基于復(fù)合分?jǐn)?shù)泊松模型的臺風(fēng)風(fēng)暴潮債券定價(jià)

張 勇，張節(jié)松

（淮北師范大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，安徽 淮北 235000）

0 引言

我國海洋災(zāi)害以風(fēng)暴潮、赤潮和海浪等災(zāi)害為主，不斷頻發(fā)的海洋災(zāi)害給我國國民經(jīng)濟(jì)發(fā)展和海洋生態(tài)帶來較多不利影響。根據(jù)國家自然資源部公布的《2019 年中國海洋災(zāi)害公報(bào)》顯示，2019 年發(fā)生9 次臺風(fēng)風(fēng)暴潮造成直接經(jīng)濟(jì)損失116.38 億元。黨的十九屆五中全會(huì)提出了“十四五”時(shí)期的經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展主要目標(biāo)，明確指出要防范化解重大風(fēng)險(xiǎn)體制機(jī)制不斷健全，突發(fā)公共事件應(yīng)急能力顯著增強(qiáng)，自然災(zāi)害防御水平明顯提升，發(fā)展安全保障更加有力。發(fā)行臺風(fēng)風(fēng)暴潮風(fēng)險(xiǎn)連接債券能夠提高我國保險(xiǎn)業(yè)的承保能力，將巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)分散和轉(zhuǎn)移到資本市場。

在保險(xiǎn)精算領(lǐng)域，復(fù)合泊松模型已經(jīng)被廣泛用于刻畫巨災(zāi)的累積損失過程和巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)債券的定價(jià)研究。Tuo 等［1］使用資本資產(chǎn)定價(jià)模型，結(jié)合復(fù)合泊松模型對洪澇災(zāi)害債券價(jià)格進(jìn)行研究。Shao 等［2］在隨機(jī)利率環(huán)境下，采用泊松過程擬合索賠次數(shù)，并推導(dǎo)出巨災(zāi)債券定價(jià)公式。謝卓倫等［3］基于復(fù)合泊松模型對中國大陸地區(qū)地震巨災(zāi)進(jìn)行了實(shí)證研究。歐輝等［4］采用復(fù)合泊松模型刻畫洪澇災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)，研究了我國洪水巨災(zāi)債券的定價(jià)問題。然而保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中，巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)的發(fā)生時(shí)間間隔常呈現(xiàn)出記憶性特征，與復(fù)合泊松過程的指數(shù)型等待時(shí)間分布不符［5］。

Scalas［6］提出了復(fù)合分?jǐn)?shù)泊松過程的定義和相關(guān)性質(zhì)，其中泊松計(jì)數(shù)過程被分?jǐn)?shù)泊松過程所取代。Beghin 等［7］研究了不同版本的復(fù)合分?jǐn)?shù)泊松過程，包括時(shí)間復(fù)合分?jǐn)?shù)泊松過程、空間復(fù)合分?jǐn)?shù)泊松過程和微分復(fù)合分?jǐn)?shù)泊松過程等。王穎［8］對復(fù)合分?jǐn)?shù)泊松過程進(jìn)行深入研究，給出了復(fù)合分?jǐn)?shù)泊松過程的參數(shù)估計(jì)。Biard 等［9］研究了一個(gè)非平穩(wěn)過程的長相依性質(zhì)的復(fù)合分?jǐn)?shù)泊松過程，其用來刻畫保險(xiǎn)公司的盈余。復(fù)合分?jǐn)?shù)泊松模型中的分?jǐn)?shù)泊松過程是非平穩(wěn)非馬氏過程［10－12］。具體而言，復(fù)合分?jǐn)?shù)泊松模型的等待時(shí)間服從Mittag－Leffler 分布，其具有重尾特性［13］。但目前的復(fù)合分?jǐn)?shù)泊松模型研究主要是理論分析假設(shè)，實(shí)證研究還很少。事實(shí)上，相比傳統(tǒng)巨災(zāi)模型通常采用的復(fù)合泊松模型，復(fù)合分?jǐn)?shù)泊松模型具有較好刻畫頻發(fā)的臺風(fēng)風(fēng)暴潮抵達(dá)過程和捕捉臺風(fēng)風(fēng)暴潮發(fā)生時(shí)間間隔記憶性特征的優(yōu)勢。

本文在對我國臺風(fēng)風(fēng)暴潮實(shí)際到達(dá)時(shí)間間隔分布進(jìn)行驗(yàn)證的基礎(chǔ)上，采用復(fù)合分?jǐn)?shù)泊松模型刻畫臺風(fēng)風(fēng)暴潮的累積損失過程，并運(yùn)用蒙特卡羅模擬法對臺風(fēng)風(fēng)暴潮的年損失金額發(fā)生概率進(jìn)行仿真，給出了Wang 兩因素定價(jià)模型下我國臺風(fēng)風(fēng)暴潮連接債券的合理價(jià)格。可為復(fù)合分?jǐn)?shù)泊松過程的時(shí)間間隔分布的假定給出實(shí)際數(shù)據(jù)的驗(yàn)證，為保險(xiǎn)公司更準(zhǔn)確評估臺風(fēng)風(fēng)暴潮巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)，并為保險(xiǎn)連接債券科學(xué)合理的定價(jià)提供一定的理論支持，有利于我國臺風(fēng)風(fēng)暴潮巨災(zāi)保險(xiǎn)的工作。

1 相繼兩次臺風(fēng)風(fēng)暴潮時(shí)間間隔分布的擬合

經(jīng)典的復(fù)合泊松模型與復(fù)合分?jǐn)?shù)泊松模型的本質(zhì)區(qū)別在于相繼兩次索賠發(fā)生時(shí)間的間隔分布。復(fù)合泊松模型的時(shí)間間隔服從指數(shù)分布，復(fù)合分?jǐn)?shù)泊松模型的時(shí)間間隔服從Mittag－Leffler分布。下面通過實(shí)際的臺風(fēng)風(fēng)暴潮數(shù)據(jù)，驗(yàn)證說明采用復(fù)合分?jǐn)?shù)泊松過程的合理性，即時(shí)間間隔不服從指數(shù)分布，而是服從Mittag－Leffler 分布。

1.1 復(fù)合分?jǐn)?shù)泊松模型

用Nv(t)表示某一類事件在t時(shí)間內(nèi)發(fā)生的次數(shù)，且服從分?jǐn)?shù)泊松過程。{Xi,i≥1}是獨(dú)立同分布F(X)，且Nv(t)與X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立，則此類事件在t時(shí)間內(nèi)總量復(fù)合分?jǐn)?shù)泊松過程Yv(t)［2］可以表示為

1.2 數(shù)據(jù)說明與處理

本文選取的數(shù)據(jù)來源于中華人民共和國自然資源部頒布的《中國海洋災(zāi)害公報(bào)》［14］，樣本數(shù)據(jù)為1989 年1 月1 日至2019 年12 月31 日在中國發(fā)生的臺風(fēng)風(fēng)暴潮災(zāi)害損失次數(shù)、金額（1 億元及以上）和時(shí)間間隔，共計(jì)141 次臺風(fēng)風(fēng)暴潮損失觀測值。根據(jù)收集的臺風(fēng)風(fēng)暴潮災(zāi)害數(shù)據(jù)，運(yùn)用MATLAB 編制了臺風(fēng)風(fēng)暴潮時(shí)間間隔的頻數(shù)分布圖（見圖1）。

從圖1 可以看出，相繼兩次臺風(fēng)風(fēng)暴潮時(shí)間間隔數(shù)據(jù)存在明顯的厚尾特征。因此，本文采用Mittag－Leffler 分布擬合相繼兩次臺風(fēng)風(fēng)暴潮時(shí)間間隔。下面為了說明Mittag－Leffler 分布擬合性能更好，本文將選取經(jīng)典的指數(shù)分布與之比較。通過矩估計(jì)法得到分布函數(shù)的參數(shù)，并用卡方檢驗(yàn)法對Mittag－Leffler 分布和指數(shù)分布的擬合數(shù)據(jù)效果進(jìn)行檢驗(yàn)。

1.3 相繼兩次臺風(fēng)風(fēng)暴潮間隔天數(shù)的擬合

假設(shè)H0：相繼兩次臺風(fēng)風(fēng)暴潮間隔天數(shù)T服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，其分布函數(shù)為

利用矩估計(jì)法可以算出指數(shù)分布的參數(shù)矩估計(jì)值為

考慮到指數(shù)分布的參數(shù)是由樣本點(diǎn)估計(jì)出來的，故采用卡方檢驗(yàn)法（顯著水平α＝0.001）進(jìn)行樣本數(shù)據(jù)檢驗(yàn)，將通過矩估計(jì)得到的參數(shù)λ＝77.31 代入指數(shù)分布的分布函數(shù)公式（2）中，得F(t)＝P{T≤t}＝1－e－t77.31,t＞0。據(jù)此計(jì)算出相關(guān)概率值如表1 所示，其中Ti是相繼兩次臺風(fēng)風(fēng)暴潮間隔天數(shù)，fi是實(shí)際頻數(shù)，Pi是理論概率。由χ2＝105.760 ＞26.130 ＝χ20.001(8)可知，拒絕H0，即認(rèn)為相繼兩次臺風(fēng)風(fēng)暴潮間隔天數(shù)T不服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布。

表1 樣本數(shù)據(jù)的指數(shù)分布卡方檢驗(yàn)Tab.1 Chi-square test of exponential distribution of sample data

假設(shè)H1：相繼兩次臺風(fēng)風(fēng)暴潮間隔天數(shù)X服從參數(shù)為μ和v的Mittag－Leffler 分布，其分布函數(shù)為

由表1 和表2 可看出，指數(shù)分布的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)值χ2＝105.760 遠(yuǎn)大于χ20.001(8)＝26.130，指數(shù)分布的擬合效果并不理想。在顯著水平α＝0.001 下，相繼兩次臺風(fēng)風(fēng)暴潮間隔天數(shù)不服從指數(shù)分布，而是服從Miitag－Leffler 分布。根據(jù)以上實(shí)證結(jié)果，筆者采用復(fù)合分?jǐn)?shù)泊松模型刻畫臺風(fēng)風(fēng)暴潮的累積損失，并給出基于此過程的債券定價(jià)公式。

表2 樣本數(shù)據(jù)的Mittag-Leffler 分布卡方檢驗(yàn)Tab.2 Chi-square test of Mittag-Leffler distribution of sample data

2 我國臺風(fēng)風(fēng)暴潮債券定價(jià)

借鑒Wang［16］提出的債券定價(jià)公式，構(gòu)造面值為F、期限為T、無風(fēng)險(xiǎn)利率為r以及本金損失比為w的零息票臺風(fēng)風(fēng)暴潮債券價(jià)格，即

其中，Pr(S＞K)代表一年內(nèi)臺風(fēng)風(fēng)暴潮總損失金額超過觸發(fā)點(diǎn)K的概率，也就是復(fù)合分?jǐn)?shù)泊松過程的分布函數(shù)；Φ－1表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的反函數(shù)，λ*＝0.453；Ψ是自由度為5 的t分布。

由公式（4）可知，臺風(fēng)風(fēng)暴潮債券價(jià)格的計(jì)算需要估計(jì)出臺風(fēng)風(fēng)暴潮損失金額的概率分布Pr {Y≤y}以及累積損失分布Pr {S＞K}，但由于累積損失分布計(jì)算困難，本文借鑒文獻(xiàn)［8］模擬復(fù)合分?jǐn)?shù)泊松過程的方法，分別對損失金額的概率分布和累積損失分布進(jìn)行擬合。

2.1 臺風(fēng)風(fēng)暴潮損失金額的擬合

為了消除時(shí)間對貨幣價(jià)值的影響，選擇2019 年的CPI 作為定基指數(shù)。根據(jù)臺風(fēng)風(fēng)暴潮災(zāi)害損失金額的樣本數(shù)據(jù)，通過對比經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)和帕累托分布函數(shù)（圖2），容易看出帕累托分布可以用來擬合臺風(fēng)風(fēng)暴潮的損失金額。

圖2 帕累托分布擬合圖Fig.2 Pareto distribution fitting diagram

假設(shè)臺風(fēng)風(fēng)暴潮災(zāi)害損失金額Y服從參數(shù)為λ和α的帕累托分布，其分布函數(shù)為

通過計(jì)算災(zāi)害損失金額的原點(diǎn)矩E(Y)＝34.514 和二階矩E(Y2)＝4 152.430，再根據(jù)矩估計(jì)法求得帕累托分布的矩估計(jì)值λ?＝80.970 和α?＝3.346。由圖2 可見，帕累托分布的擬合效果比較理想。因此，本文采用帕累托分布擬合我國臺風(fēng)風(fēng)暴潮災(zāi)害的損失金額。

2.2 累積損失分布S 的擬合

由于復(fù)合分?jǐn)?shù)泊松模型的概率密度fYv(t)(x,t)和分布函數(shù)FYv(t)(x,t)計(jì)算包含卷積［17］，考慮到計(jì)算難以實(shí)現(xiàn)，本文采用蒙特卡羅方法對復(fù)合分?jǐn)?shù)泊松過程的概率進(jìn)行模擬。假設(shè)隨機(jī)變量X服從F分布，則復(fù)合分?jǐn)?shù)泊松分布的概率計(jì)算步驟：第一步，運(yùn)用MATLAB 生成一個(gè)服從分?jǐn)?shù)泊松過程的隨機(jī)數(shù)n；第二步，生成n個(gè)服從F分布的隨機(jī)數(shù)，將此n個(gè)隨機(jī)數(shù)求和記為S，與觸發(fā)點(diǎn)K進(jìn)行比較，如果S大于K，則得出的結(jié)果記為1，反之記為0；第三步，重復(fù)一、二步驟N次，并且將所有得到的1 相加求和記為count，即可得到一年內(nèi)臺風(fēng)風(fēng)暴潮總損失超過K的概率Pr(S＞K)＝count N。

2.3 債券價(jià)格確定與分析

首先，進(jìn)行參數(shù)賦值，確定臺風(fēng)風(fēng)暴潮債券的具體價(jià)格。本文無風(fēng)險(xiǎn)利率r值是取定期存款1 年利率1.5%、2 年利率2.1%、3 年利率2.75%（2019 年央行基準(zhǔn)存款利率），令Pr(X＞K)取值為0.01，0.05，0.10，得到對應(yīng)的觸發(fā)點(diǎn)K，K是以億元為單位。將本金損失比例w＝0.2,0.4,0.8, 1.0、期限T＝1 以及面值F＝100 元臺風(fēng)風(fēng)暴潮債券數(shù)據(jù)代入式（4）中進(jìn)行定價(jià)，即可得到不同觸發(fā)點(diǎn)下的風(fēng)暴潮債券價(jià)格（見表3）。考慮不同期限情況下，Mittag－Leffler分布的參數(shù)v對臺風(fēng)風(fēng)暴潮債券價(jià)格影響（見圖3）。

表3 不同觸發(fā)點(diǎn)的臺風(fēng)風(fēng)暴潮債券價(jià)格表Tab.3 Price list of typhoon storm surge bonds with different trigger points

圖3 不同期限下，記憶參數(shù)v 對債券價(jià)格影響Fig.3 Effects of memory parameter v on the bond price under different maturities

根據(jù)表3 可以看出，達(dá)到觸發(fā)點(diǎn)K時(shí)，臺風(fēng)風(fēng)暴潮債券價(jià)格隨著本金損失比例w增加而降低，這是因?yàn)楸窘饟p失比例越高其債券存在的風(fēng)險(xiǎn)越高。在本金損失比例和期限相同的情況下，債券價(jià)格隨著觸發(fā)點(diǎn)升高而增加，因?yàn)榕_風(fēng)風(fēng)暴潮累積損失金額達(dá)高觸發(fā)點(diǎn)比低觸發(fā)點(diǎn)的風(fēng)險(xiǎn)要低。

由圖3 可知，同一期限水平下，債券價(jià)格隨著記憶參數(shù)v增加而增加，因?yàn)閰?shù)v增加導(dǎo)致臺風(fēng)風(fēng)暴潮總損失超過K的概率Pr(S＞K)增加，對發(fā)行方來說巨災(zāi)債券達(dá)觸發(fā)點(diǎn)的風(fēng)險(xiǎn)增加。進(jìn)一步觀察圖3 發(fā)現(xiàn)，對給定的記憶參數(shù)v，隨著期限T的增加，債券價(jià)格呈現(xiàn)單遞減（v＝0.2,0.4）、先增后減（v＝0.6,0.8）及單調(diào)增（v＝1.0）多種變化趨勢，因?yàn)槔曙L(fēng)險(xiǎn)增加與記憶參數(shù)對累積損失分布影響的共同作用下，導(dǎo)致債券價(jià)格多形態(tài)變動(dòng)?？梢?，記憶參數(shù)v與債券價(jià)格密切相關(guān)，且參數(shù)v對債券價(jià)格起到趨勢性影響的作用。

3 結(jié)語

建立巨災(zāi)保險(xiǎn)制度早在十八屆三中全會(huì)通過的《國務(wù)院關(guān)于加快發(fā)展現(xiàn)代保險(xiǎn)服務(wù)業(yè)的若干意見》及《中共中央關(guān)于全面深化改革若干重大問題的決定》中提出。我國頻發(fā)的臺風(fēng)風(fēng)暴潮災(zāi)害造成巨大經(jīng)濟(jì)損失，不能夠僅僅依賴政府的無償救濟(jì)和社會(huì)捐贈(zèng)，要借助資本市場分散巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)。保險(xiǎn)連接債券具有無信用風(fēng)險(xiǎn)和不存在市場風(fēng)險(xiǎn)優(yōu)勢，以及增加保險(xiǎn)業(yè)承保能力。發(fā)行臺風(fēng)風(fēng)暴潮風(fēng)險(xiǎn)連接債券有助于豐富我國的巨災(zāi)補(bǔ)償形式，降低政府的財(cái)政壓力。

本文采用復(fù)合分?jǐn)?shù)泊松模型作為擬合我國臺風(fēng)風(fēng)暴潮風(fēng)險(xiǎn)模型，有利于精準(zhǔn)評估我國臺風(fēng)風(fēng)暴潮巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)?？紤]記憶性的分?jǐn)?shù)泊松過程擬合巨災(zāi)損失次數(shù)，這為保險(xiǎn)連接債券科學(xué)合理的定價(jià)提供一定的理論基礎(chǔ)。然而，本文也存在一些不足，如沒有考慮隨機(jī)利率環(huán)境對保險(xiǎn)連接債券價(jià)格的影響，當(dāng)然這也是今后要研究的方向。