非監(jiān)督學(xué)習(xí)高維多體波函數(shù)矢量軌跡所在低維子空間

黃志偉 楊宏宇 翟峰 陸肖勵(lì) 盧軍強(qiáng)? 吳健

1) (浙江師范大學(xué)物理系，金華 321004)

2) (清華大學(xué)物理系，北京 100084)

Frame 等提出采用特征矢量延拓方法求解關(guān)聯(lián)量子模型的高維多體波函數(shù):當(dāng)模型哈密頓矩陣包含光滑變化的參數(shù)時(shí)，其特征矢量隨參數(shù)變化的軌跡集中在1 個(gè)低維的子空間中，因此可以將哈密頓量投影到該子空間的一組基矢量來(lái)簡(jiǎn)化求解(Frame D，He R Z，Ipsen I，Lee D，Lee D，Rrapaj E 2018 Phys.Rev.Lett.121 032501).但是他們沒(méi)有明確給出軌跡子空間的維度以及其與模型大小之間的聯(lián)系.本文系統(tǒng)研究了大小不同的反鐵磁Heisenberg 鏈模型，其交換相互作用隨參數(shù)光滑變化.首先通過(guò)主成分分析方法分別確定了包含4 個(gè)自旋的模型和包含6 個(gè)自旋的模型的基態(tài)多體波函數(shù)矢量軌跡子空間，并分別繪制了子空間中的軌跡.然后分析了包含 8，···，14 個(gè)自旋的模型基態(tài)矢量軌跡的主成分分量，并指出:當(dāng)采用特征矢量延拓方法求解反鐵磁Heisenberg 鏈模型基態(tài)時(shí)，所需基矢數(shù)目隨模型所包含自旋個(gè)數(shù)的增加而增加.本文研究可用于指導(dǎo)采用特征矢量延拓方法求解包含更多自旋的反鐵磁Heisenberg 鏈模型哈密頓量.

1 引言

關(guān)聯(lián)量子模型的希爾伯特空間維度通常隨模型所含粒子數(shù)呈指數(shù)增長(zhǎng)，如果不采取任何近似，即使包含較少粒子數(shù)目的模型哈密頓矩陣也很容易超出計(jì)算機(jī)的內(nèi)存空間而不能載入，嚴(yán)格的數(shù)值求解更是無(wú)從談起.現(xiàn)有的關(guān)聯(lián)量子模型哈密頓量近似求解手段包括變分方法[1-6]、量子蒙特卡羅方法[7-11]以及圖展開(kāi)方法[12-15]等;這些方法的有效性依賴于模型哈密頓量所包含的某些參數(shù)的取值范圍:在一定的參數(shù)區(qū)間范圍內(nèi)，可以利用這些方法進(jìn)行有效求解，超出了這些范圍，采用這些方法求解所導(dǎo)致的誤差往往無(wú)法控制而導(dǎo)致求解失敗.

最近，F(xiàn)rame 等[16]提出了一種新方法求解關(guān)聯(lián)量子模型哈密頓量:特征矢量延拓.其關(guān)鍵思路是:盡管高維哈密頓矩陣的特征矢量在高維空間中，當(dāng)哈密頓矩陣隨參數(shù)光滑變化時(shí)，相應(yīng)特征矢量的變化軌跡集中在1 個(gè)低維的子空間中;因此可以選取少量對(duì)應(yīng)不同參數(shù)的特征矢量作為基矢來(lái)構(gòu)建這個(gè)低維子空間，將哈密頓量在此子空間中展開(kāi)，從而只需求解低維哈密頓矩陣.他們將1 個(gè)具有可調(diào)參數(shù)的 4×4×4 晶格的Bose-Hubbard 模型哈密頓量分別展開(kāi)到1 個(gè)由3 個(gè)參數(shù)互相遠(yuǎn)離的特征矢量為基矢構(gòu)成的三維子空間和1 個(gè)由5 個(gè)參數(shù)互相接近的特征矢量為基矢構(gòu)成的五維子空間，通過(guò)求解三維矩陣和五維矩陣均可獲得高精度的近似解.

然而，文獻(xiàn)[16]中子空間基矢數(shù)量主要是以猜測(cè)的方式進(jìn)行選取，因此，當(dāng)模型粒子數(shù)目稍有增加，比如從4×4×4晶格增加到 6×6×6 晶格，獲得高精度近似解需要的基矢是3 個(gè)還是5 個(gè)，或者說(shuō)軌跡子空間到底應(yīng)該是三維還是五維，亦或更高維，文獻(xiàn)中并沒(méi)能給出明確答案.確定或至少估計(jì)軌跡子空間維度大小是重要的:一方面，如果軌跡子空間維度大小隨模型所含粒子數(shù)目的增加而迅速增加，也就是采用特征矢量延拓方法所需的基矢數(shù)量迅速增加，特征矢量延拓方法將很難奏效;另一方面，如果在特征矢量延拓計(jì)算中選用的基矢數(shù)目大于軌跡子空間的維度，基矢有可能是線性相關(guān)的，從而導(dǎo)致不合理的錯(cuò)誤結(jié)果.

確定或估計(jì)軌跡子空間維度大小的困難在于:盡管隨參數(shù)光滑變化的高維哈密頓矩陣的特征矢量變化軌跡所在的子空間是低維的，低維子空間的維度與多體模型所含粒子數(shù)目之間并不顯含簡(jiǎn)單直接的函數(shù)關(guān)系.本文系統(tǒng)性地研究了反鐵磁Heisenberg 鏈模型哈密頓矩陣的特征矢量隨參數(shù)光滑變化的軌跡，通過(guò)對(duì)特征矢量軌跡進(jìn)行主成分分析畫出其所在低維子空間，指出采用特征矢量延拓求解反鐵磁Heisenberg 鏈模型哈密頓量所需基矢數(shù)目隨其所包含自旋個(gè)數(shù)的增加而增加.

2 研究?jī)?nèi)容和方法

采用由L個(gè)(L為偶數(shù))自旋格點(diǎn)組成的，具有周期邊界條件的一維Heisenberg 鏈模型(以下簡(jiǎn)稱為模型)，如圖1 所示.模型哈密頓量為

圖1 一維Heisenberg 鏈模型示意圖Fig.1.Schematic diagram of a one-dimensional Heisenberg chain model.

當(dāng)參數(shù)θ∈[0°，90°]，Ji≥0，模型為反鐵磁Heisenberg 鏈.

哈密頓量(1)的每個(gè)特征波函數(shù)可以對(duì)應(yīng)于1 個(gè)N維矢量.由于單個(gè)自旋的波函數(shù)可以由1 個(gè)2 維矢量表示，兩個(gè)維度可以分別對(duì)應(yīng)于Sz向上和向下的狀態(tài)，從而N(L)2L，波函數(shù)矢量和哈密頓矩陣的維度隨L的增加而指數(shù)增加.在本文中，研究該模型的基態(tài)，它對(duì)應(yīng)的總自旋角動(dòng)量z分量0，因此自旋算符Sz向上和向下的狀態(tài)數(shù)都是L/2個(gè)，所以波函數(shù)的維度N減 少 為N(L).例如N(4)=6，N(6)=20，N(14)=3432，N(16)=12870，N依然隨自旋個(gè)數(shù)L的增加而迅速增加.只有對(duì)自旋個(gè)數(shù)L不太大的情形，多體哈密頓量(1)的特征波函數(shù)和特征能量可通過(guò)精確對(duì)角化哈密頓矩陣的數(shù)值方法嚴(yán)格求解.

在本文中，對(duì)L4，6，···，14 的模型哈密頓量的基態(tài)矢量和能量進(jìn)行了系統(tǒng)性研究.對(duì)每一個(gè)L，將哈密頓矩陣的參數(shù)θ從0°到90°每隔1°連續(xù)變化，通過(guò)對(duì)角化求解基態(tài)矢量和能量，所獲得的M個(gè)基態(tài)矢量軌跡構(gòu)成一個(gè)M ×N的矩陣，記為XL，其中M91，N.

我們的目標(biāo)是通過(guò)對(duì)具有不同自旋個(gè)數(shù)L的模型基態(tài)矢量軌跡矩陣XL分別進(jìn)行主成分分析[17-20]，找出軌跡所在低維子空間的維度大小隨自旋個(gè)數(shù)L的變化關(guān)系，從而用于指導(dǎo)利用特征矢量延拓法求解模型哈密頓矩陣的基態(tài)矢量和能量.主成分分析是一種非監(jiān)督學(xué)習(xí)算法，被廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)特征提取[17-20].在軌跡矩陣XL中，每一行是1 個(gè)基態(tài)波函數(shù)，對(duì)應(yīng)于1 個(gè)N維空間中的矢量;根據(jù)特征矢量延拓法的思路[16]，XL中的M個(gè)基態(tài)矢量所構(gòu)成的軌跡僅在部分基矢方向具有比較大的投影，而且與其他基矢方向近似正交.通過(guò)主成分分析找出這部分基矢，并將原始高維基態(tài)矢量在其方向上投影，從而可以在低維空間中直觀而生動(dòng)的展示軌跡圖像.

由于矩陣XL不是方陣，首先對(duì)其進(jìn)行變換Y，然后求解Y矩陣的特征值和特征矢量，即

其中特征值λn按從大到小的順序排列λ1≥λ2≥λ3≥···≥λN≥0，而對(duì)應(yīng)的特征矢量v1，v2，v3，···，vN是相互正交的，稱具有較大特征值λn的特征矢量方向vn為主成分方向，原始高維波函數(shù)軌跡可以投影到相應(yīng)主成分vn方向進(jìn)行展示，即

其中PCn是波函數(shù)軌跡在第n(n1，2，3，···，N)個(gè)主成分方向上的投影.

3 研究結(jié)果

首先計(jì)算了L4的模型基態(tài)矢量隨θ變化的軌跡并將其投影到各主成分方向，發(fā)現(xiàn)其僅在2 個(gè)主成分方向v1，v2的投影PC1，PC2不為零，其中

而在其他主成分方向的投影都小于 10-8.圖2(a)用v1，v2構(gòu)成的2 維空間中單位圓上的一段圓弧完整直觀地展示了L4的模型基態(tài)矢量隨θ變化的軌跡，說(shuō)明盡管基態(tài)矢量是6 維的，其隨θ變化的軌跡僅處于由前兩個(gè)主成分方向所張成的2 維空間中.接著計(jì)算了L6的模型基態(tài)矢量隨θ變化的軌跡并將其投影到各主成分方向，發(fā)現(xiàn)其不為0的主成分分量個(gè)數(shù)不再為2，而是增加到了3.圖3(a)用這3 個(gè)主成分方向構(gòu)成的3 維空間中單位球上的一段弧線完整直觀地展示了L6 的模型基態(tài)矢量隨θ變化的軌跡.

圖2 L=4的Heisenberg 鏈 (a) 基態(tài)矢量隨 θ 變 化 的軌跡(從紅到藍(lán)是0°到90°);(b) 在6 維和2 維空間中分別求得的基態(tài)能量Fig.2.The Heisenberg chain with L=4 :(a) Ground state vector trajectory (from red to blue:θ =0° to θ=90°);(b) ground state energies calculated in a 6-dimensional space and in a 2-dimensioanl space，respectively.

圖3 L=6的Heisenberg 鏈 (a) 基態(tài)矢量隨 θ 變化的軌跡(從紅到藍(lán)是0°到90°);(b) 在20 維和3 維空間中分別求得的基態(tài)能量Fig.3.The Heisenberg chain with L=6 :(a) Ground state vector trajectory (from red to blue:θ=0° to θ=90°);(b) ground state energies calculated in a 20-dimensional space and in a 3-dimensioanl space，respectively.

以上通過(guò)主成分分析方法獲得了L=4 或6的模型基態(tài)矢量隨θ變化的軌跡子空間的維度為2 或3，也就確定了采用特征矢量延拓方法求解具有其他角度θ的基態(tài)所需的基矢數(shù)目為2 或3.于是對(duì)L4 的模型哈密頓量分別在原6 維空間(N(4)6)中和2 維軌跡子空間中求解基態(tài)能量，記為E4，6和E4，2，畫在圖2(b)當(dāng)中.毫不奇怪地，E4，2和E4，6幾乎一樣，它們的最大絕對(duì)誤差，δE|E4，2(θm)-E4，6(θm)|＜10-15.同樣地，對(duì)L=6 的模型哈密頓量分別在原20 維空間(N(6)20)中和3 維軌跡子空間中求解基態(tài)能量，并記為E6，20和E6，3，如圖3(b);E6，3和E6，20的最大絕對(duì)誤差 δE也小于 10-15.然而，確定采用特征矢量延拓方法求解L=4 或6 的模型所需的基矢數(shù)目并不是非常有用，因?yàn)槔糜?jì)算機(jī)求解6×6或20×20 的哈密頓矩陣并不非常困難.我們的目標(biāo)是能夠確定或估計(jì)采用特征矢量延拓方法求解具有更大L的模型所需的基矢數(shù)目.隨著模型中自旋數(shù)目L的增加，基態(tài)矢量的原空間維度N(L)迅速增長(zhǎng)，例如，N(16)12870，利用計(jì)算機(jī)求解N ×N的哈密頓矩陣變得困難，因此需要找出軌跡子空間維度，從而用于指導(dǎo)特征矢量延拓方法的求解計(jì)算.

盡管可以用主成分分析方法確定對(duì)L=4 或6的模型基態(tài)能量進(jìn)行特征矢量延拓方法求解所需的基矢數(shù)目，當(dāng)模型變大以至于用計(jì)算機(jī)求解N ×N的哈密頓矩陣變得非常困難甚至不可能時(shí)，主成分分析方法將不再適合用于確定或估計(jì)采用特征矢量延拓方法求解所需的基矢數(shù)目;因?yàn)槭紫刃枰M(jìn)行N ×N的哈密頓矩陣求解獲得足夠數(shù)量M的基態(tài)矢量，比如本文中，M91，然后才能對(duì)這M個(gè)矢量進(jìn)行主成分分析.為解決這個(gè)困難，進(jìn)一步研究了采用特征矢量延拓求解模型基態(tài)能量所需基矢數(shù)目與其所包含的自旋個(gè)數(shù)之間的關(guān)系.

對(duì)L8的模型基態(tài)矢量隨θ變化的軌跡進(jìn)行主成分分析獲得各主成分方向，并分別在原70 維空間(N(8)70)中和由前Nsub個(gè)主成分方向構(gòu)成的子空間中求解基態(tài)能量，記為E8，70和E8，Nsub.當(dāng)Nsub6 ，E8，70和的最大絕對(duì)誤差 δE小于10-7.同樣，對(duì)L10的模型，當(dāng)Nsub8 ，E10，252和的最大絕對(duì)誤差 δE小于10-7;對(duì)L12的模型，當(dāng)Nsub8 ，E12，924和的最大絕對(duì)誤差 δE小于10-7;對(duì)L14的模型，當(dāng)Nsub9，E12，924和E12，Nsub的最大絕對(duì)誤差 δE小于10-7.明顯地，隨著L的增加，Nsub也在增加，這個(gè)事實(shí)必須在采用特征矢量延拓進(jìn)行計(jì)算時(shí)加以考慮.將Nsub作為L(zhǎng)的函數(shù)畫在圖4(a)中，發(fā)現(xiàn)Nsub隨L的增加而迅速增長(zhǎng)，盡管其總是遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N.Nsub的快速增長(zhǎng)對(duì)于特征矢量延拓方法的應(yīng)用是非常不利的.幸運(yùn)的是，當(dāng)我們稍稍降低計(jì)算結(jié)果的精度要求，比如從δE ＜10-7到 δE ＜10-4，盡管對(duì)L4和6，Nsub(L)保持不 變，Nsub(8) 則從6 降到了5，Nsub(10)從8 降到了5，Nsub(12) 從8 降到了6，Nsub(14) 從9 降到了6.從圖4(a)可以看出，如果采用 δE ＜10-4，當(dāng)L≤8時(shí)，Nsub隨L的增加而快速增長(zhǎng)，而當(dāng)L≥8時(shí)，Nsub的 增長(zhǎng)速度開(kāi)始變得緩慢，從而為特征矢量延拓方法的應(yīng)用提供了可能性.

圖4 (a) 采用特征矢量延拓方法求解隨 θ 變化的Heisenberg 鏈基態(tài)能量所需基矢數(shù)目與其所含自旋個(gè)數(shù)之間的關(guān)系;(b) L=16 的Heisenberg 鏈在10 維和6 維空間中分別求得的基態(tài)能量Fig.4.(a) Relationship between the number of basis vectors needed to calculate θ -dependent ground state energies of the Heisenberg chain by eigenvector continuation and the number of spins in the chain;(b) ground state energies of the Heisenberg chain with L=16 calculated in a 10-dimensional space and in a 6-dimensioanl space，respectively.

圖4(a)清楚地展示了采用特征矢量延拓方法求解隨θ變化的模型基態(tài)能量所需基矢數(shù)目隨其自旋個(gè)數(shù)增加而增加的關(guān)系圖像，因此可用于指導(dǎo)求解具有更多自旋的模型基態(tài).通過(guò)延伸圖4(a)中的關(guān)系曲線(圖中的虛線)，可以預(yù)測(cè)，如果采用δE ＜10-4，Nsub(16)6;而如果采用 δE ＜10-7，Nsub(16)10.于是分別計(jì)算了隨θ變化的L16的模型基態(tài)能量E16，6，E16，10，如圖4(b)，其中6 維子空間的基矢由θ=0°，18° ，···，72°，90°的基態(tài)矢量構(gòu)成，10 維子空間的基矢由θ=0°，10°，···，80°，90°的基態(tài)矢量構(gòu)成.從圖4(b)可以看出，E16，6和E16，10非常吻合，計(jì)算可得E16，6和E16，10的最大絕對(duì)誤差 δE小于 10-4，證實(shí)了圖4(a)中關(guān)系曲線的預(yù)測(cè)能力.

4 結(jié)論

本文通過(guò)采用主成分分析方法研究反鐵磁Heisenberg 鏈基態(tài)多體波函數(shù)矢量隨參數(shù)變化的軌跡，畫出了采用特征矢量延拓方法求解其基態(tài)能量所需基矢數(shù)目隨其所包含自旋個(gè)數(shù)增加而增加的函數(shù)曲線，用于指導(dǎo)采用特征矢量延拓方法求解包含更多自旋的Heisenberg 鏈模型哈密頓量.將類似的方法應(yīng)用于指導(dǎo)求解高維Heisenberg 模型和其他關(guān)聯(lián)量子模型以總結(jié)更一般的函數(shù)關(guān)系，將在后續(xù)文章中報(bào)道.