基于VMD-WPT和Prony算法的諧波間諧波檢測

施瑤，王雅靜，崔京楷，張涵瑞

（山東理工大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，山東 淄博 255049）

隨著各種新能源分布式電源的并網(wǎng)，電力系統(tǒng)受到的諧波間諧波污染加重，準(zhǔn)確測量出諧波間諧波分量并對(duì)這些諧波分量進(jìn)行處理對(duì)電力系統(tǒng)的安全可靠地運(yùn)行具有重要意義[1-2]。

Prony算法能夠快速準(zhǔn)確地檢測出諧波間諧波，在電力系統(tǒng)參數(shù)檢測中應(yīng)用廣泛[3]。但Prony算法在檢測中對(duì)噪聲敏感，導(dǎo)致測量精度降低，需要降低噪聲對(duì)Prony算法的影響。杜偉靜[4]等人采用集合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（ensemble empirical mode decomposition，EEMD）方法去除含有噪聲的高頻分量，但去除的高頻分量中同樣含有信號(hào)的有效信息，影響Prony測量精度。張煜林[5]等人采用互補(bǔ)總體經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（complementary ensemble empirical mode decomposition，CEEMD）聯(lián)合小波包變換（wavelet packet transform，WPT）去噪，通過排列熵選取固有模態(tài)函數(shù)（intrinsic mode function，IMF）進(jìn)行去噪，然而虛假分量的存在增加工作量，且忽略低頻分量含有少量噪聲的問題，影響Prony測量精度。

變分模態(tài)分解（variationalmode decomposition，VMD）算法是一種新的非線性信號(hào)處理方法[6]。VMD算法能夠有效地克服EEMD分解過程中產(chǎn)生的虛假分量問題，且VMD算法相比于EEMD算法具有較好的噪聲魯棒性[7-8]。目前，VMD算法已經(jīng)成功地運(yùn)用在變壓器局部放電去噪[9]、地震信號(hào)去噪[10]及軸承振動(dòng)信號(hào)去噪中[11]。本文將VMD運(yùn)用到電力系統(tǒng)的含噪諧波間諧波檢測中，聯(lián)合小波包變換（WPT）去噪，為降低噪聲對(duì)Prony算法影響并提高檢測精度提供一種新方法。

1 Prony算法原理

Prony算法通過對(duì)采樣數(shù)據(jù)x(t)進(jìn)行線性擬合得到一組復(fù)指數(shù)函數(shù)?(t)，數(shù)學(xué)模型為

式中：p為模型階數(shù)；N為采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)。

bi和zi的復(fù)數(shù)表達(dá)式為

式中：Ai為幅值；θi為相位；Δt為采樣間隔；fi為頻率；αi為衰減因子；j為虛數(shù)單位。

利用誤差平方和ε最小原則保證擬合信號(hào)的準(zhǔn)確度，表達(dá)式如下式所示：

利用歐拉公式對(duì)式（1）進(jìn)行求解可得下式：

定義樣本函數(shù)數(shù)學(xué)模型，如下式所示：

對(duì)式（6）進(jìn)行構(gòu)造擴(kuò)展階的樣本矩陣Re，如下式所示：

利用奇異值分解和最小二乘法對(duì)式（7）進(jìn)行求解，確定有效秩p和所有的特征方程系數(shù)a，并帶入下式求解z：

將式（8）得到的結(jié)果帶入式（1）并改寫為下式的矩陣形式：

利用最小二乘法確定bi，并計(jì)算得到擬合幅值A(chǔ)i，相位θi，頻率fi，衰減因子αi。 具體計(jì)算公式如下式所示：

2 基于VMD-WPT和Prony算法的諧波間諧波檢測

本文針對(duì)Prony算法對(duì)噪聲敏感問題，提出了VMD-WPT聯(lián)合去噪的算法模型，對(duì)含噪的諧波間諧波信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，降低噪聲對(duì)Prony算法檢測精度的影響。

2.1 變分模態(tài)分解

諧波信號(hào)經(jīng)過VMD處理分解為K個(gè)IMF分量信號(hào)，通過如下的方式估算每個(gè)IMF的中心頻率和帶寬：

1）利用對(duì)模態(tài)分量um進(jìn)行Hilbert變換，m={1，2，3，…，K}，計(jì)算得到um(t)的解析信號(hào)；

2）加入指數(shù)項(xiàng)ejωmt估計(jì)每個(gè)解析信號(hào)的中心頻率，并將um(t)的頻譜調(diào)制到基頻帶上；

3）計(jì)算解調(diào)信號(hào)梯度的平方L2范數(shù)，估計(jì)帶寬。

通過上述步驟得到的變分約束模型為

式中：δ(t)為單位脈沖信號(hào)；為卷積；?t為對(duì)函數(shù)求時(shí)間t的偏導(dǎo)數(shù)；ωm為各模態(tài)分量中心頻率。

通過迭代搜索變分模型并引入拉格朗日懲罰算子λ(t)和二次懲罰因子α將信號(hào)f分解成K個(gè)有限帶寬的模態(tài)分量，各模態(tài)之和即為輸入的信號(hào)。具體如下所述：

1）令n=0，并對(duì)做初始化處理；

2）令n=n+1，開始執(zhí)行整個(gè)迭代；

3）令m=1，m＜K時(shí)，內(nèi)層開始循環(huán)，更新um：

4）m＜K時(shí)，更新ωm：

5）更新λ：

式中：γ為噪聲容限參數(shù)，為降低噪聲對(duì)分解結(jié)果影響，取γ=0。

6）循環(huán)步驟（2）～（5），直至滿足下式迭代停止條件，結(jié)束循環(huán)：

式中：ε為判別精度，且ε＞0。

通過上述步驟，VMD將信號(hào)分解為從低頻到高頻的K個(gè)IMF分量，其中噪聲主要集中在高頻分量上，低頻分量中含有少量的噪聲。

2.2 小波包降噪

文獻(xiàn)[5]中張煜林等人利用小波包降噪方法對(duì)諧波信號(hào)經(jīng)CEEMD分解得到的IMF分量進(jìn)行降噪處理，本文在前人研究基礎(chǔ)上采用小波降噪的方法對(duì)信號(hào)經(jīng)VMD分解得到的IMF分量進(jìn)行降噪處理。

小波包去噪的理論依據(jù)：含噪信號(hào)經(jīng)過小波包分解后，代表有效信號(hào)的小波包分解系數(shù)幅值大于噪聲的分解系數(shù)幅值，選擇合適的閾值對(duì)有效信號(hào)幅值保留，將代表噪聲的分解系數(shù)幅值設(shè)為零，并重構(gòu)信號(hào)，獲得去噪后的信號(hào)[12]。

小波包降噪的關(guān)鍵是選取合適的閾值，本文選擇廣泛運(yùn)用的默認(rèn)閾值μ，同時(shí)選擇小波包軟閾值去噪函數(shù)進(jìn)行去噪處理，具體計(jì)算公式為

2.3 算法實(shí)現(xiàn)步驟

本文提出基于VMD-WPT的諧波和間諧波的去噪算法，利用Prony算法進(jìn)行去噪后的信號(hào)電力系統(tǒng)參數(shù)的檢測。通過以下步驟進(jìn)行算法的參數(shù)辨識(shí)：

步驟1：對(duì)待處理信號(hào)進(jìn)行VMD分解，得到若干個(gè)IMF分量。

步驟2：對(duì)得到的IMF分量進(jìn)行小波包軟閾值去噪，并重構(gòu)IMF分量。

步驟3：疊加去噪后的IMF分量，得到去噪處理后的信號(hào)，并利用Prony算法分析參數(shù)。

通過上述步驟即可實(shí)現(xiàn)本文算法的諧波間諧波參數(shù)的檢測。

3 算法仿真與比較

3.1 算例1

采用與文獻(xiàn)[4]相同的諧波間諧波信號(hào)模型與參數(shù)，信號(hào)的模型如下式所示：

式中：v(t)為噪聲。

信號(hào)的具體參數(shù)如表1所示，且加入v(t)后信號(hào)的信噪比為20 dB。

表1 模型參數(shù)設(shè)置Tab.1 Model parameter setting

采樣頻率4 000 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為1 000，采樣長度為0.25，含有噪聲的信號(hào)波形如圖1所示。

圖1 含噪信號(hào)波形圖Fig.1 Waveform of noisy signal

利用VMD算法和文獻(xiàn)[4]中EEMD算法分別對(duì)含噪的信號(hào)進(jìn)行分解，得到的IMF分量波形圖，如圖2、圖3所示。

圖2 含噪信號(hào)VMD分解Fig.2 Noisy signal decomposition based on VMD

圖3 含噪信號(hào)EEMD分解Fig.3 Noisy signal decomposition based on EEMD

由圖3可知，文獻(xiàn)[4]利用EEMD算法進(jìn)行含噪信號(hào)的分解得到的IMF存在虛假分量。通過排列熵的方法進(jìn)行有效信息分量的篩選，然而排列熵的選取閾值需要通過大量的實(shí)驗(yàn)測量才能確定，缺乏理論依據(jù)，容易受到人為因素的干擾，不能準(zhǔn)確得到含有噪聲的有效信息分量，同時(shí)也忽略了低頻分量同樣含有少量噪聲，影響后續(xù)參數(shù)辨識(shí)準(zhǔn)確度。

比較圖2、圖3可知，VMD算法有效地避免了虛假分量的產(chǎn)生，降低計(jì)算量以及人為因素的干擾。VMD算法雖然具有一定的抗噪性，但是所得到的IMF分量，受到噪聲干擾，波形發(fā)生了嚴(yán)重的畸變。對(duì)得到的IMF分量進(jìn)行小波包去噪處理，去噪處理后的IMF分量波形如圖4所示。

圖4 IMF分量小波包降噪Fig.4 IMF component denoised based on wavelet packet

改變豎軸的尺度便于直觀觀察IMF分量去噪的效果。疊加去噪后的IMF分量重構(gòu)信號(hào)，得到去噪后的諧波間諧波信號(hào)，并與原始信號(hào)波形圖進(jìn)行比較，比較結(jié)果如圖5所示。由圖5信號(hào)波形圖比較可以較為直觀地觀察諧波和間諧波信號(hào)去噪的效果。對(duì)去噪算法質(zhì)量進(jìn)行評(píng)價(jià)，主要針對(duì)運(yùn)算速率與去噪效果兩個(gè)方面。評(píng)價(jià)算法的運(yùn)算速率，首先從數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)方面計(jì)算算法整體復(fù)雜度，文獻(xiàn)[4]的EEMD-RobustICA算法時(shí)間復(fù)雜度為O（n4），空間復(fù)雜度為O（1）；文章采用VMD-WPT算法的時(shí)間復(fù)雜度為O（n3），空間復(fù)雜度為O（1），顯然文獻(xiàn)[4]算法的時(shí)間復(fù)雜度大于文章的算法。運(yùn)行兩個(gè)算法分別對(duì)信號(hào)進(jìn)行降噪處理，文獻(xiàn)[4]算法所需時(shí)間為4.573 s，而文章算法需要3.043 s，比較可知文章算法計(jì)算耗時(shí)短，能夠?qū)崿F(xiàn)信號(hào)去噪的快速處理。

圖5 信號(hào)波形圖比較Fig.5 Comparison of signal oscillogram

針對(duì)算法去噪效果比較，引入均方根誤差（RMSE）、信噪比（SNR）、信號(hào)相關(guān)系數(shù)（R）三個(gè)指標(biāo)進(jìn)行評(píng)價(jià)[11]。當(dāng)信號(hào)的RMSE越小、SNR越大時(shí)，去噪效果越好。相關(guān)系數(shù)反映了去噪后的信號(hào)與原始信號(hào)的相關(guān)程度，R越大越接近原始信號(hào)。將本文與文獻(xiàn)[4]中采用的去噪算法進(jìn)行比較，比較結(jié)果如表2所示。

表2 去噪效果評(píng)價(jià)Tab.2 Evaluation of denoising effect

從表2中可知，本文的SNR略低于文獻(xiàn)[4]去噪方法，但是RMSE相較于文獻(xiàn)[4]提升了4.5%，信號(hào)的相關(guān)系數(shù)R也有一定的提升，表示信號(hào)在去噪過程中更好地保留了有效信息。綜合評(píng)價(jià)，文章去噪算法要優(yōu)于文獻(xiàn)[4]的算法。

含噪的諧波與間諧波信號(hào)經(jīng)過本文算法降噪處理后，利用Prony算法對(duì)信號(hào)的頻率、幅值、相位進(jìn)行檢測，具體檢測結(jié)果如表3所示。

表3 Prony算法參數(shù)辨識(shí)結(jié)果Tab.3 Parameter identification results of Prony algorithm

從表3的數(shù)據(jù)可以看出，利用Prony算法對(duì)降噪處理后的諧波和間諧波信號(hào)檢測的頻率、幅值、相位的平均誤差為0.193%，0.243%，0.493%。顯然通過VMD-WPT算法降噪的Prony算法在含噪的電能質(zhì)量參數(shù)檢測中是有效的，且具有良好的檢測精度，文章提出的VMD-WPT降噪算法能夠有效抑制噪聲對(duì)Prony算法的影響。

3.2 算例2

采用與文獻(xiàn)[5]相同的數(shù)學(xué)模型與參數(shù)設(shè)置，加入噪聲后信號(hào)的信噪比為40 dB，利用本文算法進(jìn)行諧波間諧波參數(shù)檢測，與文獻(xiàn)[5]中參數(shù)檢測結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，通過檢測結(jié)果直接觀察算法的去噪效果。檢測結(jié)果如表4所示。

表4 文獻(xiàn)[5]方法與本文方法參數(shù)辨識(shí)結(jié)果對(duì)比Tab.4 Comparison of parameter identification results between literature[5]method and the proposed method

從表4的檢測結(jié)果可知，文獻(xiàn)[5]方法與本文方法都能有效地降低噪聲對(duì)Prony算法影響，頻率與幅值的檢測結(jié)果與原始數(shù)據(jù)相近。相位檢測中，本文算法相較于文獻(xiàn)方法在低頻分量相位檢測結(jié)果更加接近原始數(shù)據(jù)。

對(duì)比兩種算法計(jì)算耗時(shí)，文獻(xiàn)[5]算法計(jì)算所需時(shí)間為3.202 s，而本文算法計(jì)算所需時(shí)間為2.976 s，顯然本文算法計(jì)算耗時(shí)更短，且文獻(xiàn)[5]計(jì)算耗時(shí)是在已經(jīng)選取合適的排列熵值前提下得到的，在檢測過程中，合適的排列熵值需要大量計(jì)算并人為選取，實(shí)際所耗費(fèi)時(shí)間遠(yuǎn)大于本文算法，且可能存在主觀因素的干擾。

從算法計(jì)算耗時(shí)與去噪效果兩個(gè)方面綜合評(píng)價(jià)，本文提出的算法要優(yōu)于文獻(xiàn)[5]的算法。

3.3 算例3

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文算法的有效性與準(zhǔn)確性，采用文獻(xiàn)[13]的數(shù)學(xué)模型及參數(shù)設(shè)置，在信噪比為40 dB的情況下利用本文的算法進(jìn)行檢測，并與文獻(xiàn)[13]的檢測結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表5所示。

表5 文獻(xiàn)[13]方法與本文方法參數(shù)辨識(shí)結(jié)果對(duì)比Tab.5 Comparison of parameter identification results between literature[13]method and the proposed method

從表5的數(shù)據(jù)可以看出，文獻(xiàn)[13]采用的Root-MUSIC與Prony檢測算法擁有較好的檢測精度，但由于噪聲的影響，在41.5 Hz與250.1 Hz時(shí)，相位出現(xiàn)了較大的誤差。本文算法降低了噪聲的影響，檢測出的結(jié)果更接近原始數(shù)據(jù)，尤其在相位的檢測上有著更好參數(shù)辨識(shí)效果，提升了Prony算法在含噪電能質(zhì)量檢測中的精度。因此，本文提出的VMD-WPT和Prony算法在含噪諧波間諧波的檢測方面是有效的，且具有良好的檢測效果。

4 結(jié)論

VMD算法被廣泛地運(yùn)用在其他領(lǐng)域的去噪中，本文在前人的基礎(chǔ)上將VMD算法引入諧波間諧波信號(hào)去噪中，并與WPT算法聯(lián)合，提出了VMDWPT聯(lián)合去噪的算法模型，降低了噪聲對(duì)Prony算法的影響。仿真與比較結(jié)果驗(yàn)證了本文算法的有效性，且具有良好的檢測精度，為Prony算法在含噪的諧波與間諧波檢測中提供一種新思路。