離散時間部分狀態(tài)反饋模型參考自適應(yīng)控制

桑英麗 張正強(qiáng)

(1.曲阜師范大學(xué)工學(xué)院,山東日照 276826;2.日照匯聯(lián)眾創(chuàng)智能技術(shù)研究院智能控制實驗室,山東日照 276826)

1 引言

模型參考自適應(yīng)控制(model reference adaptive control,MRAC)是自適應(yīng)控制的重要研究方法之一,在連續(xù)時間系統(tǒng)和離散時間系統(tǒng)都有深入研究[1-2].模型參考自適應(yīng)控制的目標(biāo)是設(shè)計自適應(yīng)律和控制器,使得被控對象輸出漸近跟蹤到參考模型輸出,閉環(huán)系統(tǒng)所有信號有界.

由于系統(tǒng)狀態(tài)難以獲取,所以在實踐中,滿足一定假設(shè)條件下,大多采用容易獲得的輸出信號進(jìn)行輸出反饋控制,控制輸入僅與輸出信號和參考輸入信號有關(guān),不依賴狀態(tài)信號.文獻(xiàn)[1]基于觀測器設(shè)計輸出反饋MRAC結(jié)構(gòu)

相對于輸出反饋控制,狀態(tài)反饋MRAC方案擁有更簡單的控制結(jié)構(gòu).文獻(xiàn)[4]對離散時間分段線性系統(tǒng)設(shè)計出切換自適應(yīng)控制器,使閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.文獻(xiàn)[5]針對離散時間不確定性動態(tài)系統(tǒng),提出了一種新的狀態(tài)反饋模型參考自適應(yīng)控制結(jié)構(gòu),有效地提高系統(tǒng)瞬態(tài)性能,并運用對數(shù)Lyapunov函數(shù)證明閉環(huán)系統(tǒng)的Lyapunov穩(wěn)定性以及狀態(tài)跟蹤誤差的漸近收斂性.但狀態(tài)反饋控制依賴難以得到的全狀態(tài)信息,限制了此控制方案的實際應(yīng)用.

近年,針對連續(xù)時間系統(tǒng),提出一種新的部分狀態(tài)反饋控制方案[6-8].部分狀態(tài)反饋控制以可測信號為反饋信號,巧妙地聯(lián)系了全狀態(tài)反饋控制與輸出反饋控制,結(jié)合了兩種反饋控制的優(yōu)勢,控制結(jié)構(gòu)簡單,受較少條件的限制,拓寬了反饋控制的應(yīng)用前景,且可以實現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及對象與參考模型的漸近輸出跟蹤.文獻(xiàn)[9]提出了新的離散時間模型參考自適應(yīng)控制方案,采用部分狀態(tài)反饋設(shè)計新的控制結(jié)構(gòu),實現(xiàn)線性不確定性系統(tǒng)的輸出跟蹤以及所有閉環(huán)信號的有界性,但文章缺乏相關(guān)引理、定理的證明.

本文提出部分狀態(tài)反饋MRAC滿足一定的輸出匹配條件,通過引入輔助信號對離散時間部分狀態(tài)反饋輸出跟蹤MRAC方案[9]作出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)妮敵銎ヅ錀l件存在性、閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性以及漸近輸出跟蹤證明,對不同的反饋方式作出了仿真,證明離散時間部分狀態(tài)反饋控制的有效性.

2 問題描述

考慮離散時間線性時不變系統(tǒng)

控制目標(biāo)是設(shè)計部分狀態(tài)反饋控制律使得閉環(huán)系統(tǒng)所有信號有界,對象(1)的輸出y(t)漸近跟蹤到參考模型輸出ym(t).

參考模型定義為

其中:Pm(z)是首項系數(shù)為1的穩(wěn)定多項式(一般取為zn?),r(t)是有界的參考輸入信號.

在狀態(tài)反饋輸出跟蹤控制問題中,作如下假設(shè):

假設(shè)1Z(z)是首項系數(shù)為1的穩(wěn)定多項式.

假設(shè)2P(z)的階次n以及系統(tǒng)相對階已知.

假設(shè)3 系統(tǒng)增益kp符號已知.

值得注意的是,輸出反饋控制中反饋信號是狀態(tài)信號的一個線性組合,也就是說,輸出反饋是一類特殊的狀態(tài)反饋;可測信號往往不僅是輸出信號,得到的信息就不會局限于輸出信號;另外,可測信號的階次不大于系統(tǒng)階次n.因此可測信號表述為

3 部分狀態(tài)反饋標(biāo)稱控制設(shè)計

3.1 狀態(tài)觀測器設(shè)計

系統(tǒng)參數(shù)已知時,設(shè)計基于部分狀態(tài)反饋的標(biāo)稱控制方案.在部分狀態(tài)反饋控制中,本文將可測的信號y0(t)作為反饋信號進(jìn)行控制設(shè)計,因此需要對狀態(tài)信號進(jìn)行處理.首先,增加假設(shè)

假設(shè)4 向量信號y0(t)=c0x(t),y0(t)是可量測信號并且滿足(A,c0)能觀測,rank(c0)= ˉn.

對于單輸入單輸出系統(tǒng),y0(t)是ˉn維信號,1 ≤ˉn≤n,且y0(t)不一定包含輸出信號y(t)或等于輸出信號y(t).其次,作如下變換:

3.2 部分狀態(tài)反饋控制器結(jié)構(gòu)設(shè)計

3.3 部分狀態(tài)反饋控制的輸出匹配問題

同理,可以得到u(t)有界,ω1(t)有界.綜上可知,控制器(18)可以實現(xiàn)輸出匹配并且保證閉環(huán)系統(tǒng)所有信號的有界性,得證.證畢.

4 部分狀態(tài)反饋模型參考自適應(yīng)控制設(shè)計

4.1 自適應(yīng)控制設(shè)計

采用直接自適應(yīng)方法,通過估計標(biāo)稱控制器參數(shù)來處理系統(tǒng)的不確定性,得到以下自適應(yīng)控制結(jié)構(gòu)

4.2 穩(wěn)定性分析

上節(jié)設(shè)計的自適應(yīng)更新律有以下性質(zhì).

引理2 自適應(yīng)律(50)-(51)保證了

5 仿真

考慮飛行器線性化動態(tài)模型系統(tǒng)如下:

仿真中,選取采樣時間T=0.001 s,參考輸入r(t)=0.01 sin(0.2t),Δ(z)=zn?ˉn,Pm(z)=zn?,x(0)=[0.1 0.1 0.1 0.1],ym(0)=0.01,γ=1.2,Γ=1.2I.自適應(yīng)控制器參數(shù)的初始值選擇為標(biāo)稱下控制器參數(shù)的90%.針對不同反饋信號,本文給出不同的仿真結(jié)果.本文采用部分狀態(tài)反饋模型參考自適應(yīng)控制方案,以二維信號y0(t)=[Qb/(rad·s?1);θ/rad]為反饋信號進(jìn)行自適應(yīng)控制,得到圖1(a),圖2(a),圖3(a)所示的系統(tǒng)響應(yīng)曲線.可以看出,控制信號和狀態(tài)信號有界,實現(xiàn)了輸出漸近跟蹤,表明以一般可測信號進(jìn)行反饋控制的有效性.

為突出新方案的優(yōu)勢,給出了狀態(tài)反饋和輸出反饋控制的系統(tǒng)響應(yīng)曲線.圖1是3種控制方案的輸出跟蹤誤差信號曲線,部分狀態(tài)反饋自適應(yīng)控制相對輸出反饋控制降低了振蕩幅度,減少了響應(yīng)時間;相對狀態(tài)反饋控制雖增加了振蕩幅度,但系統(tǒng)響應(yīng)時間差別不大;圖2是3種控制方案的控制信號,圖3是3種控制方案的狀態(tài)信號.

圖1 部分狀態(tài)反饋控制、狀態(tài)反饋控制和輸出反饋控制的跟蹤誤差信號Fig.1 Tracking error signals for partial-state feedback,state feedback control and output feedback control

圖2 部分狀態(tài)反饋控制、狀態(tài)反饋控制和輸出反饋控制的控制信號Fig.2 Control signals for partial-state feedback,state feedback control and output feedback control

圖3 部分狀態(tài)反饋控制、狀態(tài)反饋控制和輸出反饋控制的狀態(tài)信號Fig.3 State signals for partial-state feedback,state feedback control and output feedback control

新的控制方案相對輸出反饋控制,具有更簡單的控制結(jié)構(gòu),不依賴輸出信號亦可以達(dá)到期望的控制結(jié)果.另一方面,新控制方案緩解了對狀態(tài)信息的限制,依賴不超過系統(tǒng)維數(shù)的任意維可測信號進(jìn)行控制,應(yīng)用靈活.

6 結(jié)論

本文將部分狀態(tài)反饋運用到離散時間系統(tǒng),得到了更加靈活的模型參考自適應(yīng)控制方案.本文不僅證明了輸出匹配條件的存在性,還通過引入輔助信號,詳細(xì)地證明了部分狀態(tài)反饋模型參考自適應(yīng)控制方案可以實現(xiàn)系統(tǒng)漸近輸出跟蹤以及所有閉環(huán)信號的有界性.仿真結(jié)果驗證了這一控制方案的有效性.