基于SRCKF的帶有乘性相關噪聲的濾波方法研究*

沈念如

（南京理工大學 南京 210094）

1 引言

現(xiàn)階段，卡爾曼濾波器（Kalman Filter，KF）［1～2］是在目標實時跟蹤系統(tǒng)中應用最為廣泛的一種方法，傳統(tǒng)卡爾曼濾波只適用于線性系統(tǒng)，而對于非線性目標跟蹤領域［3］，擴展卡爾曼濾波（Extended Kalman Filter，EKF）［4］是對非線性函數(shù)進行一階泰勒級數(shù)展開并忽略高階項，在非線性特性較強的時候，不可避免會引入較大地線性化誤差以至于會造成濾波發(fā)散。無跡卡爾曼濾波（Unscented Kalman Filter，UKF）［5～6］利 用 無 跡 變 換（Unscented Transform，UT）在估計點附近確定采樣點，對非線性分布的統(tǒng)計量具有較高的計算精度，然而UT變換需要對矩陣進行喬利斯基分解容易導致算法停滯。平方根容積卡爾曼濾波（Square Root Cubature Kalman Filter，SRCKF）［7～9］采用協(xié)方差矩陣的三角分解因子代替協(xié)方差矩陣進行遞推更新，成功避免了非正定矩陣喬利斯基分解的問題。然而隨著非線性系統(tǒng)規(guī)模和復雜性的擴大，由于各種難以測量的干擾，不確定的傳輸時延和損失廣泛的存在，其中之一便是隨機乘性噪聲，廣泛存在于系統(tǒng)的工程應用當中。針對具有此類乘性相關噪聲［10，13］的非線性系統(tǒng)結合SRCKF濾波框架，可以有效地提高濾波地精度。

2 非線性濾波方法

2.1 擴展卡爾曼濾波

EKF算法是建立在線性卡爾曼濾波基礎上，其主要思想是對非線性系統(tǒng)模型圍繞濾波值做Taylor級數(shù)展開并略去二階及以上的高階項，得到一個近似的線性化的系統(tǒng)模型，然后對該模型做線性化求解。系統(tǒng)的離散非線性狀態(tài)及觀測模型如下：

其中wk∈Rn，vk∈Rm分別表示為過程噪聲和觀測噪聲，且它們?yōu)榛ゲ幌嚓P的均值為零，協(xié)方差分別為Qk和Rk的高斯白噪聲序列，Xk∈Rn，Yk∈Rm分別為k時刻狀態(tài)向量和觀測向量，f(·)和h(·)分別為非線性狀態(tài)運動方程和非線性觀測方程。應用線性Kalman濾波原理其遞推步驟如下所示：

1）先驗狀態(tài)一步預測：

2）先驗狀態(tài)一步預測誤差協(xié)方差：

3）觀測一步預測：

4）卡爾曼濾波增益：

5）后驗狀態(tài)更新：

6）后驗狀態(tài)誤差協(xié)方差：

不難看出，EKF遞推算法公式與線性Kalman濾波公式近乎一致，只不過EKF的非線性運動方程和觀測方程因為一階線性化，導致系統(tǒng)模型使用Jacobian矩陣代替狀態(tài)轉移矩陣和觀測矩陣；此外EKF算法是對非線性函數(shù)進行一階Taylor級數(shù)展開并忽略高階項，在非線性特性較強的時候，不可避免會引入較大地線性化誤差以至于會造成濾波發(fā)散。

2.2 改進SRCKF濾波

基于乘性相關噪聲的平方根濾波方法，首先要建立帶有乘性相關噪聲的離散非線性系統(tǒng)模型［11～12］，如式（8）所示。

其中f(·)和h(·)分別為非線性狀態(tài)方程和觀測方程，xk∈Rn，yk∈Rm分別為系統(tǒng)的k時刻狀態(tài)向量和觀測向量，wk∈Rn，vk∈Rm為互不相關的過程噪聲和觀測噪聲離散序列，分別服從零均值方差為Qk和Rk的高斯分布，ξk∈R1為k時刻乘性噪聲，服從零均值方差為Uk的高斯分布，且ξk和vk互相關，互相關協(xié)方差矩陣為Gk，Γ為已知常數(shù)。

若X和Y滿足聯(lián)合高斯分布，根據(jù)相關理論知識，則其條件概率也滿足高斯分布，其均值和協(xié)方差如式（9）所示，由于狀態(tài)模型和觀測模型中乘性噪聲與觀測噪聲互相關，由此考慮乘性噪聲和觀測序列在聯(lián)合高斯分布情況下，其條件概率的分布也滿足高斯分布，其均值M和方差J如式（10）所示。

由式（10）可知M∈R1，J∈R1，因此在已知k時刻后驗觀測條件下的狀態(tài)濾波值x?k|k以及誤差協(xié)方差值Pk|k，來預測k+1時刻的估計值，如式（11）所示：

其中協(xié)方差估計值Pk+1|k的系數(shù) (1+2ΓMk+Γ2Jk)∈R1，則對于離散非線性系統(tǒng)改進的SRCKF算法，具體步驟如下：

1）初始化

其中chol(·)表示對矩陣進行喬利斯基分解。

2）時間更新

若k時刻系統(tǒng)后驗狀態(tài)估計量為，狀態(tài)估計誤差協(xié)方差平方根因子為Sk|k，過程噪聲誤差協(xié)方差矩陣Qk，觀測噪聲誤差協(xié)方差矩陣Rk，觀測向量yk，乘性噪聲和觀測噪聲互協(xié)方差Gk，乘性噪聲方差Uk，則一步狀態(tài)預測值和協(xié)方差平方根因子為

對于n維狀態(tài)變量，其容積點集，權重W(i)以及[1]i定義如下：

其中m=2n為容積點個數(shù)，表示對于三階球面徑向容積規(guī)則，采樣容積點數(shù)為狀態(tài)向量維度的兩倍，[1]i表示第i個容積點向量，m在此又可表示為列向量的個數(shù)，每個容積點的向量維度與狀態(tài)變量維度相同，κ(i)表示選取的m個容積采樣點和分別表示先驗狀態(tài)向量估計值和先驗誤差協(xié)方差平方根估計矩陣，sqrt(·)為求平方根函數(shù)，qr(·)表示對矩陣進行QR分解，如式（15）所示Mk和Jk表示k時刻乘性噪聲在觀測序列條件下的乘性噪聲均值和協(xié)方差。

3）觀測更新

其中ε(i)表示根據(jù)先驗狀態(tài)向量估計值和先驗狀態(tài)誤差協(xié)方差平方根估計值產(chǎn)生觀測方程的m個容積采樣點（m=2n），δk+1|k(i)觀測方程的非線性傳播，和?分別表示觀測向量估計值和觀測誤差協(xié)方差平方根因子估計值表示狀態(tài)向量和觀測向量估計的誤差互協(xié)方差值。

其中Kk+1為卡爾曼增益，和分別為后驗狀態(tài)向量估計值和后驗誤差協(xié)方差平方根因子估計值。

3 仿真分析

為了驗證改進SRCKF濾波方法在乘性噪聲條件下的性能，本仿真實驗對比了EKF、SRCKF、SRUKF濾波方法，以均方根誤差作為衡量標準，仿真實驗添加了均方根值為1.8m的距離誤差，1.8°的角度誤差，0.9m/s的速度誤差，且運動模型添加了均方根值為0.012的乘性噪聲誤差，且與觀測噪聲的互協(xié)方差為（0.025，0.0166，0.0125），實驗過程中采用勻加速運動模型和雷達系統(tǒng)觀測模型［14］，雷達觀測到的目標初始徑向距離為20m，方位角為30°，速度為10m/s，運動模型分別在x和y方向上添加初始加速度為（2m/s，3.5m/s），目標運動方程f(·)和觀測方程h(·)參照式（18）所示。

其中采樣周期dt本例設置為0.02，如圖1（a）和（b）所示采樣點數(shù)為350個x，y方向上距離，速度，加速度的均方根誤差曲線，圖2（a）和（b）所示為x，y方向上距離維上15000次蒙特卡洛濾波實驗均方根誤差，可以看出改進SRCKF濾波算法均方根誤差較其它濾波算法有更好的實驗精度，統(tǒng)計結果如表1所示，基于乘性相關噪聲的改進SRCKF濾波算法，在對復雜背景下受乘性相關噪聲影響的系統(tǒng)，相較于傳統(tǒng)的SRCKF算法在x方向上距離、速度、加速度的濾波精度分別提高了77.5%，41.0%，12.3%，y方向上則分別提高了77.6%，20.7%，54.8%，具有較好的濾波精度。

表1 EKF、SRCKF、SRUKF和改進SRCKF濾波算法均方根誤差統(tǒng)計表

圖1 x，y方向上均方根誤差曲線圖

圖2 x，y方向上15000次蒙特卡洛均方根誤差實驗

4 結語

本文介紹了幾種典型的非線性濾波算法，簡單闡述其優(yōu)缺點，并推導了在乘性相關噪聲條件下的改進SRCKF濾波方法實現(xiàn)，最后通過仿真實驗，對四種濾波算法的性能進行了對比分析，結果表明在隨機的乘性相關噪聲條件下，改進的SRCKF濾波精度更高，可應用于復雜環(huán)境下的目標跟蹤。