瞬態(tài)熱沖擊下熱電材料梁的溫度場(chǎng)及熱應(yīng)力分析

滕兆春, 楊文秀

(蘭州理工大學(xué) 理學(xué)院, 甘肅 蘭州 730050)

隨著人類社會(huì)的發(fā)展和科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，能源環(huán)境問(wèn)題已成為當(dāng)前最緊迫的問(wèn)題之一.越來(lái)越多的科學(xué)研究者們更傾向于尋求研發(fā)高性能、低污染、清潔型對(duì)環(huán)境友好的新型材料，而熱電技術(shù)的出現(xiàn)實(shí)現(xiàn)了對(duì)這一理念的創(chuàng)新突破.這是一個(gè)通過(guò)轉(zhuǎn)換利用太陽(yáng)熱能、回收工業(yè)部門(mén)和汽車尾氣中廢熱的一項(xiàng)具有開(kāi)創(chuàng)性、前瞻性的高新技術(shù)[1].而這種創(chuàng)新型技術(shù)最本質(zhì)的參數(shù)是Seebeck系數(shù)s，在將系統(tǒng)內(nèi)的溫差直接轉(zhuǎn)換為電壓方面起著不可或缺的作用，一個(gè)高性能的熱電材料同時(shí)還應(yīng)保證具有高的電導(dǎo)率γ，低的熱導(dǎo)率κ，通常用熱電系數(shù)值Z=s2γ/κ來(lái)描述.熱電材料就是近年來(lái)科學(xué)研究者不斷挖掘不斷完善的新型清潔材料，高性能熱電材料就是熱電技術(shù)的核心，人們習(xí)慣用熱電性能指數(shù)ZT的大小來(lái)衡量熱電材料性能的高低.按工作溫度可分為高溫(≥700 ℃)、中溫(400～700 ℃)和低溫(30～400 ℃)熱電材料，在室溫附近的Bi-Te化合物是目前公認(rèn)的最好的熱電材料，也是研究最多、最為成熟的，它廣泛用于熱電制冷元件；高溫區(qū)的Si-Ge化合物大多用于航天設(shè)備的溫差發(fā)電系統(tǒng).

在近60年的歷史中，熱電材料研究領(lǐng)域幾經(jīng)停滯，但每一次都會(huì)以新的方式復(fù)興[2].Riffat等[3]發(fā)現(xiàn)熱電材料制成的小型熱電器件它們是可靠的能量轉(zhuǎn)換器，具有體積小、重量輕、無(wú)傳動(dòng)部件、無(wú)噪聲運(yùn)動(dòng)等優(yōu)點(diǎn)特點(diǎn)，因?yàn)闆](méi)有機(jī)械運(yùn)動(dòng)部件，降低了噪音和振動(dòng)的產(chǎn)生，進(jìn)而可以將其用于工程中，用來(lái)減小或消除響應(yīng)帶來(lái)的對(duì)機(jī)械的損耗.雖然熱電材料是一種面對(duì)能源和環(huán)境問(wèn)題最佳的選擇，但是由于在材料的制備過(guò)程中或多或少存在操作誤差或機(jī)器設(shè)備不夠精密，所制備的材料會(huì)存在含有雜質(zhì)、裂紋等問(wèn)題，科學(xué)研究者們對(duì)存在的該類問(wèn)題進(jìn)行了大量的分析.Wang等[4-5]分析了含橢圓夾雜的熱電材料板的二維、三維問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)最大熱電場(chǎng)集中總是出現(xiàn)在與加載方向垂直的橢圓軸的端點(diǎn)，且在夾雜物周圍的熱不透硬夾雜物會(huì)發(fā)生最大的應(yīng)力集中.Wang等[6]分析了由絕緣層隔開(kāi)的n型和p型熱電偶組成的多層熱電材料(TEM)中的瞬態(tài)層間應(yīng)力，和絕緣層厚度和材料性能對(duì)剝離應(yīng)力的影響.研究發(fā)現(xiàn)，總體上瞬態(tài)時(shí)的層間應(yīng)力水平高于穩(wěn)態(tài)時(shí)的層間應(yīng)力水平.Song等[7]在研究熱電材料板裂紋的二維問(wèn)題發(fā)現(xiàn)，裂紋尖端的熱流場(chǎng)、電流場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)均表現(xiàn)出傳統(tǒng)的平方根奇異性.Al-Merbati等[8]通過(guò)商業(yè)軟件ABAQUS對(duì)熱電發(fā)電機(jī)進(jìn)行熱力學(xué)和熱應(yīng)力分析時(shí)發(fā)現(xiàn)，在一定的幾何結(jié)構(gòu)下，器件的熱效率會(huì)有所提高，且在這種情況下，管腳中產(chǎn)生的最大熱應(yīng)力略有降低，這對(duì)設(shè)備的預(yù)期壽命會(huì)有所提高.Jin[9-10]利用層合復(fù)合材料的熱彈性理論，研究了多層薄膜熱電材料結(jié)構(gòu)中的熱應(yīng)力和變形以及屈曲，發(fā)現(xiàn)用層合板模型計(jì)算的熱應(yīng)力比用材料強(qiáng)度模型預(yù)測(cè)的熱應(yīng)力要大得多.Gao等[11]利用ANSYS軟件中的有限元分析模型，根據(jù)熱電材料的各向異性力學(xué)性能和熱電性能，給出了透射電鏡的熱應(yīng)力分布.

到目前為止，熱電材料已成功應(yīng)用于人造衛(wèi)星、太空飛船等高性能接收器及傳感器等領(lǐng)域[12].這是一種不需要繁瑣復(fù)雜的附加條件就可以直接將熱能轉(zhuǎn)化為電能的環(huán)境友好型能源材料，從而可以將其大規(guī)模地應(yīng)用于發(fā)電和取代現(xiàn)有的氟利昂制冷機(jī)，為解決能源問(wèn)題開(kāi)辟了新的途徑，同時(shí)也可緩解環(huán)境污染等問(wèn)題[13].因?yàn)樗哂羞@些突出的優(yōu)點(diǎn)，許多國(guó)家都對(duì)熱電材料技術(shù)給予了充分的重視并給與大力支持.對(duì)高性能熱電材料不管是從材料學(xué)還是力學(xué)方面進(jìn)行分析，都是近期的一個(gè)新研究熱點(diǎn)，且在熱電薄膜和熱電板的熱應(yīng)力及其斷裂力學(xué)等研究方面也取得了有價(jià)值的成果，但是研究的范圍還很受局限，目前對(duì)熱電材料梁力學(xué)性能的分析在國(guó)內(nèi)外還未見(jiàn)有相關(guān)文獻(xiàn)報(bào)道.

作為熱電材料的基本結(jié)構(gòu)之一，熱電材料梁在實(shí)際熱電工程中具有重要應(yīng)用.因此本文將Wang等[14]給出的熱電耦合控制方程拓展應(yīng)用到熱電材料梁，基于熱電材料梁的一維瞬態(tài)控制方程和熱應(yīng)力分析理論，著重研究了兩種類型Bi2Te3熱電材料在不同時(shí)刻沿厚度方向溫度和熱應(yīng)力的變化及最值出現(xiàn)的區(qū)域.由此為熱電材料梁在受到熱沖擊時(shí)對(duì)熱應(yīng)力的分析提供了必要的數(shù)值分析和理論依據(jù)，這對(duì)熱電材料梁工程安全性評(píng)估和后續(xù)力學(xué)行為的研究提供一個(gè)有力的支撐.

1 瞬態(tài)熱電場(chǎng)控制方程的建立

1.1 熱電平衡方程

根據(jù)熱電材料系統(tǒng)內(nèi)部的電荷和能量守恒以及熱能和電能相互轉(zhuǎn)換關(guān)系可得出熱電材料的平衡方程.考慮熱電材料各向同性，電和熱沿電勢(shì)和溫度梯度的方向流動(dòng)[14]，并忽略系統(tǒng)內(nèi)的電或磁的瞬態(tài)效應(yīng)干擾.設(shè)Ω表示以閉合曲面Γ為界的區(qū)域內(nèi)的體積，dS為曲面微分元，n為向外的法向量，dx為Ω中的體積微元.根據(jù)散度定理[5,15]和高級(jí)微積分可知下列關(guān)系式成立：

(1)

式中：j為電流密度.式(1)可以改寫(xiě)為

-?·j=-ji,i=0

(2)

式中：i為求和下標(biāo)i=1,2,3.式(2)為第一個(gè)熱電平衡方程.

熱電材料的固有屬性是在系統(tǒng)內(nèi)發(fā)生熱能Q1與電能Q2的相互轉(zhuǎn)換，根據(jù)能量守恒定律和瞬態(tài)響應(yīng)特性，即

Q1+Q2=CvT,t

(3)

其中熱能和電能分別為

(4)

式中：Cv=ρc代表體積比熱,J/(m3·℃),ρ為材料質(zhì)量密度，c為比熱；q為熱流密度矢量；V和T分別為電勢(shì)和溫度；t為時(shí)間.則式(3)可簡(jiǎn)化為

(5)

式(5)為第二個(gè)熱電平衡方程.

1.2 熱電本構(gòu)方程

熱電材料的系統(tǒng)內(nèi)溫度發(fā)生變化，就會(huì)產(chǎn)生電勢(shì)梯度，從而發(fā)生熱與電的相互轉(zhuǎn)換，該現(xiàn)象為塞貝克效應(yīng)：

(6)

式中：φi為電勢(shì)梯度,V/m;s為Seebeck系數(shù).當(dāng)熱電材料系統(tǒng)內(nèi)溫度恒定時(shí)存在歐姆定律

(7)

式中：γ為電導(dǎo)率.將式(6)與式(7)疊加即可得第一個(gè)熱電本構(gòu)方程[5,14,16]：

(8)

當(dāng)熱電材料內(nèi)無(wú)電流產(chǎn)生時(shí)，傅里葉定律成立：

(9)

式中：κ為熱導(dǎo)率.

熱電材料系統(tǒng)內(nèi)的機(jī)理很是復(fù)雜，其中帕爾貼效應(yīng)與湯姆遜效應(yīng)的深層機(jī)理[15]為

q=Te=sTj

(10)

式中：e為熵,J/℃.再將式(9)與式(10)疊加即可得第二個(gè)熱電本構(gòu)方程:

(11)

將式(2)和式(8)代入式(5)結(jié)合式(11)可得瞬態(tài)熱沖擊下熱和電耦合的控制方程

(12)

2 熱電材料梁力學(xué)計(jì)算模型

2.1 熱沖擊下熱電材料梁溫度場(chǎng)的建立

建立模型如圖1所示的長(zhǎng)×寬×高為L(zhǎng)×b×h的兩端固定的矩形截面熱電材料梁.受到熱沖擊后的熱電材料梁系統(tǒng)內(nèi)的溫度為只關(guān)于z坐標(biāo)的一維溫度場(chǎng)，該溫度場(chǎng)可以表示為T(mén)=T(z,t).在上表面h/2處受到熱沖擊后系統(tǒng)產(chǎn)生溫度變化，在t=0時(shí)刻，熱電材料梁系統(tǒng)溫度為T(mén)0(T0為系統(tǒng)的參考溫度)；t>0時(shí)，梁兩側(cè)的溫度突然改變至T(h/2,t)=Ta、T(-h/2,t)=Tb.

圖1 熱電材料梁計(jì)算模型

將式(12)的控制方程改寫(xiě)為只關(guān)于z坐標(biāo)的一維熱沖擊控制方程如下：

(13)

式(13)可看作是由穩(wěn)態(tài)項(xiàng)與瞬態(tài)項(xiàng)的和，為了方便求解可引入輔助函數(shù)，令

T(z,t)=U(z,t)+W(z)

(14)

式中：W(z)和U(z,t)代表溫度場(chǎng)所滿足的穩(wěn)態(tài)項(xiàng)和瞬態(tài)項(xiàng)，將式(14)代入式(13)，式(13)可改寫(xiě)為

(15)

將式(15)簡(jiǎn)化為關(guān)于W(z)和U(z,t)的兩方程如下：

(16)

(17)

式(16)為二階常微分方程，利用邊界條件積分得

(18)

得出瞬態(tài)溫度場(chǎng)T(z,t)的穩(wěn)態(tài)項(xiàng)W(z)的函數(shù).

式(17)為熱傳導(dǎo)方程，故采用分離變量法求解.令

U(z,t)=Z(z)T(t)

(19)

代入式(17)得

κZ″T=CvZT′

(20)

即

(21)

等號(hào)左邊為關(guān)于z的函數(shù)，右邊為關(guān)于t的函數(shù)，要使等式成立，等式兩邊只能為一常數(shù)，令其參數(shù)為-λ，則式(21)化為以下兩微分方程：

利用邊界條件求解式(22)得其特征值為λn，其值為

則對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)為

(24)

式中：Cn為任意常數(shù).

將λn代入常微分方程(23)得

n=1,2,3,…

(25)

式中：Dn為任意常數(shù).

(26)

式中：Cn是由式(24)的Cn和式(25)的Dn并入組合成新的常數(shù).對(duì)式(26)再疊加求和得

(27)

式中：n=1,2,3,…，得出瞬態(tài)溫度場(chǎng)T(z,t)的瞬態(tài)項(xiàng)U(z,t)的函數(shù).

將初始條件Uz,0=T0-Wz代入式(27)，可得

n=1,2,3,…

(28)

式中:Cn可利用傅里葉三角級(jí)數(shù)表示如下:

將式(18)和式(27)代入式(14)可得瞬態(tài)溫度場(chǎng)的完整表達(dá)式

n=1,2,3,…

(29)

2.2 瞬態(tài)熱沖擊下熱電材料梁熱應(yīng)力場(chǎng)的建立

熱電材料梁受熱沖擊作用時(shí)，梁內(nèi)各點(diǎn)將會(huì)產(chǎn)生溫度的變化，從而導(dǎo)致梁出現(xiàn)膨脹或收縮變形，若外部約束使膨脹或收縮變形不能自由發(fā)生時(shí)，在熱電材料梁結(jié)構(gòu)中就會(huì)出現(xiàn)熱應(yīng)力.近代線性熱應(yīng)力理論創(chuàng)始于1835年，由法國(guó)人J.M.C.杜哈梅爾初次提出，隨后在1841年，德國(guó)人諾曼伊曼初次導(dǎo)出線性熱應(yīng)力理論，他們兩者提出的理論基本相同，故將現(xiàn)代的線性熱應(yīng)力理論稱為杜哈梅爾—諾伊曼理論[17].

根據(jù)熱應(yīng)力理論，在自由狀態(tài)下，梁在熱環(huán)境中的軸向自由伸長(zhǎng)量為

Δl=αΔTl

(30)

式中：α表示熱電材料的熱膨脹系數(shù);ΔT表示溫度的變化,ΔT(z,t)=T(z,t)-T0.軸向自由伸長(zhǎng)線應(yīng)變?yōu)?/p>

εxxz,t=αΔT(z,t)

(31)

則得到熱電材料梁內(nèi)熱應(yīng)力與溫度變化的關(guān)系為

(32)

式中：E為熱電材料的彈性模量.

3 計(jì)算結(jié)果與分析

3.1 p型Bi2Te3熱電材料梁溫度場(chǎng)及熱應(yīng)力場(chǎng)

Bi2Te3合金在熔點(diǎn)溫度時(shí)的化合物組分中富含Bi原子，過(guò)剩的Bi原子在晶格中占據(jù)了Te原子的位置后形成p型Bi2Te3熱電材料；反之，過(guò)剩的Te原子在晶格中占據(jù)了Bi原子的位置，則形成n型Bi2Te3熱電材料.一般規(guī)定n型半導(dǎo)體熱電材料的seebeck系數(shù)取負(fù)值，p型半導(dǎo)體熱電材料的seebeck系數(shù)取正值[18].Bi2Te3熱電材料其它相關(guān)物理參數(shù)結(jié)合文獻(xiàn)[19]和文獻(xiàn)[20]，見(jiàn)表1.

表1 兩種類型Bi2Te3熱電材料相關(guān)物理參數(shù)

熱電材料梁的幾何參數(shù)為L(zhǎng)=0.1 m、h=0.004 m、b=0.003 m，初始參考溫度為T(mén)0=25 ℃，受到熱載荷沖擊后梁上表面溫度變?yōu)門(mén)a=240 ℃、下表面溫度變?yōu)門(mén)b=30 ℃，由于在方程(2)中-ji,i=0可以得出電流密度j為一常數(shù)，取j0=3.199×106A/m2[15].

通過(guò)MATLAB對(duì)溫度場(chǎng)和熱應(yīng)力場(chǎng)解析函數(shù)的編程計(jì)算發(fā)現(xiàn)溫度場(chǎng)和熱應(yīng)力場(chǎng)沿厚度z方向的特性曲線呈拋物線分布.梁產(chǎn)生熱應(yīng)力場(chǎng)主要是因?yàn)槭艿綗釠_擊時(shí)熱電材料梁系統(tǒng)內(nèi)存在溫度梯度，使梁受熱不均勻?qū)е?對(duì)圖2和圖3溫度場(chǎng)和熱應(yīng)力場(chǎng)特性曲線分析發(fā)現(xiàn)，在達(dá)到穩(wěn)態(tài)前梁的中性層以下的溫度呈陡坡式的劇增，進(jìn)而所對(duì)應(yīng)的熱應(yīng)力也出現(xiàn)劇增；但是時(shí)間的增加溫度和熱應(yīng)力隨厚度z方向的增加趨于緩慢，且隨時(shí)間的增加溫度小幅度向受熱沖擊前回轉(zhuǎn)，逐漸趨于穩(wěn)態(tài)化后均不再隨時(shí)間變化；在梁的中性層以上：溫度場(chǎng)沿厚度z方向總體呈現(xiàn)緩慢下坡式的遞減最終達(dá)到與梁上層溫度一致，但是隨時(shí)間的增加溫度和熱應(yīng)力出現(xiàn)小幅度的增加這與中性層以下的變化恰好相反.導(dǎo)致這種變化的原因是因?yàn)閳D4表示的溫度場(chǎng)的瞬態(tài)項(xiàng)特性曲線是以三角函數(shù)的變化出現(xiàn)有正有負(fù)，且隨時(shí)間的增加溫度場(chǎng)瞬態(tài)項(xiàng)變化曲線走勢(shì)變的舒緩最終不再隨時(shí)間變化，進(jìn)而影響了不同時(shí)刻下瞬態(tài)溫度場(chǎng)和熱應(yīng)力整體的變化趨勢(shì).以中性層為分界線，分界線兩側(cè)呈現(xiàn)不同的變化趨勢(shì)，熱應(yīng)力沿梁厚度方向z出現(xiàn)增加、減小最終趨于穩(wěn)定.熱電材料梁在達(dá)到穩(wěn)態(tài)前最大熱應(yīng)力發(fā)生在中性層附近，在達(dá)到穩(wěn)態(tài)后最大熱應(yīng)力向高溫區(qū)移動(dòng)，證明在穩(wěn)態(tài)下梁的最大熱應(yīng)力發(fā)生高溫區(qū)，并且達(dá)到穩(wěn)態(tài)后的熱應(yīng)力最值大于瞬態(tài)時(shí)的熱應(yīng)力最值，這與熱環(huán)境下梁的應(yīng)力分析相符.

圖2 不同時(shí)刻溫度沿p型Bi2Te3熱電材料梁截面厚度方向的變化曲線 (T0=25 ℃)

圖3 不同時(shí)刻熱應(yīng)力沿p型Bi2Te3熱電材料梁截面厚度的變化曲線

圖4 不同時(shí)刻p型Bi2Te3熱電材料梁溫度場(chǎng)中的瞬態(tài)項(xiàng)沿截面厚度方向的變化曲線

3.2 p型和n型Bi2Te3熱電材料梁溫度場(chǎng)和熱應(yīng)力場(chǎng)的對(duì)比分析

在t=5 s時(shí)溫度場(chǎng)已達(dá)到穩(wěn)態(tài)不再隨時(shí)間變化，在相同溫度區(qū)間內(nèi)不同型的熱電材料物理參數(shù)不同，則材料的性能也不同.從圖5兩種熱電材料梁溫度場(chǎng)特性曲線發(fā)現(xiàn)p型Bi2Te3熱電材料梁系統(tǒng)內(nèi)溫度大于n型Bi2Te3熱電材料梁系統(tǒng)內(nèi)溫度，n型Bi2Te3熱電材料梁的溫度場(chǎng)變化比p型Bi2Te3熱電材料梁的較為緩慢.從圖6三個(gè)不同時(shí)間下的p型和n型Bi2Te3熱電材料梁熱應(yīng)力具體特性曲線變化圖可以直觀得到，n型Bi2Te3熱電材料梁的熱應(yīng)力小于p型Bi2Te3熱電材料的熱應(yīng)力，n型熱電材料熱應(yīng)力比p型熱電材料熱應(yīng)力變化緩慢，不會(huì)出現(xiàn)劇增劇減的現(xiàn)象.根據(jù)n型、p型熱電材料梁溫度和熱應(yīng)力變化的特征，如果將其應(yīng)用于制作熱電器件的電偶，可以得出當(dāng)電流從n型材料傳遞到p型材料時(shí)為冷卻效應(yīng)，當(dāng)電流從p型材料傳遞到n型材料時(shí)為加熱效應(yīng)，這與帕爾貼效應(yīng)得出的結(jié)論是一致的.

圖5 p型和n型Bi2Te3熱電材料梁溫度沿截面厚度的變化曲線(T0=25 ℃、t=5 s)

圖6 不同時(shí)刻p型和n型Bi2Te3熱電材料梁的熱應(yīng)力沿厚的變化曲線

4 結(jié)論

本文基于瞬態(tài)熱沖擊下熱電材料的控制方程，采用分離變量法推導(dǎo)出的熱電材料梁瞬態(tài)溫度場(chǎng)，并結(jié)合梁的熱應(yīng)力分析理論得出瞬態(tài)熱應(yīng)力場(chǎng)的解析函數(shù)表達(dá)式，利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB求解出相應(yīng)的特性曲線，得出如下結(jié)論：

1) Bi2Te3熱電材料梁在電流密度為j0=3.199×106A/m2時(shí)溫度場(chǎng)隨厚度方向z的函數(shù)變化呈拋物線分布，因受溫度場(chǎng)瞬態(tài)項(xiàng)的正負(fù)變化，導(dǎo)致溫度場(chǎng)隨梁厚度的變化出現(xiàn)有增有減的現(xiàn)象.

2) 在達(dá)到穩(wěn)態(tài)后熱應(yīng)力不再受時(shí)間的影響，并且最大熱應(yīng)力向高溫區(qū)移動(dòng)，穩(wěn)態(tài)下的最大熱應(yīng)力大于瞬態(tài)下的最大熱應(yīng)力.

3) p型Bi2Te3熱電材料梁的熱應(yīng)力比n型熱電材料產(chǎn)生的熱應(yīng)力大，說(shuō)明n型Bi2Te3熱電材料梁在受到熱沖擊后的力學(xué)性能要比p型Bi2Te3熱電材料梁的力學(xué)性能更好.不易在受到熱沖擊短期內(nèi)由于熱應(yīng)力對(duì)材料力學(xué)性能的影響而快速進(jìn)入疲勞期，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)受損，從而影響熱電材料梁的使用壽命.