MMU月面起飛燃耗最省軌跡和推力設(shè)計研究*

韓艷鏵 洪軍停 張勇

（1.南京航空航天大學(xué)航天學(xué)院，南京 211106）（2.南京航空航天大學(xué)無人機研究院.南京 211106）（3.南京航空航天大學(xué)無人機先進(jìn)技術(shù)工業(yè)和信息化部重點實驗室，南京 210016）

引言

載人登月是載人航天的重要內(nèi)容和月球探測開發(fā)的重要手段.航天員登月后的探測活動可通過徒步、乘車和飛行三種方式.徒步消耗航天員體能較大，只能局限在月面很小范圍.搭載月球車可以大大減小航天員體能消耗，但其仍屬于月面“爬行”，機動范圍和探測效率不高.通過載人機動裝置（Manned Maneuvering Unit，MMU）在月面低空飛行，可大大提高越障能力、活動范圍和工作效率.

1980年代，美國首先在航天員艙外作業(yè)中應(yīng)用MMU技術(shù)［1］.國內(nèi)方面，文獻(xiàn)［2］對MMU姿軌動力學(xué)與控制作了較系統(tǒng)的研究，包含了航天員肢體動作對MMU姿態(tài)運動的耦合影響；文獻(xiàn)［3］研究了MMU推進(jìn)器布置的冗余設(shè)計和分配算法，以便在應(yīng)急模式下MMU為航天員返回空間站提供動力；文獻(xiàn)［4，5］研究了MMU在軌服務(wù)中的軌跡優(yōu)化控制.

關(guān)于月面飛行器（Lunar Flying Vehicle，LFV），國外曾在1970年前后有過小的研究高潮［6-9］，后隨著美蘇載人登月工程停止而逐漸淡出.LFV可攜載航天員在月面進(jìn)行較大跨度低空飛行，大大提高了航天員月面作業(yè)的機動能力和范圍.文獻(xiàn)［10，11］初步研究了LFV的飛行軌跡和動力裝置優(yōu)化設(shè)計問題.近年來，旨在重返月球的NASA“星座”計劃又重提LFV［12］，足見國外對月面飛行器的重視.國內(nèi)對LFV的研究工作尚鮮見報道［13］.

前述MMU工作于近地軌道失重環(huán)境，用于航天員艙外行走作業(yè)，僅安裝有小推力冷氣姿控發(fā)動機，通過一定的開關(guān)邏輯可實現(xiàn)姿軌一體化控制.LFV因為要克服月球重力飛行，故安裝火箭發(fā)動機為主動力.把MMU和LFV的概念融合，可設(shè)計一種能在月表低重力環(huán)境下攜載單人飛行的類似于噴氣背包的MMU.事實上美國Jet PI公司已經(jīng)研制出以低燃性過氧化氫和過氧化氮為推進(jìn)劑的火箭動力單人噴氣背包，并于2015年7月在華首飛，飛行時長33秒，距離762米.MMU雖然目前在地球上的實用價值有限，但在月表低重力和真空環(huán)境下卻有其獨特優(yōu)勢，在未來載人探月活動中必將發(fā)揮重要作用.目前關(guān)于載人月面機動飛行MMU的研究國內(nèi)外尚處于空白，應(yīng)及早開展這方面的研究，支撐未來載人登月工程.

1 MMU月面起飛燃耗最省軌跡和推力設(shè)計

航天工程中，由于任務(wù)的需要和能源補給的困難，時間和燃料是寶貴資源，故時間最優(yōu)和燃耗最省控制一直是熱門研究課題［14，15］.本文研究適用于月面機動飛行的MMU上升轉(zhuǎn)彎段燃耗最省問題.航天員搭載MMU在月面低空飛行分為上升轉(zhuǎn)彎段、巡飛段、轉(zhuǎn)彎下降段，如圖1所示.圖中表示上升轉(zhuǎn)彎段，表示巡飛段.巡飛段MMU的主動發(fā)動機推力豎直向上，用來平衡航天員和MMU的重力，水平方向無推力分量，依靠慣性飛行.故巡飛段的燃料消耗速率取決于“航天員+MMU”的重量和燃料比沖，不可改變.節(jié)省燃耗設(shè)計的重點在于上升轉(zhuǎn)彎段和轉(zhuǎn)彎下降段.轉(zhuǎn)彎下降段又是上升轉(zhuǎn)彎段的逆過程（鏡像對稱），故只要優(yōu)化出上升轉(zhuǎn)彎段的軌跡和推力函數(shù)，便可方便地得到轉(zhuǎn)彎下降段的相應(yīng)參數(shù)，可見節(jié)省燃耗設(shè)計的關(guān)鍵在于上升轉(zhuǎn)彎段.

圖1 MMU攜載航天員上升轉(zhuǎn)彎和巡飛段示意圖Fig.1 Sketch of climbing turn and cruise flight segment of MMU car?rying astronaut

MMU攜載航天員在月面機動飛行的高度和跨度比起月球半徑均是小量，可視月面為平面，月表重力場是勻強場.上升轉(zhuǎn)彎段軌跡在垂直于月面的縱向平面上.建立如下的月表慣性系：坐標(biāo)原點為MMU起飛點O，x軸是月表平面與飛行縱向平面的交線，且指向飛行前進(jìn)方向為正；Oy軸垂直于Ox軸且向上為正.此時MMU月面飛行力學(xué)方程如下

式中，x，y分別表示MMU的縱程和飛行高度；vx，vy分別表示飛行速度的縱向和豎向分量；m表示MMU和航天員的瞬時總質(zhì)量；P是MMU的主發(fā)動機推力大??；η是推力方向與Oy軸的夾角，且規(guī)定逆時針為正.由于主發(fā)動機與MMU固連，MMU又與航天員固連，且航天員處于直立狀態(tài)時，主發(fā)動機推力豎直向上，故η也表示MMU或航天員的姿態(tài)俯仰角.g是月表重力加速度，在本文中為常數(shù)；Is是燃料比沖.上升轉(zhuǎn)彎段的任務(wù)是將航天員從零位置、零速度的初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到預(yù)設(shè)飛行高度和速度的平飛狀態(tài)，且消耗的燃料最省.用最優(yōu)控制的標(biāo)準(zhǔn)提法描述如下：

式中，m0是航天員和MMU的初始總質(zhì)量；y*和v*分別是預(yù)設(shè)的巡飛高度和速度；tf是上升轉(zhuǎn)彎段耗時，待定；Pmax是發(fā)動機推力上限.待尋優(yōu)的是發(fā)動機推力大小函數(shù)P(t)和推力方向角函數(shù)η(t).引入?yún)f(xié)態(tài)變量λ1～λ5，構(gòu)建Hamilton函數(shù)

因末值型性能指標(biāo)和末端狀態(tài)約束中均不顯含時間變量，故沿著最優(yōu)控制（即推力大小和方向），Hamilton函數(shù)恒為零：

將式（7）代入式（3），并定義

根據(jù)Pontryagin極小值原理，最優(yōu)推力P應(yīng)使式（9）對其取極小，同時考慮到0≤P≤Pmax，故

稱s為切換函數(shù).注意到，當(dāng)s在某一長度非零的時間區(qū)間上恒零時，P不能根據(jù)式（10）確定，出現(xiàn)奇異最優(yōu)控制.對于本文研究的問題，是否會發(fā)生奇異最優(yōu)，將在后面專門探討.下面首先研究最優(yōu)推力方向角η.將式（9）改寫成

如果發(fā)動機關(guān)機，推力P=0，則無所謂推力方向角η，因此只討論P大于零的情況.顯然若P＞0，因m恒正，故P/m＞0.根據(jù)Pontryagin極小值原理，最優(yōu)推力方向角η應(yīng)使-c3sinη+λ4cosη取極小，此時η滿足

在最優(yōu)推力方向角η下，根據(jù)式（8）得切換函數(shù)

對時間求導(dǎo)得

現(xiàn)在采用反證法排除奇異最優(yōu).假設(shè)在某一長度非零的時間區(qū)間上

將式（4）、式（19）、式（20）和式（21）的第四式代入式（9），得

將式（20）、式（22）代入式（14），得

即最優(yōu)推力方向始終水平向前或向后，顯然不是一個合理解，說明前述假設(shè)（s在某個長度非零的時間區(qū)間上恒零）不能成立，奇異最優(yōu)不可能發(fā)生.式（14）、式（18）聯(lián)立得

上已述及，奇異最優(yōu)不可能發(fā)生，故c2≠0.進(jìn)一步，由式（23）判斷，c3≠ 0，因為假若c3=0，由該式得出s?≡ 0，再根據(jù)式（18），得c2=0，會再次推出前述反證法中的矛盾.

在式（23）中，-c2c3≠ 0且為常數(shù)，恒正，故?的正負(fù)符號取決于tanη.而在最優(yōu)上升轉(zhuǎn)彎過程中，MMU初始位置和速度均為零，期望的終端水平速度分量為正，故發(fā)動機推力水平分量必然始終為正（沿x軸正向），在上升轉(zhuǎn)彎段恒有η＜0，tanη＜0，故最優(yōu)上升轉(zhuǎn)彎過程中?要么恒正，要么恒負(fù)，其正負(fù)符號不可能切換.即函數(shù)s(t)要么單調(diào)增，要么單調(diào)減，而不可能是其他情況.根據(jù)以上分析，切換函數(shù)及相應(yīng)的發(fā)動機推力大小曲線只可能是下面三種情形：

圖2顯示發(fā)動機工作于開關(guān)模式.｛開，關(guān)｝表示發(fā)動機先開機工作，MMU獲得速度，后發(fā)動機關(guān)機，MMU自由滑行，直至MMU飛行狀態(tài)滿足末端約束，可能是最優(yōu)控制；｛開｝表示發(fā)動機一直開機工作，直至MMU飛行狀態(tài)滿足末端約束，也可能是最優(yōu)控制.如果把時序｛開｝視作時序｛開，關(guān)｝在關(guān)機時長為零的特例，則不失一般性，可認(rèn)為發(fā)動機最優(yōu)推力時序為｛開，關(guān)｝，如圖3所示.

圖2 切換函數(shù)及對應(yīng)的發(fā)動機推力大小曲線Fig.2 Switch function vs corresponding thrust amplitude

圖3 發(fā)動機最優(yōu)推力大小曲線Fig.3 Optimal thrust amplitude curve

其中T2為發(fā)動機關(guān)機，推力零輸出的時段，且有tf=T1+T2.根據(jù)式（16），發(fā)動機推力最優(yōu)方向角的余切函數(shù)如圖4所示.圖中-k1，-k2分別表示直線的斜率和縱軸截距.可見用于表征發(fā)動機最優(yōu)推力大小和方向的參數(shù)只有四個，分別是圖3中的T1，T2和圖 4 中的k1，k2.因為燃耗僅發(fā)生在發(fā)動機開機工作的時段，即圖3中T1區(qū)間.在此區(qū)間，P=Pmax，燃料消耗速率為

圖4 發(fā)動機推力方向角（余切函數(shù)）示意圖Fig.4 Sketch of direction angle（cotangent）of engine’s thrust

總?cè)己臑榭梢娙己淖钍≈笜?biāo)等價于使T1最小.四個設(shè)計參數(shù)T1，T2，k1，k2的選擇不是任意的，須使MMU上升轉(zhuǎn)彎段滿足式（2）中的末端約束條件，單列如下

2 非線性規(guī)劃問題

下面通過解析積分，給出MMU上升轉(zhuǎn)彎段末狀態(tài)與四個設(shè)計參數(shù)T1，T2，k1，k2之間的函數(shù)關(guān)系.我們將上升轉(zhuǎn)彎段的開機工作階段稱為第I階段，關(guān)機后無動力滑行階段稱為第Ⅱ階段.將P=Pmax、式（16）（24）代入式（1）并進(jìn)行解析積分，得MMU第I階段的末狀態(tài)值

第Ⅱ階段的初始狀態(tài)等于第Ⅰ階段的末狀態(tài)

第Ⅱ階段MMU在勻強重力場中自由滑行，末狀態(tài)容易得到，如下

第Ⅱ階段的末狀態(tài)代表MMU整個上升轉(zhuǎn)彎段的末狀態(tài)，考慮到式（26），有

將式（27）～（29）代入式（30）得

限于篇幅，F(xiàn)1，F(xiàn)2，F(xiàn)3的具體解析表達(dá)式不再贅述.綜上所述，MMU上升轉(zhuǎn)彎段燃耗最省的推力大小和方向設(shè)計問題可歸結(jié)為僅有四個設(shè)計變量和三個等式約束的非線性規(guī)劃，如下

由于待優(yōu)化的參數(shù)僅有四個，且含有三個等式約束，所以獨立變化的參數(shù)僅有一個，設(shè)計自由度僅為一，使用一維搜索容易求解.

3 仿真計算

仿真入口參數(shù)如表1所示.仿真結(jié)果如圖5～圖11所示.仿真計算得到的關(guān)機時刻是7.56(s).每幅仿真曲線圖中，紅色小圓圈表示MMU關(guān)機點，該點之前是動力飛行段，該點之后是無動力滑行段.圖11發(fā)動機推力方向角η的曲線只保留了[0，7.56s]時間區(qū)間的，表示最優(yōu)的推力方向角變化過程.發(fā)動機關(guān)機后推力方向角無所謂最優(yōu)，但是為將MMU的姿態(tài)角平順切入巡飛段所要求的零值，所以姿控系統(tǒng)仍需工作.限于文章篇幅，未畫出慣性滑行段MMU的姿態(tài)角變化曲線.

圖5 MMU上升轉(zhuǎn)彎段軌跡Fig.5 Trajectory of MMU in climbing turn segment

表1 仿真入口參數(shù)Table 1 Input parameters for simulation

圖6 MMU上升轉(zhuǎn)彎段飛行高度曲線Fig.6 Flight height of MMU in climbing turn segment

圖7 MMU上升轉(zhuǎn)彎段速度的水平分量曲線Fig.7 Horizontal component of MMU’s velocity in climbing turn segment

圖8 MMU上升轉(zhuǎn)彎段速度的豎向分量曲線Fig.8 Vertical component of MMU’s velocity in climbing turn segment

圖9 MMU上升轉(zhuǎn)彎段質(zhì)量曲線Fig.9 Mass of MMU in climbing turn segment

圖10 MMU上升轉(zhuǎn)彎段發(fā)動機推力大小曲線Fig.10 Engine thrust amplitude of MMU in climbing turn segment

圖11 MMU上升轉(zhuǎn)彎段發(fā)動機推力方向角曲線Fig.11 Direction angle of MMU’s engine thrust in climbing turn segment

圖5～7顯示MMU在發(fā)動機關(guān)機后依靠慣性滑行，達(dá)到了預(yù)訂飛行高度y*=20(m)和預(yù)訂平飛速度v*=15(m/s)；圖8顯示，MMU的豎向速度分量起先在發(fā)動機推力豎向分量作用下持續(xù)增加，后因發(fā)動機推力方向前傾角度增加，豎向分量不足以平衡重力，導(dǎo)致MMU豎向速度分量遞減，關(guān)機后加快遞減進(jìn)程，直至為零，此時MMU轉(zhuǎn)為平飛；圖9顯示，MMU的質(zhì)量在發(fā)動機開機工作階段，以固定的速率遞減，直至發(fā)動機關(guān)機，其在無動力滑行段維持常值，總共消耗燃料4.20kg；圖10顯示發(fā)動機按照我們理論上推導(dǎo)出來的｛開，關(guān)｝序列工作；圖11顯示推力方向角從初值-28.50°持續(xù)下降到-71.05°，即MMU姿態(tài)前傾角的變化過程.

發(fā)動機全力工作時的推力為Pmax=1000(N)，主動段航天員和MMU總質(zhì)量的最小值為345.8（kg），故過載最大值僅為2.89（m/s2），折合0.30(G)，其中G表示地面重力加速度（9.8m/s2），航天員和MMU仍然處于失重狀態(tài).可見由于月球表面的低重力環(huán)境，執(zhí)行機動飛行所需發(fā)動機推力一般無需很大，造成的過載很難超過地球上的正常過載值（1G），總體上處失重狀態(tài)，因此載人月表機動飛行一般無需擔(dān)心過載超標(biāo)問題.

4 結(jié)論

本文研究了MMU攜載航天員在月表機動飛行的上升轉(zhuǎn)彎段燃耗最省軌跡和發(fā)動機推力設(shè)計問題.仿真計算表明，MMU攜載航天員從零狀態(tài)起飛，在最優(yōu)推力作用下，經(jīng)上升轉(zhuǎn)彎飛行，滿足了巡飛高度和速度要求，且燃料消耗極小.仿真結(jié)果還表明，在上升轉(zhuǎn)彎段，最大過載加速度仍顯著小于地面1G重力加速度，說明因月球低重力場環(huán)境，載人月面機動飛行所需發(fā)動機推力不需很大，一般不用擔(dān)心過載超標(biāo).

MMU的姿態(tài)控制可通過小推力冷氣姿控發(fā)動機實現(xiàn)，限于篇幅和研究重點，本文未述及.