涵道尾座式垂直起降飛行器全包線飛行控制

程子歡, 裴海龍

(華南理工大學(xué)自動(dòng)化科學(xué)與工程學(xué)院,自主系統(tǒng)與網(wǎng)絡(luò)控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣東省無(wú)人機(jī)系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心,廣東廣州 510640)

1 引言

涵道尾座式是近年來(lái)出現(xiàn)的一種新型尾座式垂直起降飛行器,其依靠涵道風(fēng)扇與組合導(dǎo)流舵面形成單一的矢量動(dòng)力單元,通過(guò)傾轉(zhuǎn)機(jī)體飛行姿態(tài)以完成垂直起降/水平飛行的模態(tài)轉(zhuǎn)換,兼顧垂直起降與高速巡航的特性.不同于傾轉(zhuǎn)旋翼或固定翼-多旋翼復(fù)合型飛行器,由于沒(méi)有任何冗余的垂直起降機(jī)構(gòu),這種垂直起降飛行器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單可靠性且靈活性高,易于車(chē)載/艦載攜帶,于軍民領(lǐng)域都有很好的應(yīng)用前景.而相較于傳統(tǒng)的尾座式飛行器,這種涵道尾座式飛行器其低速狀態(tài)下姿態(tài)控制能力更強(qiáng),能有效彌補(bǔ)傳統(tǒng)尾座式飛行器起降與懸停階段抗風(fēng)能力不足等劣勢(shì),尤其適合作為艦載無(wú)人機(jī)使用,如美國(guó)馬丁無(wú)人機(jī)公司的V-bat[1-2].

先進(jìn)的飛行控制技術(shù)是尾座式飛行器實(shí)現(xiàn)其垂直起降功能的核心.由于兼顧垂直飛行與水平飛行的能力,尾座式飛行器的飛行狀態(tài)變化較大,特別是在由垂直狀態(tài)至水平狀態(tài)的轉(zhuǎn)換過(guò)程中,系統(tǒng)動(dòng)態(tài)呈很強(qiáng)的非線性.一些研究人員對(duì)飛行器各模態(tài)(垂直/水平/轉(zhuǎn)換過(guò)渡)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)化與建模,分別設(shè)計(jì)各模態(tài)下的控制器,并設(shè)計(jì)相應(yīng)的切換率實(shí)現(xiàn)各模態(tài)間的轉(zhuǎn)換[3-5].然而多模態(tài)切換控制難以保證穩(wěn)定性,即便在穩(wěn)定域中的切換動(dòng)作也可能導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)散,使得對(duì)切換率的設(shè)計(jì)要求較高,同時(shí)也加大了對(duì)系統(tǒng)模型的依賴程度.隨著非線性飛控技術(shù)的進(jìn)步,人們更傾向于采用統(tǒng)一的控制器完成飛行器全狀態(tài)下的非線性控制,保證閉環(huán)系統(tǒng)能大范圍甚至全局穩(wěn)定[6-8],即全包線飛行控制器.在全包線飛行控制框架下,使用統(tǒng)一的坐標(biāo)系描述機(jī)體垂直/水平全飛行狀態(tài)下的動(dòng)力學(xué)特性[9-10],而系統(tǒng)的多模態(tài)特性則反映在相應(yīng)參數(shù)的變化上.

對(duì)于涵道尾座式飛行器,其矢量動(dòng)力系統(tǒng)控制能力比傳統(tǒng)尾座式更強(qiáng),所允許的飛行狀態(tài)范圍更大,因此對(duì)全包線飛控的需求更為迫切.然而,由于涵道與機(jī)身機(jī)翼間復(fù)雜的氣動(dòng)耦合效應(yīng),這種飛行器在各狀態(tài)下所受的力與力矩都較為復(fù)雜,表現(xiàn)出強(qiáng)非線性和強(qiáng)耦合特性[11],尚未有簡(jiǎn)單的解析模型適用于這些復(fù)雜非線性項(xiàng)的動(dòng)力學(xué)描述.目前為止,針對(duì)這種新型垂直起降飛行器的公開(kāi)成果十分稀少,除成功研制的機(jī)型V-bat外,僅有D.H.Shim等人的團(tuán)隊(duì)制作了原型樣機(jī),并使用分段線性模型與L1自適應(yīng)控制器完成了飛行試驗(yàn)[12-13].然而,該團(tuán)隊(duì)并未就其控制方法進(jìn)行深入的理論研究,其穩(wěn)定性還有待評(píng)估.

本文研究一類(lèi)涵道尾座式垂直起降飛行器,其擁有較強(qiáng)的矢量推進(jìn)能力,能在同一高度完成垂直懸停、低速飛行、垂直/水平轉(zhuǎn)換、高速巡航等飛行科目,如圖1所示.對(duì)于該類(lèi)飛行器,如何處理其復(fù)雜的氣動(dòng)效應(yīng)在全包線飛行過(guò)程中表現(xiàn)出的大范圍非線性變化,則是飛行控制的核心難點(diǎn).對(duì)此,本文提出一種全包線飛行控制方案.在設(shè)計(jì)的控制框架中,充分考慮了各飛行狀態(tài)下機(jī)體所受氣動(dòng)力矩、氣動(dòng)力及動(dòng)力系統(tǒng)拉力系數(shù)的變化這3個(gè)因素,并設(shè)計(jì)了不同的控制策略加以應(yīng)對(duì).首先,對(duì)于不可直接測(cè)量的外部氣動(dòng)力矩,設(shè)計(jì)了一輔助系統(tǒng)對(duì)其進(jìn)行觀測(cè)估計(jì),以及一自適應(yīng)律對(duì)其進(jìn)行補(bǔ)償.所使用的自適應(yīng)律采用一動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì),能抑制因高自適應(yīng)增益帶來(lái)的系統(tǒng)魯棒性弱化,從而實(shí)現(xiàn)對(duì)未知外部力矩的快速響應(yīng).其次,對(duì)于外部氣動(dòng)力,本方法利用了機(jī)載慣性測(cè)量元件(inertial measurement unit,IMU)的測(cè)量結(jié)果,并給出一種基于IMU加速度(比力)測(cè)量的幾何映射方法以解算所期望的拉力與姿態(tài).進(jìn)一步地,對(duì)所提出的控制框架,本文給出了一保證其全局指數(shù)穩(wěn)定的充分條件.最后,在一小型涵道尾座式無(wú)人機(jī)上對(duì)所提出的控制方案進(jìn)行驗(yàn)證.

圖1 涵道尾座式飛行器各飛行狀態(tài)Fig.1 Illustrations of different flight regimes of the ducted fan tail sitter aircraft

2 系統(tǒng)建模

如圖2所示,所研究的涵道尾座式飛行器置有一尾推式涵道風(fēng)扇矢量動(dòng)力系統(tǒng),其包括一涵道風(fēng)扇與四片控制舵面,通過(guò)風(fēng)扇轉(zhuǎn)速控制風(fēng)扇推力,通過(guò)舵面偏轉(zhuǎn)產(chǎn)生控制力矩控制機(jī)體姿態(tài).同時(shí),該飛行器配有副翼用以增強(qiáng)在水平高速飛行時(shí)的滾轉(zhuǎn)控制能力.在本文中,重點(diǎn)考慮依靠涵道風(fēng)扇矢量動(dòng)力系統(tǒng),完成飛行器在由垂直至水平轉(zhuǎn)換過(guò)程中的全局機(jī)動(dòng)飛行,因此不將副翼作為系統(tǒng)輸入考慮.

圖2 涵道尾座式飛行器系統(tǒng)組成及相關(guān)定義Fig.2 System components and definitions of the ducted fan tail sitter aircraft

采用慣性系-機(jī)體系多坐標(biāo)體系以描述機(jī)體的空間運(yùn)動(dòng),其中慣性坐標(biāo)系表示為{i1,i2,i3},三坐標(biāo)軸按北-東-地規(guī)則定義.機(jī)體坐標(biāo)系表示為{b1,b2,b3},與飛行器固聯(lián),其原點(diǎn)位于飛行器重心.其中,b3與拉力平行、方向相反,b1指向垂直狀態(tài)的前(或水平狀態(tài)的下)、b2指向側(cè)面.在全文中,使用上標(biāo)(·)I與(·)B以區(qū)分慣性系與機(jī)體系中的變量.

2.1 空間6自由度運(yùn)動(dòng)建模

尾座式飛行器在垂直/水平模態(tài)轉(zhuǎn)換過(guò)程中會(huì)經(jīng)歷較大俯仰變化,因而姿態(tài)描述是其首要問(wèn)題.一些研究人員采用四元數(shù)或方向余弦矩陣以避免傳統(tǒng)的‘ZY X’歐拉角在90°俯仰角時(shí)存在奇異的情況[9].而考慮到直觀性、易于調(diào)試等優(yōu)勢(shì),大部分研究人員仍青睞于歐拉角描述法[14].本文采用‘ZXY’旋轉(zhuǎn)順序定義的歐拉角,在該定義下,俯仰角定義域擴(kuò)充至[?180°,180°],而奇異點(diǎn)轉(zhuǎn)為90°滾轉(zhuǎn)角,有效避免了飛行器俯仰運(yùn)動(dòng)時(shí)的奇異問(wèn)題.

飛行器姿態(tài)歐拉角表示為η=[φ θ ψ]T,沿機(jī)體軸的角速度表示為ωB=[p q r]T,在‘ZXY’旋轉(zhuǎn)順序下,歐拉角與角速度的關(guān)系為

其中各相關(guān)變量定義如下:

2.2 作用力

機(jī)體上的作用力對(duì)規(guī)劃其飛行狀態(tài)至關(guān)重要.在式(3)中,合力AB由力除以質(zhì)量以標(biāo)準(zhǔn)化,具有加速度

2.3 作用力矩

該部分視作未建模動(dòng)態(tài),將設(shè)計(jì)相應(yīng)的自適應(yīng)律對(duì)其進(jìn)行補(bǔ)償.值得注意的是,若考慮副翼的動(dòng)作對(duì)機(jī)體姿態(tài)或角速度構(gòu)成負(fù)反饋以增穩(wěn),其力矩作用也可由式(7)囊括.

3 全包線飛行控制方案

全包線飛行控制的目標(biāo)是使得飛行器在其飛行包線內(nèi)達(dá)到全局穩(wěn)定,由于位置動(dòng)態(tài)與模型無(wú)關(guān),這里僅考慮速度跟蹤控制.控制結(jié)構(gòu)采用飛行器典型的內(nèi)環(huán)(姿態(tài)控制)-外環(huán)(位置控制)串級(jí)控制方案[17],在每個(gè)閉環(huán)回路中,采用一全局指數(shù)穩(wěn)定的反饋系統(tǒng)作為標(biāo)稱系統(tǒng),同時(shí)將相應(yīng)的控制輸入細(xì)分為一標(biāo)稱輸入與一自適應(yīng)輸入.其中,標(biāo)稱輸入建立標(biāo)稱系統(tǒng),自適應(yīng)輸入對(duì)式(4)(7)中不可測(cè)的未建模非線性動(dòng)態(tài)MBa,

3.1 相關(guān)定義

其中:下標(biāo)(·)n表示標(biāo)稱輸入,(·)a表示自適應(yīng)輸入.

一些相關(guān)符號(hào)定義為λm(·),λM(·)分別表示矩陣的最小和最大特征值;‖·‖F(xiàn)表示矩陣的F范數(shù).

3.2 姿態(tài)控制(內(nèi)環(huán)方案)

其中Kuv為濾波增益.

3.3 速度控制(外環(huán)方案)

將式(4)(9)代入式(3)中,可將機(jī)體運(yùn)動(dòng)學(xué)模型改寫(xiě)為

其中Kv為反饋系數(shù)矩陣.

該標(biāo)稱系統(tǒng)由標(biāo)稱拉力輸入與飛行器姿態(tài)(uTn,ηd)共同建立:

圖3 輔助坐標(biāo)系與慣性系、機(jī)體系示意Fig.3 Illustrations of the auxiliary frame, the inertial frame and the body frame

輔助坐標(biāo)系的引入將帶氣動(dòng)力的一般情況,轉(zhuǎn)換為單一合力沿f3軸的標(biāo)準(zhǔn)形式,將式(19)代入式(17)中,得

在式(21)中,根據(jù)旋轉(zhuǎn)矩陣不改變向量大小的性質(zhì),Af應(yīng)與等式右邊向量大小相同.同時(shí),輔助系?f3軸(Af方向)應(yīng)與等式右邊向量同向,有

{

需要指出的是,式(23)存在奇異點(diǎn)‖fc3×xc‖2=0,代表了飛行器在豎直方向上以1G進(jìn)行俯沖的理想情況,實(shí)際飛行難以實(shí)現(xiàn),不作考慮.

最后一個(gè)輔助系坐標(biāo)軸可由笛卡爾坐標(biāo)系規(guī)則得到

3.4 分析與討論

定理1 考慮由標(biāo)稱力矩輸入式(11)、輔助系統(tǒng)(13)及自適應(yīng)力矩輸入式(14)構(gòu)成的姿態(tài)閉環(huán)系統(tǒng).不考慮滾轉(zhuǎn)角為90°的極端情況,即?90°

該定理的證明詳見(jiàn)附錄1.

定理2 考慮由標(biāo)稱拉力輸入/姿態(tài)設(shè)定式(25)-(26),自適應(yīng)拉力輸入式(28)及姿態(tài)閉環(huán)式(11)(13)-(14)構(gòu)成的完整閉環(huán)系統(tǒng).若滿足定理1 中條件,及受限的速度誤差‖ev‖2≤evM,則速度跟蹤誤差的原點(diǎn)(ev,eη,eω)=(0,0,0)是全局指數(shù)穩(wěn)定的.

該定理的證明詳見(jiàn)附錄2.

采用較大的KM,K1能使內(nèi)環(huán)子系統(tǒng)對(duì)MBa的變化(包括時(shí)變的風(fēng)擾動(dòng))進(jìn)行快速響應(yīng),但高增益也會(huì)帶來(lái)過(guò)擬合、魯棒性下降等問(wèn)題.對(duì)此,自適應(yīng)輸入采用了式(14)中的動(dòng)態(tài)形式,具有一階低通濾波的特性.這種設(shè)計(jì)能防止執(zhí)行器在自適應(yīng)過(guò)程中因高增益而大幅振蕩,從而使得系統(tǒng)對(duì)未建模動(dòng)態(tài)具有快速適應(yīng)性的同時(shí)又保證了一定程度的魯棒性.而不同于常規(guī)的L1自適應(yīng)控制設(shè)計(jì),這里的低通濾波采用了時(shí)域的表達(dá)形式,有益于整體非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與設(shè)計(jì).

完整的全包線飛行控制器結(jié)構(gòu)如圖4所示.

圖4 飛行控制框圖Fig.4 Flight control structure

針對(duì)由外部氣動(dòng)力/力矩的大范圍變化所帶來(lái)的非線性與多模態(tài)問(wèn)題,本文所設(shè)計(jì)的全包線飛行控制框架,在內(nèi)環(huán)設(shè)計(jì)中采用了式(13)-(14)所示的輔助系統(tǒng)與自適應(yīng)律對(duì)外部氣動(dòng)力矩MBa進(jìn)行觀測(cè)與補(bǔ)償,同時(shí)在外環(huán)設(shè)計(jì)中,利用了機(jī)載IMU可對(duì)外部合力AB進(jìn)行直接測(cè)量的特性,提出一種基于IMU加速度測(cè)量的拉力/姿態(tài)解算方法.這樣的優(yōu)勢(shì)在于,降低了對(duì)飛行器系統(tǒng)建模的要求(僅要求系統(tǒng)的輸入模型,無(wú)須對(duì)復(fù)雜的外部氣動(dòng)效應(yīng)進(jìn)行建模),整體控制器結(jié)構(gòu)更為簡(jiǎn)單可靠,易于實(shí)際系統(tǒng)的工程實(shí)現(xiàn).

4 仿真實(shí)驗(yàn)

本文所設(shè)計(jì)的全包線飛行控制器之核心優(yōu)勢(shì)在于閉環(huán)系統(tǒng)能對(duì)外部氣動(dòng)力矩與氣動(dòng)力進(jìn)行快速響應(yīng),補(bǔ)償其影響以達(dá)到期望的控制性能,而實(shí)現(xiàn)該功能的控制器結(jié)構(gòu)模塊與模型無(wú)關(guān),無(wú)須對(duì)這些復(fù)雜的氣動(dòng)效應(yīng)進(jìn)行建模.對(duì)此,本文設(shè)計(jì)仿真實(shí)驗(yàn)以展示與驗(yàn)證這一內(nèi)在機(jī)理.同時(shí),將本文所述方法與文獻(xiàn)[18]所采用的非線性PID控制器進(jìn)行比較,進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法的優(yōu)勢(shì).在設(shè)計(jì)的仿真實(shí)驗(yàn)中,飛行器初始處于各狀態(tài)原點(diǎn)(懸停狀態(tài)),航向角指向正北(ψ=0).實(shí)驗(yàn)開(kāi)始后,飛行器沿慣性系i1軸(北)以5 m/s2持續(xù)加速至巡航速度20 m/s,并在此后保持巡航飛行.同時(shí),保持其他方向速度與航向角始終為0,即vIyd=vIzd=ψd=0.在該過(guò)程中,所設(shè)計(jì)的全包線飛行控制器將不斷驅(qū)使機(jī)體低頭加速,完成由垂直至水平的飛行模態(tài)轉(zhuǎn)換過(guò)程.在該過(guò)程中,機(jī)體所受的外部氣動(dòng)力與氣動(dòng)力矩都將經(jīng)歷較大非線性變化,若不能對(duì)此進(jìn)行妥當(dāng)?shù)奶幚?則會(huì)嚴(yán)重影響最終的控制性能.另外,為模擬真實(shí)情況,于角速度測(cè)量、加速度測(cè)量分別加入了方差為0.01 rad/s,0.3 m/s2的高斯噪聲,并分別使用截止頻率為ωc1=30 Hz,ωc2=5 Hz的二階巴特沃斯低通濾波器進(jìn)行濾波處理.所采用的控制器參數(shù)如表1所示.

表1 各控制器參數(shù)Table 1 Controller parameters

各系統(tǒng)狀態(tài)的跟蹤響應(yīng)與對(duì)照結(jié)果如圖5所示,其中虛線表示期望值(vId,ηd,ωBd),實(shí)線表示在本文全包線飛行控制器下閉環(huán)系統(tǒng)各狀態(tài)響應(yīng),點(diǎn)劃線表示在非線性PID控制器下的對(duì)照實(shí)驗(yàn)結(jié)果.仿真結(jié)果表明,對(duì)于本文所設(shè)計(jì)的全包線飛行控制器,由于外部氣動(dòng)力與力矩得到了較好的補(bǔ)償,飛行器各狀態(tài)在該過(guò)程中均展現(xiàn)了良好的跟蹤性能.而對(duì)照實(shí)驗(yàn)中,采用非線性PID控制器盡管可通過(guò)積分控制一定程度達(dá)到這種補(bǔ)償效果,但響應(yīng)卻要慢的多,因此整體的控制性能較差.這驗(yàn)證了本文所述方法在應(yīng)對(duì)這類(lèi)涵道尾座式飛行器全包線飛行控制上的優(yōu)勢(shì).

圖5 仿真實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)結(jié)果(虛線:期望值,實(shí)線:本文全包線飛行控制器下系統(tǒng)各狀態(tài)響應(yīng),點(diǎn)劃線:非線性PID控制器下的對(duì)照實(shí)驗(yàn)結(jié)果)Fig.5 Simulation results of system responses (dash curve:reference input, solid curve:real value under the full envelope flight controller, dash-dot curve: comparative result)

圖6 仿真實(shí)驗(yàn)力矩觀測(cè)與拉力補(bǔ)償結(jié)果Fig.6 Simulation results of moment estimation and thrust compensation

5 飛行試驗(yàn)

進(jìn)一步地,本文采用一小型涵道尾座式無(wú)人機(jī)對(duì)所提出的全包線飛行控制方案進(jìn)行驗(yàn)證,如圖7所示.飛行器構(gòu)型包括,總重2 kg,翼展0.8 m,9英寸涵道風(fēng)扇.機(jī)載傳感器包括IMU,磁力計(jì),差分GPS,氣壓計(jì)及空速計(jì).各傳感器數(shù)據(jù)于機(jī)載集成飛控系統(tǒng)進(jìn)行匯總,采用200 Hz的擴(kuò)展卡爾曼濾波模塊進(jìn)行數(shù)據(jù)融合與狀態(tài)估計(jì).飛控算法運(yùn)行頻率設(shè)為100 Hz.飛行數(shù)據(jù)每20 ms(50 Hz)通過(guò)數(shù)傳模塊下傳至地面站進(jìn)行監(jiān)測(cè)與記錄.所采用的控制器參數(shù)與仿真實(shí)驗(yàn)相同,見(jiàn)表1.

圖7 涵道尾座式無(wú)人機(jī)及水平面軌跡跟蹤示意Fig.7 Ducted fan tail sitter UAV and illustration of horizontal path following

各狀態(tài)的控制響應(yīng)如圖8所示,其中圖8(a)-(b)分別為慣性系速度、機(jī)體姿態(tài)的響應(yīng)曲線,實(shí)線表示相應(yīng)狀態(tài)的實(shí)際值(vI,η),虛線表示期望值(vId,ηd).試驗(yàn)結(jié)果表明,飛行器通過(guò)傾轉(zhuǎn)俯仰姿態(tài)完成了由垂直至水平及水平至垂直的模態(tài)轉(zhuǎn)換,飛行狀態(tài)經(jīng)歷了前飛速度由0至20 m/s,俯仰角由0至?90°的大范圍變化過(guò)程.在該過(guò)程中,由于系統(tǒng)非線性及各未建模動(dòng)態(tài)得到了較好的補(bǔ)償,系統(tǒng)速度、姿態(tài)均展現(xiàn)出了良好的跟蹤性能.

圖8 飛行狀態(tài)響應(yīng)結(jié)果(實(shí)線:實(shí)際狀態(tài),虛線:期望值)Fig.8 Results of state responses(solid curve:real value,dash curve:reference input)

6 結(jié)論

本文針對(duì)一種涵道尾座式垂直起降飛行器的非線性飛行控制問(wèn)題,提出了一種全包線飛行控制方案,并完成了實(shí)際飛行試驗(yàn).所提出的方法對(duì)系統(tǒng)模型依賴較小,通用性較強(qiáng).主要成果及結(jié)論包括:

1) 在設(shè)計(jì)的控制框架中,將不可測(cè)的力矩、阻力分量、拉力系數(shù)變化等非線性因素視作未建模動(dòng)態(tài),并設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)控制率對(duì)其進(jìn)行補(bǔ)償.

2) 對(duì)于飛行器大狀態(tài)變化時(shí)的非線性運(yùn)動(dòng)學(xué),提出了一種基于IMU比力測(cè)量的拉力/姿態(tài)幾何解算方法,從而無(wú)須對(duì)復(fù)雜的外部氣動(dòng)力進(jìn)行建模.

3) 在滿足一定的充分條件下,閉環(huán)系統(tǒng)是全局指數(shù)穩(wěn)定的.

4) 采用所提出的控制方案,完成了涵道尾座式樣機(jī)的垂直/水平飛行模態(tài)轉(zhuǎn)換控制,飛行試驗(yàn)結(jié)果表明,所提出控制方案能使飛行器在各狀態(tài)下均獲得良好的控制性能.

圖9 試驗(yàn)軌跡跟蹤結(jié)果(實(shí)線:實(shí)際狀態(tài),虛線:期望值)Fig.9 Tracking results of the flight test course(solid curve:real value,dash curve:reference input)

附錄1

附錄1給出定理1的證明過(guò)程.

假設(shè)1 所允許的飛行器力矩輸入的動(dòng)態(tài)遠(yuǎn)快于外部力矩的變化,以致于在力矩輸入(角加速度)變化的時(shí)間尺度內(nèi),MBa(v,η,ωB,wI)是慢變或不變的,即˙MBa≈0.

從控制系統(tǒng)的時(shí)間尺度來(lái)看(快/慢流形),通過(guò)采用高自適應(yīng)增益與高觀測(cè)增益(式(13)中的KM,K1)或提高系統(tǒng)采樣頻率,可以很容易達(dá)到自適應(yīng)部分與系統(tǒng)狀態(tài)的快慢流形分離.在這種條件下,低階狀態(tài)vI,η,ωB在力矩輸入變化

附錄2

附錄2給出定理2的證明過(guò)程.根據(jù)式(15)-(17)(19)(21)(27),可得如下的速度誤差動(dòng)態(tài):

考慮到飛行器不可無(wú)限加速,采用受限的速度誤差是合理的,將‖ev‖2≤evM代入式(b10)最后一項(xiàng)中,并將式(b10)中‖eη‖2替換為‖z2‖2可得