基于沖擊響應譜變換的星箭力學環(huán)境等效頻譜影響因素分析

鄒元杰，朱衛(wèi)紅，劉紹奎，龐世偉，曾耀祥，潘忠文

（1. 北京空間飛行器總體設(shè)計部，北京 100094； 2. 北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076）

0 引言

衛(wèi)星和運載火箭在發(fā)射過程中要經(jīng)歷復雜的瞬態(tài)力學環(huán)境，激勵和響應等物理量均隨時間變化。無論是通過飛行遙測，還是采用星箭耦合分析來確定該力學環(huán)境，都須首先獲取物理量（如星箭界面或衛(wèi)星內(nèi)部的加速度響應）的時域信息。然而，航天工程上的地面研制試驗通常是在頻域內(nèi)開展的，如正弦振動、隨機振動和混響噪聲等試驗都采用頻域試驗條件。為了制定合理的頻域試驗條件，必須得到合理的力學環(huán)境頻譜幅值。因此，需要將用于試驗控制的物理量的時域信息轉(zhuǎn)換為相應的頻域量（即等效頻譜），再對頻譜進行一定的包絡處理。

運載火箭在點火、關(guān)機、級間分離、星箭分離過程以及航天器在著陸過程中受阻尼作用，系統(tǒng)響應迅速衰減，是典型的瞬態(tài)響應系統(tǒng)。如果將低頻（一般在100 Hz 以內(nèi)）瞬態(tài)響應時域結(jié)果變換至頻域下，傳統(tǒng)的傅里葉變換無法得到合理的幅值特性。此時，工程上往往利用沖擊響應譜變換方法得到正弦振動等效頻譜[1-2]，即首先計算加速度的沖擊響應譜，再除以穩(wěn)態(tài)放大系數(shù)Q。設(shè)計師在使用該方法的過程中發(fā)現(xiàn)，從早期的Q=10 到現(xiàn)在的Q=20，同一個加速度時域信號，隨Q的取值不同所得到的等效頻譜亦有差異（前者的峰值比后者的可能大30%～40%），故據(jù)此制定的正弦振動試驗條件也就不同；而且，工程上對Q的取值并不嚴格對應于衛(wèi)星結(jié)構(gòu)阻尼。因此，如何選擇Q值以及由此延伸出的等效頻譜如何計算等問題，都有待深入研究。

本文結(jié)合上述需求，對工程上基于沖擊響應譜變換的力學環(huán)境等效頻譜確定方法進行分析，結(jié)合近似公式推導和數(shù)值計算，研究影響等效頻譜特性的主要因素，總結(jié)工程計算方法的優(yōu)缺點，以期為探索新的、更合理的星箭力學環(huán)境等效頻譜確定方法奠定基礎(chǔ)。

對于單自由度系統(tǒng)，在基礎(chǔ)激勵作用下的振動方程[3]為

式(4)表征的是固有圓頻率ωn下的加速度響應時間歷程曲線。不同的ωn下均可作出一條對應的加速度響應時間歷程曲線。在此基礎(chǔ)上，求出不同時刻加速度（絕對值）的最大者，作為對應ωn的沖擊響應譜值。即，定義加速度基礎(chǔ)激勵?(t)對應的沖擊響應譜為

1 沖擊響應譜計算方法

沖擊響應譜（shock response spectrum, SRS）是根據(jù)一定形式的外激勵（通常為加速度基礎(chǔ)激勵）給出最大沖擊響應與固有頻率的關(guān)系曲線（如圖1所示）。

圖1 沖擊響應譜模型Fig. 1 Model of shock response spectrum

從上面的分析可以看出，沖擊響應譜計算的關(guān)鍵是求解給定ωn對應的方程(2)，進而獲得彈簧振子的加速度響應時間歷程及其最大值。沖擊響應譜可采用多種計算方法獲得，常用的有基于梯形法則的直接積分方法[4]、基于沖擊響應不變（impulse invariant）的數(shù)字濾波方法[5]和基于斜坡響應不變（ramp invariant）的數(shù)字濾波方法[6]等。

2 基于沖擊響應譜變換的等效頻譜計算方法

為了確定星箭力學環(huán)境頻譜特性，工程上往往借助沖擊響應譜分析方法，通過虛擬單自由度彈簧振子的最大響應換算出基礎(chǔ)加速度的等效頻譜作為力學環(huán)境試驗條件制定的依據(jù)。例如，星箭耦合分析中，首先利用瞬態(tài)響應分析方法得到星箭結(jié)構(gòu)上任意節(jié)點的加速度時域響應，然后以該響應作為若干不同固有頻率的虛擬單自由度彈簧振子的基礎(chǔ)激勵，求解這些振子的最大響應（即沖擊響應譜），而后將該響應譜除以穩(wěn)態(tài)放大系數(shù)Q作為該節(jié)點的加速度頻譜，用于制定衛(wèi)星或部組件的振動試驗條件。其中，Q是在穩(wěn)態(tài)假定下加速度響應譜與基礎(chǔ)激勵幅值的比值?，F(xiàn)推導如下：

方程(1)在穩(wěn)態(tài)基礎(chǔ)激勵下的頻域傳遞函數(shù)為

將式(9)代入式(7)，略去ζ2的高階項，可求得

3 沖擊響應譜相對于基礎(chǔ)激勵的瞬態(tài)放大系數(shù)近似計算方法

式(12)說明，當虛擬彈簧振子的加速度響應處于穩(wěn)態(tài)時，該振子（對應固有圓頻率ωn）加速度響應幅值隨頻率變化的最大值出現(xiàn)在激勵圓頻率ω接近ωn處，相對于基礎(chǔ)加速度幅值的放大倍數(shù)為Q。然而，衛(wèi)星和運載火箭在發(fā)射段的真實力學環(huán)境（激勵和響應）往往是瞬態(tài)的，未必能夠達到穩(wěn)態(tài)。瞬態(tài)基礎(chǔ)激勵下能否給出類似于第2 章的放大系數(shù)簡化表達，并據(jù)此為瞬態(tài)基礎(chǔ)激勵的傳遞特性研究提供直觀的評價手段？這方面查到的相關(guān)文獻較少。故本文嘗試給出從正弦基礎(chǔ)激勵到虛擬彈簧振子沖擊響應譜的瞬態(tài)放大系數(shù)近似計算式，并在此基礎(chǔ)上定性分析等效頻譜工程計算方法的特性。

設(shè)?(t) =Asin(ωt)，初始相對位移z0和相對速度?0為0，則由式(4)可得[7]：

因通常Q≥10，對應的ζ≤0.05，故略去式(15)中的sin(ωnt)項對幅值的貢獻，可近似得到

可以看到，式(16)右端項由2 部分組成，一部分隨余弦變化，另一部分與指數(shù)衰減有關(guān)。將其中余弦變化部分幅值取為最大值1，以此計算?(t;ωn)絕對值隨時間變化的包絡線（用|?(t;ωn)|max表示），進而近似得到瞬態(tài)放大系數(shù)的計算式

對應于式(12)，采用工程計算方法得到的正弦基礎(chǔ)激勵的等效頻譜為

4 數(shù)值算例

4.1 沖擊響應譜數(shù)值算法驗證

首先對第1 章所述3 種常用的沖擊響應譜計算方法進行數(shù)值驗證，分別對2 組由星箭耦合分析得到的典型星箭界面加速度時間歷程?1(t)和?2(t)（其時域信號如圖2 所示）進行沖擊響應譜分析?？梢钥吹?，3 種計算方法得到的沖擊響應譜（如圖3 所示）總體差別不大，其中基于斜坡響應不變的數(shù)字濾波方法和基于梯形法則的直接積分方法結(jié)果更為接近，這是因為在理論上這兩者是一致的[4]?？紤]到基于斜坡響應不變的數(shù)字濾波方法較為常用，本文以下部分均采用該方法計算沖擊響應譜。

圖2 加速度時間歷程Fig. 2 Acceleration time history of ?1(t) and ?2(t)

圖3 不同計算方法得到的沖擊響應譜Fig. 3 SRS of ?1(t) and ?2(t) calculated by different calculation methods

4.2 穩(wěn)態(tài)放大系數(shù)取值對加速度等效頻譜計算結(jié)果的影響

然后采用數(shù)值計算方法，利用式(12)計算星箭界面加速度的等效頻譜。分析對象仍為4.1 節(jié)的星箭界面加速度時間歷程?1(t)和?2(t)。圖4 給出不同Q值（Q分別取10、20、30、40、50、100）下?1(t)和?2(t)的等效頻譜，表1 為等效頻譜的最大值及其對應頻率。從圖4 可以看出，對于同樣的瞬態(tài)加速度信號，等效頻譜在整體上隨著Q值的增大而明顯減小，也就是說，系統(tǒng)阻尼比越小，得到的等效頻譜幅值就越小。從表1 看，等效頻譜的最大值隨著Q值的增大明顯減小，而且出現(xiàn)最大值的對應頻率也會發(fā)生變化，這說明設(shè)定不同Q值得到的等效頻譜分布特性也是不同的。

圖4 不同Q 值下的等效頻譜Fig. 4 Equivalent frequency spectra of ?1(t) and ?2(t)calculated with different Q values

表1 ?1(t)和?2(t)的等效頻譜最大值Table 1 Peak values for equivalent frequency spectra of ?1(t)and ?2(t)

為了進一步直觀解釋等效頻譜的數(shù)值計算結(jié)果，采用近似公式（式(18)）對正弦基礎(chǔ)激勵的等效頻譜進行分析。選取不同的ωnt值（π、5π、10π、15π、20π），A取為單位幅值1 m/s2，計算正弦基礎(chǔ)激勵等效頻譜隨Q值的變化曲線，結(jié)果如圖5 所示。從圖中可以看出，單位正弦基礎(chǔ)激勵的等效頻譜（在數(shù)值上等于比值Q'/Q）當Q值較小時接近于1，隨著Q值的增大而逐漸減小，當Q值趨于無窮大時無限趨近于0；而且隨著ωnt的增大，等效頻譜曲線逐漸抬高。因此，由等效頻譜近似公式得到的頻譜幅值隨Q值的變化規(guī)律與數(shù)值計算結(jié)果得到的規(guī)律是基本一致的，即Q的取值不同對等效頻譜影響很大，Q取值越大等效頻譜的幅值越小。

圖5 基于近似公式和穩(wěn)態(tài)放大因子的正弦基礎(chǔ)激勵等效頻譜Fig. 5 Equivalent frequency spectra of sine excitation by the approximate formula and with the steady-state amplification factor Q

5 結(jié)束語

本文研究了基于沖擊響應譜變換的星箭力學環(huán)境等效頻譜影響因素，數(shù)值計算和理論分析結(jié)果均表明：采用航天工程上常用的穩(wěn)態(tài)放大系數(shù)Q，通過沖擊響應譜變換得到加速度基礎(chǔ)激勵的等效頻譜，其結(jié)果受Q取值影響較大——隨Q值的增大，等效頻譜的頻率分布特性會發(fā)生變化，幅值在整體上明顯減??；等效頻譜工程計算方法之所以存在偏差，是因為換算過程忽略了動響應的瞬態(tài)效應，用穩(wěn)態(tài)放大系數(shù)代替了瞬態(tài)放大系數(shù)。然而，一般信號的瞬態(tài)放大系數(shù)難以準確獲得。

從理論上講，星箭力學環(huán)境的等效頻譜特性是客觀存在的，不應受“假設(shè)”的虛擬彈簧振子參數(shù)（如Q值）影響。綜合上述分析可以發(fā)現(xiàn)，目前工程上所采用的星箭力學環(huán)境等效頻譜計算方法雖然利用了較為成熟的沖擊響應譜分析技術(shù)，實現(xiàn)較為容易，但尚有不合理之處。后續(xù)應嘗試其他方法，如采用工程適用的信號處理技術(shù)，探索新的、更為合理的星箭力學環(huán)境等效頻譜確定方法。