柯西不等式的改進(jìn)及其應(yīng)用

胡曉莉，喬龍坤

（江漢大學(xué) 人工智能學(xué)院，湖北 武漢 430056）

柯西—布涅柯夫斯基不等式是異于均值不等式的另一個(gè)重要不等式。它在數(shù)學(xué)學(xué)科分支中有著極其廣泛的作用，如線(xiàn)性代數(shù)中的矢量、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的方差、高等數(shù)學(xué)中的積分等等［1］。正是因?yàn)榭挛鞑坏仁皆谠S多數(shù)學(xué)學(xué)科里有較為廣泛的應(yīng)用［2］，因此引起數(shù)學(xué)家們的興趣，多年來(lái)數(shù)學(xué)工作者們對(duì)柯西不等式的研究從未停止［3－4］。其在不同領(lǐng)域中有著不一樣的形式，因此也產(chǎn)生了諸多推廣的形式。在n維歐氏空間中，對(duì)任意的兩個(gè)向量α,β，記其內(nèi)積為(α,β)，則有(α,β)2≤(α,α)(β,β)，當(dāng)且僅當(dāng)α,β線(xiàn)性相關(guān)時(shí)等號(hào)成立，這就是著名的柯西－布涅柯夫斯基不等式。特別地，當(dāng)考慮的歐式空間為n維實(shí)數(shù)空間Rn時(shí)，則對(duì)向量α＝(a1,a2,…,an)，β＝(b1,b2,…,bn)∈Rn，有著名的柯西不等式為

1 柯西不等式序列的構(gòu)造

設(shè)x＝(x1,x2,…,xn),y＝(y1,y2,…,yn)為歐氏空間Rn中的兩個(gè)向量，記矩陣

定理1 設(shè)M如矩陣（2）所示，令mk＝CS(Mk)＋∑M－∑Mk，則有非遞增序列為

證明 由下列事實(shí)

從矩陣M中的元素及順序主子矩陣Mk和Mk＋1中的元素及式（3）可得

用柯西不等式后與M中綠色框外的所有數(shù)直接求和，則有m1＝∑M；m2表示對(duì)紅色框中的數(shù)之和用柯西不等式后與M中紅色框外的所有數(shù)直接求和，即

同理

顯然有，(x,x)2(y,y)2＝m1≥m2≥m3≥m4＝(x,y)2。

事實(shí)上，定理1 中的不等式序列還可以進(jìn)一步優(yōu)化。設(shè)M?k為矩陣M中選定任意不同的k行k列按原來(lái)的順序構(gòu)成的主子矩陣，則由定理1 可得如下結(jié)論。

下面我們將引進(jìn)凸函數(shù)來(lái)構(gòu)造第二個(gè)柯西不等式序列。設(shè)fk(v)＝vmk＋1＋(1－v)mk，其中0 ≤v≤1。易知，fk(v)為單調(diào)遞減函數(shù)，故有mk＋1＝fk(1) ≤fk(v) ≤fk(0)＝mk。故結(jié)合定理1 和fk(v)的單調(diào)性，可得以下推論。

推論2 令fk(v)＝vmk＋1＋(1－v)mk，則有下列非遞增序列

2 基于方差乘積的酉不確定性關(guān)系

圖1 兩個(gè)算子的基于方差乘積的不確定性界比較Fig.1 Comparison of variance product-based uncertainty bounds for two operators

3 結(jié)語(yǔ)

本文首先定義了矩陣和函數(shù)以及柯西函數(shù)，運(yùn)用以低維柯西不等式來(lái)優(yōu)化高維柯西不等式的思想得到了第一個(gè)柯西不等式序列。然后，構(gòu)造基于柯西不等式的凸函數(shù)，得到了另一個(gè)不等式序列。最后，將所構(gòu)造的不等式序列應(yīng)用于解決兩個(gè)酉算子的基于方差乘積的量子不確定性實(shí)例中。結(jié)果表明本文所構(gòu)造的柯西不等式序列確實(shí)能有效改進(jìn)基于方差乘積的量子酉不確定性的界。