任意相對階下非線性切換系統(tǒng)的事件觸發(fā)漏斗控制

龍離軍, 王鳳蘭

(東北大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,遼寧沈陽 110819)

1 引言

近十年來,隨著數(shù)字電子技術(shù)的快速發(fā)展,數(shù)據(jù)采樣控制受到越來越多學(xué)者的關(guān)注.傳統(tǒng)上,控制系統(tǒng)組件之間的信息傳輸大多是利用周期采樣(時間觸發(fā))的方式進(jìn)行的,這往往會造成不必要的采樣和數(shù)據(jù)傳輸.值得指出的是,事件觸發(fā)控制被提出和發(fā)展[1-2].與傳統(tǒng)的時間觸發(fā)控制相比,事件觸發(fā)控制中的采樣/執(zhí)行是由對應(yīng)系統(tǒng)行為的特定“事件”觸發(fā)的.而設(shè)計者可以根據(jù)實際需求來設(shè)計這些“事件”發(fā)生的條件,即系統(tǒng)根據(jù)觸發(fā)條件來決定是否進(jìn)行狀態(tài)或者輸出的采樣以及控制器的更新.文獻(xiàn)[1]已經(jīng)指出,相比于傳統(tǒng)的周期采樣方式,事件觸發(fā)控制可以大大節(jié)約計算和通信資源.針對非線性系統(tǒng),不同的事件觸發(fā)機(jī)制已經(jīng)出現(xiàn)[2-3].

另一方面,作為一類特殊的混雜系統(tǒng),切換系統(tǒng)由一系列子系統(tǒng)和決定子系統(tǒng)切換的切換信號組成.切換系統(tǒng)有其廣泛的應(yīng)用背景,比如機(jī)械系統(tǒng)、電力系統(tǒng)、化學(xué)反應(yīng)釜等均可建模為切換系統(tǒng)[4-6].相應(yīng)地,各種控制問題均得到了廣泛研究[4,7-8].特別地,關(guān)于非線性切換系統(tǒng)的跟蹤控制已得到廣泛關(guān)注[6,9].然而,上述方法不能控制跟蹤誤差的暫態(tài)性能.幸運地,文獻(xiàn)[10]提出了漏斗控制方法.通過利用漏斗控制技術(shù),可以保證跟蹤誤差一直在預(yù)設(shè)的漏斗內(nèi)演化,由此來控制跟蹤誤差的暫態(tài)性能[10-11].然而,這些漏斗控制方法都是僅針對非切換系統(tǒng)而言的,并且是在連續(xù)時間反饋的框架下建立的,因此,這些方法不能直接應(yīng)用到數(shù)字平臺上.鑒于此,研究非線性切換系統(tǒng)的事件觸發(fā)漏斗控制是有理論和實際意義的.

近年來,關(guān)于切換系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制成果不斷出現(xiàn).例如,文獻(xiàn)[12-14]研究了線性切換系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制問題.針對非線性切換系統(tǒng),自適應(yīng)事件觸發(fā)控制問題也得到研究[15-19].然而,文獻(xiàn)[15-16]僅為所有子系統(tǒng)設(shè)計了共同的控制器,繞開了異步切換問題.文獻(xiàn)[19]處理了異步切換問題,但沒有考慮跟蹤誤差的暫態(tài)性能.此外,文獻(xiàn)[15-17,19]并未考慮帶有非輸入到狀態(tài)穩(wěn)定(input-to-state stability,ISS)逆動態(tài)非線性切換系統(tǒng)的情況.事實上,據(jù)筆者所知,到目前為止,關(guān)于如何處理任意相對階且?guī)в蟹荌SS逆動態(tài)的非線性切換系統(tǒng)的事件觸發(fā)漏斗控制問題還鮮有報道.這主要是因為,在非線性切換系統(tǒng)的事件觸發(fā)漏斗控制的研究中,由于子系統(tǒng)切換,事件觸發(fā)和跟蹤誤差受限的相互影響,如何處理子系統(tǒng)控制器與子系統(tǒng)之間的異步切換問題,保證跟蹤誤差一直在預(yù)設(shè)的漏斗內(nèi)演化,以及通過克服子系統(tǒng)切換可能導(dǎo)致觸發(fā)的困難以排除采樣中的奇諾現(xiàn)象都是具有挑戰(zhàn)性的問題.

基于上述的討論,本文針對一類具有任意相對階且?guī)в胁糠址荌SS逆動態(tài)的非線性切換系統(tǒng),研究事件觸發(fā)漏斗跟蹤控制問題.相比于現(xiàn)有的結(jié)果,本文的主要特點如下:1)首次研究具有任意相對階且?guī)в胁糠址荌SS逆動態(tài)的非線性切換系統(tǒng)的事件觸發(fā)漏斗控制問題;2)通過設(shè)計各子系統(tǒng)的事件觸發(fā)漏斗控制器和切換的動態(tài)事件觸發(fā)機(jī)制,有效地處理異步切換問題.所提出的方法消除文獻(xiàn)[15-16]中設(shè)計共同控制器帶來的保守性;3)不同于文獻(xiàn)[15-19],本文通過引入一類具有平均駐留時間的切換信號,保證帶有部分非ISS逆動態(tài)的非線性切換系統(tǒng)的事件觸發(fā)漏斗控制問題的可解性.確保跟蹤誤差一直在預(yù)設(shè)的漏斗內(nèi)演化,并避免采樣中的奇諾現(xiàn)象.

注1在本文中,Rn表示n維歐氏空間,R為實數(shù)集,R≥0是非負(fù)實數(shù)集,R+表示正實數(shù)集,非負(fù)整數(shù)集表示為N.|·|和‖·‖分別表示絕對值和歐氏范數(shù).如果一個連續(xù)的函數(shù)α:R+→R+是嚴(yán)格遞增的,并且滿足α(0)=0,則它被稱作類K函數(shù).如果α是無界的,則是類K∞函數(shù).?(R≥0,R+)表示一類有界函數(shù),其導(dǎo)數(shù)也是有界的.λmin(?)表示矩陣?的最小特征值.如果存在正常數(shù)?r和?c,使得|?δ1(?a)|≤?r|?δ2(?a)|,?|?a|

2 問題描述與預(yù)備知識

2.1 系統(tǒng)描述

考慮如下一類非線性切換系統(tǒng):

其中:ξ ∈Rn?ρ,x=[x1x2··· xρ]T∈Rρ是系統(tǒng)的狀態(tài);σ(t):R+→M={1,2,··· ,m}是一個分段右連續(xù)的常值函數(shù),稱之為切換信號;對應(yīng)于每個k ∈M,uk是第k個子系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制輸入;y為系統(tǒng)的輸出;hk和gk是局部李普希茨函數(shù);Δk是關(guān)于(ξ,x)局部李普希茨的,關(guān)于t分段連續(xù)且有界的函數(shù).記{tp,p ∈N},tp

控制目標(biāo):針對非線性切換系統(tǒng)(1),給定參考信號yr(t),通過設(shè)計各子系統(tǒng)的事件觸發(fā)漏斗控制器和合適的事件觸發(fā)機(jī)制,保證切換閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號在一類平均駐留時間切換信號作用下是有界的,跟蹤誤差y(t)?yr(t)一直保持在預(yù)設(shè)的性能漏斗里演化.同時,避免采樣中的奇諾現(xiàn)象.

為了實現(xiàn)上述控制目標(biāo),給出幾個假設(shè),定義和引理.

注2在切換系統(tǒng)或非切換系統(tǒng)的跟蹤控制研究中,假設(shè)1是常見的.假設(shè)2表明gk(x)?=0, ?t≥0.不失一般性,進(jìn)一步假定gk(x)≥g.根據(jù)假設(shè)3,容易看出非線性切換系統(tǒng)(1)可以帶有部分非ISS的逆動態(tài)(1a),其中,Ms表示對x1是ISS的子系統(tǒng)的集合,Mu表示對x1是非ISS的子系統(tǒng)的集合.不同于現(xiàn)有的關(guān)于非線性切換系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制的文獻(xiàn)[15-19],它們都未考慮非線性切換系統(tǒng)可以帶有非ISS逆動態(tài),本文提出的方法可以解決帶有部分非ISS逆動態(tài)的非線性切換系統(tǒng)的事件觸發(fā)漏斗控制問題.

為簡便起見,對任意時間間隔[τ,t),t0≤τ≤t,記Tu(t,τ)為屬于集合Mu的子系統(tǒng)在時間區(qū)間[τ,t)中被激活的總時間,Ts(t,τ)為屬于集合Ms的子系統(tǒng)在時間區(qū)間[τ,t)中被激活的總時間,則有Ts(t,τ)+Tu(t,τ)=t ?τ.

定義1[4]對任意的切換信號σ(t),如果存在兩個正數(shù)N0和τa,使得

其中:Nσ(T,t)表示在時間間隔[t,T)內(nèi)切換的次數(shù),N0是抖動界.則稱切換信號σ(t)具有平均駐留時間τa.

注3基于假設(shè)4,文獻(xiàn)[11]研究了非線性非切換系統(tǒng)的漏斗控制,但提出的方法不能直接擴(kuò)展去解決帶有非ISS逆動態(tài)的非線性切換系統(tǒng)的事件觸發(fā)漏斗控制問題.主要原因是由于子系統(tǒng)切換和事件觸發(fā)的交互作用造成的異步切換和采樣中奇諾現(xiàn)象的排除是兩個急需解決的挑戰(zhàn)性問題.

2.2 漏斗控制

為了控制跟蹤誤差的暫態(tài)行為,漏斗控制被提出[10].漏斗控制是通過利用系統(tǒng)的高增益性質(zhì)來保證跟蹤誤差在預(yù)設(shè)的性能漏斗里演化.圖1描述跟蹤誤差在預(yù)設(shè)性能漏斗里演化的過程.根據(jù)文獻(xiàn)[11],性能漏斗描述為

圖1 性能漏斗FφFig.1 Performance funnel Fφ

顯然,如果跟蹤誤差的絕對值|e|靠近漏斗邊界ψ,控制增益Γ(t)將增大,反之,如果跟蹤誤差的絕對值|e|遠(yuǎn)離漏斗邊界ψ,控制增益Γ(t)將減小.

3 主要結(jié)果

在本節(jié)中,為了求解帶有部分非ISS逆動態(tài)的非線性切換系統(tǒng)(1)的事件觸發(fā)漏斗控制問題,首先給出各子系統(tǒng)的事件觸發(fā)漏斗控制器和切換的動態(tài)事件觸發(fā)機(jī)制的設(shè)計過程,然后給出切換閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析.

3.1 事件觸發(fā)漏斗控制器設(shè)計

為了充分利用計算和通信資源,本文將為切換系統(tǒng)(1)設(shè)計各子系統(tǒng)的事件觸發(fā)漏斗控制器.為了設(shè)計各子系統(tǒng)的事件觸發(fā)漏斗控制器,首先,注意切換系統(tǒng)(8)關(guān)于e的相對階為ρ.接下來通過引入一個虛擬輸出?,將相對階為ρ的系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為關(guān)于虛擬輸出是相對階為1的系統(tǒng).根據(jù)文獻(xiàn)[11],設(shè)計虛擬輸出?為

其中:δk是正常數(shù),?v是輔助輸入.因此,事件觸發(fā)漏斗控制器設(shè)計為

事實上,在非線性切換系統(tǒng)的事件觸發(fā)漏斗控制研究中,當(dāng)在任意連續(xù)的觸發(fā)間隔內(nèi)發(fā)生子系統(tǒng)切換時,候選子系統(tǒng)的控制器和子系統(tǒng)之間就會自然地發(fā)生異步切換.異步切換可能會降低切換系統(tǒng)性能,甚至造成切換系統(tǒng)的不穩(wěn)定.在本文中,為了處理異步切換問題,一個切換的動態(tài)事件觸發(fā)機(jī)制設(shè)計如下:

其中:?eσ(t)是切換的采樣誤差,θ>0和r1k>0,k ∈M是設(shè)計常數(shù),η(t)是內(nèi)部動態(tài)變量,滿足

其中r0>0是常數(shù),且初值滿足η(0)>0.聯(lián)合式(17)-(19)和r0>0,r1k>0,k ∈M,并利用比較引理[21],容易得出對所有t≥0,有η(t)+θ(r1σ(t)?|?eσ(t)(t)|)≥0和η(t)≥0.另外,式(19)表明˙η(t)≤?r0η(t)+

3.2 穩(wěn)定性分析

首先,分析漏斗邊界初值ψ(0)和跟蹤誤差初值的絕對值|e(0)|的差是嚴(yán)格正的等價于漏斗邊界初值ψ(0)和虛擬輸出初值的絕對值|?(0)|的差是嚴(yán)格正的.

如果?滿足|?|≤ˉψ,根據(jù)式(24),可知當(dāng)‖ˉzρ?1‖≥bˉψ,˙Vˉzρ?1是負(fù)定的.結(jié)合式(23),可知存在正常數(shù)b1,b2,使得集合{ˉzρ?1∈Rρ?1|Vˉzρ?1(ˉzρ?1)≤b1ˉψ2}是系統(tǒng)(22b)的正不變集,且在該集合里z1滿足|z1|≤b2ˉψ.那么,根據(jù)z1=x1?yr和假設(shè)1,可得狀態(tài)x1滿足

其中ψ0是一個常數(shù),滿足0<ψ0<ψ(0).接下來,針對切換系統(tǒng)(22),將會證明如果|?(0)|<ψ(0),則在一類切換信號具有平均駐留時間τa滿足式(4)下,可得對于所有t≥0,|?(t)|≤ˉψ.借助于式(24)-(27)之間的分析,可得對于所有t≥0,有(ξ,ˉzρ?1,?)∈Ξ1成立.

如果|?(0)|≤ψ0,結(jié)合ψ0<ψ(0),可知?(0)和漏斗邊界函數(shù)的初值有一個嚴(yán)格正的距離,即存在一個正常數(shù)?,使得

式(32)表明跟蹤誤差初值的絕對值|e(0)|和漏斗邊界函數(shù)的初值ψ(0)有嚴(yán)格正的距離.因此,結(jié)合式(29)-(32)之間的分析,可知漏斗邊界函數(shù)的初值ψ(0)和虛擬輸出初值的絕對值|?(0)|的差是嚴(yán)格正的等價于漏斗邊界函數(shù)的初值ψ(0)和跟蹤誤差初值的絕對值|e(0)|的差是嚴(yán)格正的.

主要結(jié)果如下:

定理1 在假設(shè)1-4下,考慮由切換系統(tǒng)(22),事件觸發(fā)漏斗控制器(16)和切換的動態(tài)事件觸發(fā)機(jī)制(17)-(18)組成的切換閉環(huán)系統(tǒng),如果選擇正常數(shù)λ2,··· ,λρ使得矩陣A是赫爾維茨的,預(yù)設(shè)的漏斗函數(shù)φ(t)滿足φ(t)∈Ψ,且系統(tǒng)初始條件滿足(ξ(0),ˉzρ?1(0),?(0))∈Ξ0,則在一類平均駐留時間τa滿足式(4)的切換信號作用下,保證切換閉環(huán)系統(tǒng)具有如下的性質(zhì):

1) 對于所有t≥0,切換閉環(huán)系統(tǒng)的所有信號都是有界的,且存在正常數(shù)ds使得

因此,可知?(t)一直在性能漏斗里演化,并且輔助輸入v(t)是有界的.

2) 存在?a使得對于每個a ∈(0,?a],有

3)采樣中的奇諾現(xiàn)象可以避免.

證 對應(yīng)于上述的3個性質(zhì)1)-3),定理1的證明也將分為下面的I)-III)3個部分給出.

因此,?(t)是有界的.那么,結(jié)合式(23)-(28)之間的分析,可得在一類平均駐留時間τa滿足式(4)的切換信號作用下,對于所有t ∈[0,?st),有(ξ,ˉzρ?1,?)∈Ξ1成立,即系統(tǒng)的軌跡都是有界的.這個結(jié)果和解的最大延拓性矛盾,因此可有?st=∞.那么,可得

那么,結(jié)合上述i)-iii)的分析,容易得出在切換閉環(huán)系統(tǒng)中,觸發(fā)時刻序列不會有聚點產(chǎn)生,因此,采樣中不會出現(xiàn)奇諾現(xiàn)象.證畢.

注4不同于現(xiàn)有的關(guān)于非線性切換系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制方法[15-16],它們僅為所有子系統(tǒng)設(shè)計了一個共同的控制器,本文為了降低共同控制器設(shè)計帶來的保守性,設(shè)計了各個子系統(tǒng)的事件觸發(fā)漏斗控制器(16)和切換的動態(tài)事件觸發(fā)機(jī)制(18)-(19),直接解決了異步切換問題.另外,不同于文獻(xiàn)[15-19],本文考慮的非線性切換系統(tǒng)(1)可以帶有部分非ISS逆動態(tài),同時,提出的方法可以保證跟蹤誤差一直在預(yù)設(shè)的性能漏斗內(nèi)演化.

4 仿真示例

為了驗證本文提出的動態(tài)事件觸發(fā)漏斗控制方法的實用性和有效性,本節(jié)給出一個雙倒立擺系統(tǒng).

例1 考慮由彈簧連接的雙倒立擺系統(tǒng)的切換控制,如圖2所示.根據(jù)文獻(xiàn)[22],雙倒立擺控制系統(tǒng)的動力學(xué)模型描述為

圖2 彈簧連接的雙倒立擺Fig.2 Two inverted pendulums connected by a spring

應(yīng)用到系統(tǒng)(72),則系統(tǒng)(72)可以重寫為非線性切換系統(tǒng)的形式

其中:

參考信號滿足yr=1.3 sint.考慮性能漏斗的倒數(shù)ψ(t)為

圖3 例1的系統(tǒng)狀態(tài)ξ1,ξ2,x1,x2及子系統(tǒng)和實際控制器的切換信號σ(t),σ(tej)Fig.3 System states ξ1,ξ2,x1,x2, and switching signals of subsystem and actual controllers σ(t), σ(tej) in Example 1

圖4 例1的跟蹤誤差e,虛擬輸出?及性能漏斗上界ψ和下界?ψFig.4 Tracking error e,virtual output ?,the upper bound ψ and lower bound ?ψ of performance funnel in Example 1

圖5 例1的事件間時間及|e?σ(t)(t)|和+r1σ(t)的軌跡Fig.5 Inter-event times, trajectories of |?eσ(t)(t)| and+r1σ(t) in Example 1

5 結(jié)論

本文解決了具有任意相對階且?guī)в胁糠址荌SS逆動態(tài)的非線性切換系統(tǒng)的動態(tài)事件觸發(fā)漏斗跟蹤控制問題.先通過引入一個虛擬輸出,將任意相對階的切換系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為相對階為一的系統(tǒng).再設(shè)計了各子系統(tǒng)的事件觸發(fā)漏斗控制器和切換的動態(tài)事件觸發(fā)機(jī)制,在一類具有平均駐留時間的切換信號下,保證了跟蹤誤差一直在預(yù)設(shè)的性能漏斗內(nèi)演化,且所有狀態(tài)是有界的,采樣中的奇諾現(xiàn)象同時被避免.最后,仿真結(jié)果驗證了該方法的實用性和有效性.

事實上,當(dāng)控制器和執(zhí)行器之間的信息傳輸中存在網(wǎng)絡(luò)時延時,如何求解非線性切換系統(tǒng)的事件觸發(fā)漏斗控制問題還有待解決.