此,基于輸出反饋的有限時(shí)間控制算法值得深入研究.在文獻(xiàn)[20]中,首次實(shí)現(xiàn)了雙積分系統(tǒng)的有限時(shí)間輸出反饋鎮(zhèn)定問題.隨后,在文獻(xiàn)[21-22]中,利用遞歸設(shè)計(jì)方法和齊次控制方法,研究了一類高階不確定非線性系統(tǒng)的全局有限時(shí)間輸出反饋鎮(zhèn)定問題.

文獻(xiàn)[20-22]等盡管已經(jīng)考慮了系統(tǒng)的不確定動力學(xué),但是沒有考慮外部干擾的影響.在實(shí)際工程中,外部干擾是不可避免的.考慮到系統(tǒng)的輸出反饋需要對系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行觀測,而外部干擾將影響觀測器的收斂性.對于有界干擾,超螺旋算法具有良好的收斂性能和抗干擾性能,因此得到了廣泛的研究和應(yīng)用[23-26].然而,由于不確定動力學(xué)的存在,無法“獨(dú)立”證明觀測器的收斂性.此時(shí),“分離原理”不適用.因此本文采用了“非分離原理”,主要思路如下.首先,設(shè)計(jì)了一種狀態(tài)反饋控制器,實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的有限時(shí)間鎮(zhèn)定.然后,考慮到只有系統(tǒng)輸出可知的情況,設(shè)計(jì)了一種基于狀態(tài)觀測器的復(fù)合有限時(shí)間控制器,實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的有限時(shí)間輸出鎮(zhèn)定.此外,本文的有限時(shí)間觀測器與控制器采用了狀態(tài)的非連續(xù)函數(shù),這導(dǎo)致在通常意義下無法解釋系統(tǒng)解,而是Filippov意義下的解[27].

本文的結(jié)構(gòu)如下:第2節(jié)介紹了被控系統(tǒng)的模型,以及預(yù)備知識,包括一些有用的假設(shè)、定義和引理;第3節(jié)是全文的主要內(nèi)容,分為3個(gè)步驟并在開始時(shí)作了詳細(xì)介紹;第4節(jié)給出了一個(gè)仿真實(shí)例;最后,第5節(jié)對本文進(jìn)行總結(jié).

2 問題描述和預(yù)備知識

2.1 問題描述

考慮一類具有不確定動力學(xué)和未知外部擾動的二階非線性系統(tǒng)

其中x=[x1x2]∈R2是系統(tǒng)狀態(tài)向量,y ∈R是系統(tǒng)輸出,u ∈R為控制輸入,f1(·)是系統(tǒng)非匹配未知非線性動力學(xué),f2(t,x,d)= ˉf2(t,x)+d(t), ˉf2(t,x)和d(t)分別是控制輸入通道中的不確定動力學(xué)和未知外部干擾.

本文的最終目的是為非線性系統(tǒng)(1)設(shè)計(jì)一個(gè)基于輸出反饋的控制器,實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)的有限時(shí)間鎮(zhèn)定.控制器設(shè)計(jì)和穩(wěn)定性分析面臨以下難點(diǎn):i)系統(tǒng)存在不確定的非線性動力學(xué)和未知的外部擾動;ii)對于系統(tǒng)的狀態(tài),只有x1作為系統(tǒng)的輸出是可測量的.一些假設(shè)如下.

假設(shè)1 對于系統(tǒng)(1),有兩個(gè)已知的非負(fù)常數(shù)a1,a2使得

注1參考文獻(xiàn)[21-22,28-30]等均有類似的假設(shè).文獻(xiàn)[21-22]不考慮外部有界干擾,而本文假設(shè)匹配不確定動力學(xué)ˉf2(t,x)和未知外部干擾d(t)都是全局有界的.文獻(xiàn)[28-29]的非線性動力學(xué)形式是已知的,但是假設(shè)條件更加寬松.而對于非匹配干擾f1,其約束條件直接參考了文獻(xiàn)[30]的假設(shè)條件.實(shí)際上,本文也可以看成是對文獻(xiàn)[30]的部分結(jié)論進(jìn)行了基于輸出反饋的擴(kuò)展.此外,文獻(xiàn)[30]中對于Buck型電路的應(yīng)用,也體現(xiàn)了上述假設(shè)的合理性.

2.2 預(yù)備知識

定義1(Sig函數(shù))

引理1[2]考慮如下系統(tǒng):

其中f(·):Rn →Rn是一個(gè)連續(xù)函數(shù).假設(shè)存在一個(gè)正定連續(xù)函數(shù)V(x):U →R,有實(shí)數(shù)c>0和α ∈(0,1),并且存在一個(gè)包含原點(diǎn)開區(qū)域U0?U使得˙V(x)+c(V(x))α≤0,x ∈U0{0}.那么V(x)將在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)0.此外,有限收斂時(shí)間T滿足

引理2[5]如果m>1,那么

3 主要結(jié)果

通過坐標(biāo)變換,將本文的控制目標(biāo)轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)(6)的有限時(shí)間輸出鎮(zhèn)定.

本節(jié)分為3個(gè)步驟.

步驟1 對于系統(tǒng)(6),設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋控制器來實(shí)現(xiàn)全局有限時(shí)間鎮(zhèn)定.

步驟2 考慮到z2不能直接測量,設(shè)計(jì)了一個(gè)觀測器來估計(jì)z2.這種觀測器的形式是基于超螺旋觀測器.但是,由于非匹配不確定動力學(xué)g1的存在,不能單獨(dú)證明觀測器的有限時(shí)間收斂性.

步驟3 步驟1和步驟2表明系統(tǒng)不能使用“分離原理”進(jìn)行輸出反饋控制.因此,本文同時(shí)進(jìn)行控制器和觀測器的穩(wěn)定性分析.通過設(shè)計(jì)總李雅普諾夫函數(shù),證明了總閉環(huán)系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性,同時(shí)實(shí)現(xiàn)了z2的有限時(shí)間估計(jì)和系統(tǒng)的全局有限時(shí)間輸出鎮(zhèn)定.

3.1 狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)

定理1 對于系統(tǒng)(6),在假設(shè)1條件下,如果狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)為

這意味著系統(tǒng)的狀態(tài)會在有限時(shí)間內(nèi)收斂到原點(diǎn).

3.2 狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)

定理2 對于系統(tǒng)(6),在假設(shè)1條件下,如果狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)為式(22),

·在李雅普諾夫函數(shù)(24)下,W沿系統(tǒng)(23)的導(dǎo)數(shù)滿足式(42).

·如果a1=0,則存在合適的增益k1,k2>0實(shí)現(xiàn)狀態(tài)的有限時(shí)間觀測.

證 構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)

接下來,本文在兩種情況下估計(jì)不等式(26)的最后一項(xiàng).

這實(shí)際上是超螺旋算法(super twisting algorithm,STA).因此,與已有超螺旋算法的李雅普諾夫函數(shù)法證明[32-34]不同,本文設(shè)計(jì)了一個(gè)新的李雅普諾夫函數(shù),提供了一種新的、簡潔的STA算法的證明方法.

注3根據(jù)定理1和定理2,如果a1=0,可以使用“分離原理”實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)(6)的有限時(shí)間輸出鎮(zhèn)定.具體地,首先通過定理2,在有限時(shí)間T1后得到z2的估計(jì).之后,輸出反饋控制實(shí)際上變成了狀態(tài)反饋控制,由定理1可知,在T1+T2之后,系統(tǒng)將收斂到0.但本文主要考慮a1>0的情況.在這種情況下,“分離原理”并不適用.因此,接下來本文將利用“非分離原理”來解決有限時(shí)間輸出鎮(zhèn)定問題.

3.3 基于輸出反饋的有限時(shí)間控制器設(shè)計(jì)

當(dāng)不能直接獲得狀態(tài)z2時(shí),上述狀態(tài)反饋控制不再適用.此時(shí),使用如下輸出反饋控制器:

定理3 對于系統(tǒng)(6),在假設(shè)1條件下,若將輸出反饋控制器設(shè)計(jì)為式(44)且狀態(tài)觀測器設(shè)計(jì)為式(22),則存在適當(dāng)?shù)恼鲆姒?,β2,k1,k2和L使得整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)有限時(shí)間輸出鎮(zhèn)定.

由于擺桿在運(yùn)動過程中會受到各種擾動因素的影響.為提高擺桿的控制精度，下面采用自抗擾控制方法設(shè)計(jì)控制倒立擺擺桿角度的控制器.

其中?ρ是一個(gè)正的常數(shù).

基于式(57),U(z,e)會在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0.因此,V(z)和W(e)都將在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0,這意味著本文同時(shí)實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)狀態(tài)的有限時(shí)間估計(jì)和系統(tǒng)的有限時(shí)間輸出反饋鎮(zhèn)定.

回到最初的問題,即系統(tǒng)(1)的有限時(shí)間輸出反饋鎮(zhèn)定.根據(jù)定理3和坐標(biāo)變換(5),可以得到以下結(jié)論.

定理4 對于系統(tǒng)(1),在假設(shè)1條件下,若將輸出反饋控制器設(shè)計(jì)為

則存在合適的增益β1,β2,k1,k2和L使得整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定.證畢.

4 仿真

在仿真中,假設(shè)系統(tǒng)(1)的不確定動力學(xué)和未知外部擾動滿足

則|f1|≤1.5|x1|1/2和|f2|≤3,滿足假設(shè)1.控制增益分別取β1=15,β2=3,k1=20,k2=15和L=2.為了更好地表現(xiàn)系統(tǒng)能夠全局有限時(shí)間輸出鎮(zhèn)定,選擇較大的輸出初值,即y(0)=x1(0)=100.其它初值選取為x2(0)=0, ?x1(0)=0, ?x2(0)=0.仿真結(jié)果見圖1-3,其中圖1是系統(tǒng)狀態(tài)x1和x2,圖2是系統(tǒng)狀態(tài)x1及其估計(jì)?x1,圖3是系統(tǒng)狀態(tài)x2及其估計(jì)?x2.從圖1可知,系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂到原點(diǎn);由圖2和圖3可知,在系統(tǒng)狀態(tài)鎮(zhèn)定的同時(shí),實(shí)現(xiàn)了狀態(tài)的有限時(shí)間觀測.

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)x1和x2Fig.1 System’s states x1 and x2

圖2 系統(tǒng)狀態(tài)x1及其估計(jì)?x1Fig.2 System’s state x1 and its estimate ?x1

圖3 系統(tǒng)狀態(tài)x2及其估計(jì)?x2Fig.3 System’s state x2 and its estimate ?x2

5 總結(jié)

本文研究了一類具有不確定動力學(xué)和未知外部擾動的二階非線性系統(tǒng)的輸出鎮(zhèn)定問題.當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)可測時(shí),提出了一種全局狀態(tài)反饋有限時(shí)間控制器.當(dāng)只有系統(tǒng)輸出可測時(shí),采用“非分離原理”,構(gòu)造了狀態(tài)觀測器和基于觀測器的輸出反饋控制器,通過李雅普諾夫函數(shù)方法,證明了整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性.最后,一個(gè)仿真實(shí)例驗(yàn)證了理論的有效性.