強并超格上的素超濾子定理

謝祥云, 趙雪欣

(五邑大學 數(shù)學與計算科學學院, 廣東 江門 529020)

Marty[1]在第八屆數(shù)學家代表大會上首次提出超結構理論,隨后超代數(shù)系統(tǒng)理論被廣泛應用到超群,超環(huán),超BCK-代數(shù)[2-4]等方面.此外,超結構理論在幾何學、圖論、模糊集、粗糙集、自動機和碼等[5]領域都有應用.

Konstantinidou和Mittas[6]首次提出超格理論,自那以后,許多學者對超格理論進行了研究.例如：Guo等[7]研究了超格和子超格理論；Han[8]和Zhao等[9]研究了分配超格與超格中的理想；Rao[10]研究了超格的直積.Barghi[11]介紹了分配超格上的素理想定理；Ameri等[12]討論了超格上的素濾子以及理想與濾子的等價刻畫；Amiri-Bideshki等[13]探討了強交超格上的超理想和超濾子,并研究強交超格上的素超濾子定理.

本文介紹了強并超格上的超理想和超濾子,并探討元素a生成的超理想及I(a∧b)的分配性.進一步研究帶“*”條件的強并超格,在此基礎上給出強并超格上的素超濾子定理.

1 預備知識

以下給出需要用到的強并超格的一些性質.

定義1[1]設H是一個非空集合,P*(H)表示H的所有非空子集集.映射f:H×H→P*(H)稱為H上的超運算.

定義2[6]設L是一個非空集合,“∨”和“∧”分別是L上的超運算和普通二元運算.L稱為并超格,如果對任意的a,b,c∈L,滿足:

1)a=a∧a,a∈a∨a；

2)a∧b=b∧a,a∨b=b∨a；

3) (a∧b)∧c=a∧(b∧c),(a∨b)∨c=a∨(b∨c)；

4)a∈[a∧(a∨b)]∩[a∨(a∧b)].

進一步地,并超格L稱為強并超格,若再滿足：

5)b∈a∨b?a∧b=a.

并超格有時也被簡稱為超格[11].對任意的A,B∈P*(L),記A∧B={a∧b|a∈A,b∈B},A∨B=∪{a∨b|a∈A,b∈B},特別地,若B=,A∨B記為A∨b.

注11) 若a,b∈L且a∧b=a,由定義2有

b∈[b∧(a∨b)]∩[b∨(a∧b)]

則b∈b∨(a∧b)=b∨a=a∨b.因此有

b∈a∨b?a∧b=a

2) 進一步地,在L上定義二元關系“≤”：

(?a,b∈L)a≤b?a=a∧b

容易證明,“≤”為L上的偏序關系[4].在(L,≤)中,若存在最小元,則記為0；若存在最大元,則記為1.

并超格L稱為有界的,若存在 0,1 ∈L,即(?x∈L) 0≤x≤1.

定義3[11]設L是一個強并超格.

1)L稱為分配的,若對于任意的a,b,c∈L,

a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c)

2)L稱為對偶分配的,若對于任意的a,b,c∈L,滿足:

a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c)

3)L稱為強分配的,若L既是分配的又是對偶分配的.

例1[14]設L={0,a,b,1},定義L上的∨-超運算和∧-運算如表1.則(L,∧,∨,0,1)是一個分配的強并超格.

表1 例1運算表

2 主要結果

以下主要給出強并超格上的素超濾子定理.

定義4設I是強并超格L上的一個非空子集,則I稱為超理想,如果

1) ?x,y∈I?x∨y?I；

2) ?x∈I,y∈L,y≤x?y∈I.

超理想I稱為素的,如果

(?x,y∈L)x∧y∈I?x∈I或y∈I

定義5設F是強并超格L上的一個非空子集,則F稱為超濾子,如果

1) ?x,y∈F?x∧y∈F；

2) ?x∈F,y∈L?x∨y?F且(?t∈x∨y)x≤t.

超濾子F稱為素的,如果

(?x,y∈L) (x∨y)∩F≠??x∈F或y∈F

注2由定義5中2),若x∈F,a∈L且x≤a,則

因此a∈x∨a?F.

例2設L={0,a,b,1},定義L上的∨-超運算和∧-運算如表2.則L是一個強并超格.{1}是L上的一個超濾子但不是素的,{b,1}是L上的素超濾子；{0,a}是L上的素超理想.

表2 例2運算表

例3設L={0,a,b,1},定義L上的∨-超運算和∧-運算如表3.則L是一個強并超格,{b,1}是L上的超濾子但不是素的,{0}是L上的超理想但不是素的,{a,b}既不是超理想也不是超濾子.

表3 例3運算表

例4設L={0,a,b,c,1} ,定義L上的∨-超運算和∧-運算如表4.則L是一個強并超格.{b,c,1}是L上的素超濾子,{b,1}是L上的超濾子但不是素的；{0,a}是L上的素超理想,{0}是L上的超理想但不是素的.

表4 例4運算表

定理1設L是一個有界的強并超格,則下列命題成立：

1) (?a∈L)a∈a∨0；

2) (?a∈L) 1∈a∨1；

3) 若a,b∈L,a≠0,b≠0,a∧b=0,則a,b?a∨b；

4) 若a,b∈a∨b,則a=b；

5) 若a∨b=L,則a=b；

6) 若a∨b={0},則a=b=0.

證明1)～3)見文獻[12].

4) 若a,b∈a∨b,則由注1知b≤a,a≤b.因此a=b.

5) 若a∨b=L,則a,b∈a∨b.由4)得出a=b.

6) 若a∨b={0},因為a∈a∧(a∨b),有a=a∧0,則a≤0.因此a=0.類似地,因為b∈b∧(a∨b),有b=0.

定理2設L是一個強并超格,則下列命題成立：

1) 對任意a,b∈L,存在c,d∈a∨b使得a≤c,b≤d.

2) 若L是分配的,則0∨0={0}且對任意a∈L,a是a∨a中的極大元.

證明1) 由定義2,對任意a,b∈L,

a∈a∧(a∨b),b∈b∧(a∨b)

則存在c,d∈a∨b使得a=a∧c,b=b∧d.因此a≤c,b≤d.

2) 因為元素0是L中的最小元,所以有

{0}=0∧(a∨b)=(0∧a)∨(0∧b)=0∨0

設a∈L,x∈a∨a使得x≥a.則x∧a=a,

(a∧a)∨(a∧x)=a∨a=a∧(a∨x)

因此存在y∈a∨x使得x=a∧y≤a,因此x=a.故a為a∨a中的極大元.

定理3設L是一個分配的強并超格且a∈L,則I(a)={x∈L|x≤a}是L中包含a的最小超理想.

證明對任意的x,y∈I(a),有x=a∧x,y=a∧y.因為L是分配的,則

x∨y=(a∧x)∨(a∧y)=a∧(x∨y).

因此對任意t∈x∨y,存在u∈x∨y使得t=a∧u.因此

a∧t=a∧(a∧u)=a∧u=t,

從而推導出t≤a,即t∈I(a).因此x∨y?I(a).

對任意的x∈I(a),y∈L使得y≤x,有y≤x≤a.因此y≤a,y∈I(a).

進一步地,設I是L中包含元素a的超理想,則對任意x∈I(a),x≤a.因此x∈I.故I(a)?I.

推論1設L是一個分配有界的強并超格且a,b∈L,則有下列情況成立：

1)I(0)={0}；

2)I(1)=L；

3)I(a)∧I(b)=I(a∧b)；

4) 若a≤b,則I(a)?I(b).

證明1),2),4)顯然成立,下面證明3).

3) 對任意的x∈I(a)∧I(b),存在a1∈I(a),b1∈I(b)使得x=a1∧b1.因為a1≤a,b1≤b,則有a1=a1∧a,b1=b1∧b及x=a1∧b1=a1∧a∧b1∧b=a1∧b1∧a∧b=x∧a∧b,所以x≤a∧b.因此x∈I(a∧b),即I(a)∧I(b)?I(a∧b).

反之,設x∈I(a∧b),則x≤a∧b.因為a∧b≤a,a∧b≤b,則x≤a,x≤b,所以x∈I(a),x∈I(b).因此x=x∧x∈I(a)∧I(b),即I(a∧b)?I(a)∧I(b).

定理證明超理想I和I(a∧b)中并對交的分配性.

定理4設L是一個分配的強并超格,a,b∈L,若I是L的一個超理想,則(I∨I(a))∧(I∨I(b))=I∨I(a∧b).

證明設x∈(I∨I(a))∧(I∨I(b)),則存在p1,p2∈I,a1∈I(a),b1∈I(b)使得x∈(p1∨a1)∧(p2∨b1).因為L是分配的,所以

因為I是L的一個超理想,且

p1∧p2≤p1,a1∧p2≤p2,p1∧b1≤p1,p1,p2∈I

所以p1∧p2,a1∧p2,p1∧b1∈I.因此

(p1∧p2)∨ (a1∧p2)∨(p1∧b1)?I.

由推論1,a1∧b1∈I(a)∧I(b)=I(a∧b),所以

(I∨I(a))∧(I∨I(b))?I∨I(a∧b).

反之,設x∈I∨I(a∧b),則存在p∈I,c∈I(a∧b)使得x∈p∨c.因為c≤a∧b≤a,b,所以c∈I(a),c∈I(b),所以

x∈p∨c?I∨I(a),x∈I∨I(b)

因此

x=x∧x∈(I∨I(a))∧(I∨I(b))

即I∨I(a∧b)?(I∨I(a))∧(I∨I(b)).綜上所述,

(I∨I(a))∧(I∨I(b))=I∨I(a∧b)

定義6設L是一個強并超格,L稱為一個滿足條件“*”的強并超格,若有

(?x,y∈L) ?t∈x∨y?x≤ty≤t

(*)

特別地,若L是一個格,則L是一個帶“*”條件的強并超格.進一步地,若(L,∨,∧)是一個∨-超格,其中L上的∨-超運算定義為a∨b={x∈L|a≤x,b≤x},則(L,∨,∧)是一個帶“*”條件的強并超格, sup{a,b}是a∨b的最小元.

定理5設L是一個帶“*”條件的強并超格且a∈L,則F(a)={x∈L|a≤x}是L的一個超濾子.

證明對任意的x,y∈F(a),有a≤x,a≤y,則a∧x=a,a∧y=a,所以

a=a∧a=(a∧x)∧(a∧y)=a∧(x∧y).

因此a≤x∧y,即x∧y∈F(a).

進一步地,對任意的x∈F(a),y∈L,有a≤x.由定義6,對任意的t∈x∨y,a≤x≤t,因此t∈F(a).所以x∨y?F(a)且(?t∈x∨y)x≤t.

定理6設L是一個帶有最大元1的強并超格,F是L的超濾子,則1∈F.

證明因為F是L的超濾子,則對任意的x∈F,1∈L,有x∨1?F.因為1∧x=x,由注1,1∈x∨1?F.

引理1設L是一個帶有最大元1的對偶分配的強并超格且a∈L,a?F.若F是L的超濾子,則F∧F(a)是一個超濾子且F?(F∧F(a)).

證明對任意的x,y∈F∧F(a),存在p1,p2∈F及a1,a2∈F(a)使x=p1∧a1,y=p2∧a2.因為F和F(a)是超濾子,則有p1∧p2∈F和a1∧a2∈F(a),所以

x∧y=(p1∧p2)∧(a1∧a2)∈F∧F(a).

設x∈F∧F(a),y∈L,則存在p∈F和c∈F(a)使得x=p∧c.因為L是對偶分配的,及F和F(a)是超濾子,所以

y∨x=y∨(p∧c)=(y∨p)∧(y∨c)?F∧F(a)

由p∈F有p≤t,?t∈y∨p；由c∈F(a)有c≤k,?k∈y∨c.則對任意的r∈y∨x,存在t1∈y∨p,k1∈y∨c使得r=t1∧k1≥p∧c=x,因此F∧F(a)是L的超濾子.

因為對任意的x∈F,x=x∧1∈F∧F(a),所以有F?F∧F(a).對任意的y∈F(a),y=1∧y∈F∧F(a),所以有F(a)?F∧F(a).因為a?F且a=1∧a∈F∧F(a),所以F?(F∧F(a)).

最后給出下面的素超濾子定理.

定理7設(L,∨,∧)是一個帶有最大元1的對偶分配的強并超格,且滿足條件“*”.若I和F分別是L的超理想和超濾子使得I∩F=?,則存在L的一個素超濾子P使得F?P且I∩P=?.

證明P是L的一個素超濾子.若對任意的a,b∈L,(a∨b)∩P≠?且a?P,b?P,因為P是∑中的極大元,由引理1有P?[P∧F(a)],P?[P∧F(b)],則

I∩[P∧F(a)]≠?,I∩[P∧F(b)]≠?

因此存在p1,p2∈P,a1∈F(a),b1∈F(b)使得

p1∧a1∈I,p2∧b1∈I

因為a≤a1,b≤b1,則有a=a∧a1,b=b∧b1且

(p1∧a)∧(p1∧a1)=p1∧(a∧a1)=p1∧a

(p2∧b)∧(p2∧b1)=p2∧(b∧b1)=p2∧b

則p1∧a≤p1∧a1,p2∧b≤p2∧b1.因此p1∧a,p2∧b∈I.所以

(p1∧a)∨(p2∧b)?I

由假設及L的對偶分配性知：

因為p1,p2∈P,P是L的超濾子,則

(p1∨p2)∧(a∨p2)∧(p1∨b)?P.

因為(a∨b)∩P≠?,則存在t∈a∨b使得t∈P,所以

[(p1∨p2)∧(a∨p2)∧(p1∨b)]∧t?P,

即有

[(p1∧a)∨(p2∧b)]∩P≠?.

因為(p1∧a)∨(p2∧b)?I,則I∩P≠?,矛盾.

致謝：本文得到研究生示范課建設項目(2016SFKS_40)的資助，在此表示感謝.