旋轉(zhuǎn)拋物面和球面構(gòu)成廣義牛頓環(huán)的干涉圖樣

金伶艷，胡 玲，顧菊觀，穆成富

(湖州師范學(xué)院 理學(xué)院，浙江 湖州 313000)

普通的牛頓環(huán)是在底部放一個(gè)水平的平板玻璃，在平板玻璃上倒扣曲率半徑很大的一個(gè)平凸透鏡，它們中間會(huì)形成空氣劈尖?？諝獗∧ぴ诓煌恢盟暮穸炔煌?，在空氣薄膜的上表面的反射光和經(jīng)過(guò)下表面的反射光會(huì)發(fā)生干涉，形成明暗相間的等厚干涉條紋。近年來(lái)結(jié)合牛頓環(huán)實(shí)驗(yàn)的模擬仿真研究也越來(lái)越多[1-4]。

原則上任意兩種透鏡組合都可以形成空氣劈尖，從而可以看到等厚干涉圖樣[5]。文章討論由二次函數(shù)旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)拋物面與單個(gè)平凸透鏡(或平凹透鏡)組合而形成的牛頓環(huán)裝置，研究這樣的廣義牛頓環(huán)裝置在光束垂直照射時(shí)會(huì)出現(xiàn)的干涉圖樣。

1 普通牛頓環(huán)干涉原理及圖樣

普通牛頓環(huán)在一般教科書中都有講述[6]。為了后面對(duì)比方便，先簡(jiǎn)單描述一下。

如圖1所示，平面玻璃板A上放一個(gè)曲率半徑為R的平凸透鏡BO′C，平板玻璃與透鏡之間存在厚度不同的空氣薄膜，在接觸面上，以O(shè)O″軸上一點(diǎn)為圓心，r為半徑的圓周上，各個(gè)點(diǎn)的空氣薄膜厚度均為d，由幾何關(guān)系知r2=r2-(R-d)2，由于R?d，略去高階小量，有：

(1)

圖1 普通牛頓環(huán)

考慮半波損失的影響，則兩束反射光的光程差可以表示成[6]：

(2)

第j級(jí)明環(huán)和暗環(huán)的半徑分別為：

(3)

(4)

牛頓環(huán)的光強(qiáng)分布為：

(5)

用波長(zhǎng)λ=589 nm的鈉黃光，取透鏡的曲率半徑r=1 m，用Mathematica數(shù)值模擬可畫出普通牛頓環(huán)的干涉圖樣及其光強(qiáng)分布圖，分別如圖2(a)與圖2(b)所示。

(a) 普通牛頓環(huán)干涉圖樣

2 旋轉(zhuǎn)拋物面與平凸透鏡(平凹透鏡)構(gòu)成組合透鏡的干涉公式推導(dǎo)

圖3為由旋轉(zhuǎn)拋物面與平凸透鏡組合構(gòu)成的廣義牛頓環(huán)截面示意圖(平凹透鏡情況類似)。由(1)式結(jié)果可知

(6)

討論最簡(jiǎn)單的二次函數(shù)，設(shè)拋物線方程為：

y=ax2

(7)

圓的方程為：

(y-R)2-x2=R2

(8)

同一級(jí)牛頓環(huán)在下表面(即拋物面)上點(diǎn)B的厚度為d2，則B點(diǎn)坐標(biāo)為(rj,d2)，B點(diǎn)滿足拋物線方程，有

d2=arj2

(9)

聯(lián)立(6)和(9)式可以求得上下表面的厚度差

(10)

圖3 旋轉(zhuǎn)拋物面與平凸透鏡構(gòu)成組合透鏡裝置截面圖

考慮半波損失后對(duì)應(yīng)的光程差為

(11)

對(duì)應(yīng)的光強(qiáng)分布為

(12)

時(shí)的情況

3 利用Mathematica模擬組合透鏡下的牛頓環(huán)干涉

3.1 當(dāng)R固定改變二次函數(shù)斜率a的牛頓環(huán)干涉圖樣和干涉光強(qiáng)分布曲線

據(jù)在(12)式所推導(dǎo)的組合透鏡下的牛頓環(huán)干涉圖樣的公式，可利用Mathematica模擬圖3所示組合牛頓環(huán)裝置的干涉圖樣。當(dāng)用鈉黃光波長(zhǎng)λ=589 nm，當(dāng)固定半徑r=1 m時(shí)，改變二次函數(shù)的斜率a，可以得到不同的干涉圖樣和干涉光強(qiáng)分布曲線。取r=1 m，a=0.3,0.8,1,利用Mathematica模擬可得任意半徑下的牛頓環(huán)干涉圖樣以及光強(qiáng)的分布曲線，如圖5、圖6、圖7所示。由圖5可知，在(-0.002 5,0.002 5)區(qū)間內(nèi)亮環(huán)的最高干涉級(jí)為4級(jí)，暗環(huán)的最高干涉級(jí)為5級(jí)，隨著距離中心點(diǎn)的距離的增加，相鄰條紋間距變窄，牛頓環(huán)干涉條紋逐漸變密集，呈現(xiàn)出中間疏，邊緣密的形狀。

(a) 組合透鏡下牛頓環(huán)干涉圖樣

(a)牛頓環(huán)干涉圖樣

當(dāng)a=0.8時(shí)的光強(qiáng)分布曲線如圖6所示，在區(qū)間(-0.002 5,0.002 5)內(nèi)明環(huán)的最高干涉級(jí)為6級(jí)，暗環(huán)的最高干涉級(jí)為7級(jí)。與圖5相比較，圖6的牛頓環(huán)R不變，a值增大0.5，亮環(huán)和暗環(huán)的最高干涉級(jí)均大于圖5，相鄰的明環(huán)與暗環(huán)間距更小，干涉條紋更密集。

(a)牛頓環(huán)干涉圖樣

當(dāng)a=1時(shí)光強(qiáng)分布曲線如圖7所示，在區(qū)間(-0.002 5,0.002 5)內(nèi)明環(huán)的最高干涉級(jí)為11級(jí)，暗環(huán)的最高干涉級(jí)為11級(jí)。三組圖R值均相等，與圖5、圖6相比，圖7的牛頓環(huán)a值最大，在相同的區(qū)間內(nèi)，圖7的干涉條紋數(shù)最多，條紋間距最小，條紋最密。

所有畫出的圖樣都是圓形，與普通牛頓環(huán)圖樣的差別在于圓環(huán)的間隔不一樣。根據(jù)上圖可知，當(dāng)入射光的波長(zhǎng)和曲率半徑R不變時(shí)，隨著二次函數(shù)斜率a的增大，組合透鏡下牛頓環(huán)的干涉條紋間距減小，干涉條紋越密集。

3.2 當(dāng)a固定改變組合透鏡的曲率半徑R所得的干涉圖樣和干涉光強(qiáng)分布曲線

仍舊使用鈉黃光，波長(zhǎng)λ=589 nm，當(dāng)固定二次函數(shù)的斜率a=0.25時(shí)，改變曲率半徑R的值，根據(jù)(12)式可以得到如下圖的干涉圖樣和干涉光強(qiáng)分布曲線，如圖8、圖9和圖10所示。

(a) 牛頓環(huán)干涉圖樣

當(dāng)r=1.2 m時(shí),利用Mathematica模擬牛頓環(huán)干涉所得的圖樣以及光強(qiáng)分布曲線如圖8所示，在(-0.008,0.008)范圍內(nèi)亮環(huán)的最高干涉級(jí)為36級(jí)，暗環(huán)的最高干涉級(jí)為37級(jí)。

(a)牛頓環(huán)干涉圖樣

當(dāng)r=1.5 m時(shí)，圖樣及光強(qiáng)分布曲線如圖9所示，在(-0.008,0.008)區(qū)間內(nèi)明環(huán)的最高干涉級(jí)為18級(jí)，暗環(huán)的最高干涉級(jí)為19級(jí)。與圖8相比，圖9的牛頓環(huán)a值并無(wú)改變，R值減小，在相同的范圍內(nèi)，干涉條紋間距增大，條紋變稀疏。

(a)牛頓環(huán)干涉圖樣

當(dāng)r=1.8 m時(shí),所得的圖樣以及光強(qiáng)分布曲線如圖10所示，在區(qū)間(-0.008,0.008)內(nèi)明環(huán)的最高干涉級(jí)為6級(jí)，暗環(huán)的最高干涉級(jí)為7級(jí)。在a值不變的情況下，圖10牛頓環(huán)R較圖8、圖9最大，相同的區(qū)間內(nèi)，明環(huán)和暗環(huán)的最高干涉級(jí)數(shù)最小，干涉圖樣中干涉條紋的間距最大，條紋分布最疏。

根據(jù)以上三組圖可知，當(dāng)入射光的波長(zhǎng)和二次函數(shù)斜率a不變時(shí)，隨著曲率半徑R的增大，組合透鏡下牛頓環(huán)的干涉條紋間距增大，干涉條紋越稀疏。

3.3 比較不同系數(shù)a下的干涉光強(qiáng)分布圖并得出結(jié)論

將普通牛頓環(huán)的光強(qiáng)圖與組合透鏡下的牛頓環(huán)的光強(qiáng)圖做對(duì)比分析更有意義。當(dāng)a=0時(shí)我們討論的組合透鏡完全回到通常牛頓環(huán)的情況。

圖11 普通牛頓環(huán)干涉光強(qiáng)分布圖與當(dāng)a=1時(shí)，組合透鏡下的牛頓環(huán)光強(qiáng)分布圖

同理，由公式(12)可畫出當(dāng)a=1，r=1 m和a=2，r=1 m時(shí)的光強(qiáng)分布圖，如圖12所示，在同一區(qū)間范圍內(nèi)，組合透鏡在a=2時(shí)的明環(huán)數(shù)比a=1多，由光程差公式(11)得：

所以可以計(jì)算出第j級(jí)明環(huán)的半徑

(13)

(14)

(15)

即

(16)

同理可得第j級(jí)暗環(huán)半徑

(17)

相鄰的明環(huán)和暗環(huán)間距為

(18)

當(dāng)干涉級(jí)數(shù)j不變時(shí)，二次函數(shù)斜率a越大，相鄰的明環(huán)和暗環(huán)間距ej越小，所以在同樣的區(qū)間范圍內(nèi)，a越大，所產(chǎn)生的牛頓環(huán)干涉環(huán)數(shù)越多，干涉條紋越密集，如圖12所示。此時(shí)我們討論的組合透鏡牛頓環(huán)與正常牛頓環(huán)圖樣不重合。

圖12 當(dāng)a=2時(shí)，組合透鏡下的牛頓環(huán)光強(qiáng)分布圖與當(dāng)a=1時(shí)，組合透鏡下的牛頓環(huán)光強(qiáng)分布圖

4 結(jié) 語(yǔ)

推導(dǎo)出由旋轉(zhuǎn)拋物面和球面構(gòu)成組合透鏡下廣義牛頓環(huán)的干涉公式，并利用Mathematica模擬組合透鏡下的牛頓環(huán)的干涉圖樣以及光強(qiáng)分布圖，發(fā)現(xiàn)組合透鏡下的牛頓環(huán)干涉圖樣仍舊呈圓環(huán)狀，因?yàn)樾D(zhuǎn)拋物面和球面直接形成空氣劈尖，根據(jù)等厚干涉原理厚度相同對(duì)應(yīng)同一級(jí)干涉條紋，根據(jù)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性可知組合透鏡下的牛頓環(huán)干涉圖樣也是圓環(huán)。通過(guò)數(shù)值模擬可以看出，變形牛頓環(huán)的干涉圖樣與二次函數(shù)斜率a以及曲率半徑R取值有關(guān)，a值越大，同等條件下的牛頓環(huán)干涉條紋間距越小，干涉條紋數(shù)越多；R值越大，同等條件下牛頓環(huán)干涉條紋間距越大，干涉條紋數(shù)越少。