弧形閘門重心和重力矩計(jì)算方法

蘭 欽，段東旭，廖玉海，程 忠

(中國(guó)電建集團(tuán)中南勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院有限公司，湖南 長(zhǎng)沙 410014)

弧形閘門重力矩是影響啟閉力的重要因素[1]。與平面閘門不同，弧形閘門結(jié)構(gòu)復(fù)雜，其重心不易準(zhǔn)確獲取。SL 74—2013《水利水電工程鋼閘門設(shè)計(jì)規(guī)范》[2]和NB 35055—2015《水電工程鋼閘門設(shè)計(jì)規(guī)范》[3]均只簡(jiǎn)單地給出了弧門啟閉力計(jì)算的表達(dá)式，其中重力矩采用自重與力臂之積表示，但并沒(méi)有給出弧門自重及不同開度下的力臂計(jì)算式[3-4]。長(zhǎng)期以來(lái)，弧門各構(gòu)件自重均簡(jiǎn)化成規(guī)則的矩形板計(jì)算，重力力臂通常采用經(jīng)驗(yàn)公式，即近似認(rèn)為重心位于弧門全關(guān)時(shí)總水壓力作用線上距支鉸中心0.80或0.85倍半徑處，弧門任意開度下的重力力臂則通過(guò)角度換算得到[5-6]。該經(jīng)驗(yàn)公式綜合考慮了弧門實(shí)際外荷載和主框架合理剛度比，依據(jù)等安全度水平設(shè)計(jì)理念，并結(jié)合大量工程經(jīng)驗(yàn)得到，概念清楚、計(jì)算簡(jiǎn)便，在工程界得到了普遍的應(yīng)用。但是該公式未考慮弧門設(shè)計(jì)時(shí)實(shí)際重量分布，特別是對(duì)于有局部加重或者異型結(jié)構(gòu)弧門，必然存在一定的誤差。

隨著計(jì)算機(jī)三維輔助設(shè)計(jì)平臺(tái)的開發(fā)和普遍應(yīng)用，設(shè)計(jì)人員只需要建立弧門的三維模型，便可以獲取弧門自重及重心的精確值。許多學(xué)者已直接采用數(shù)值模擬的方法直接計(jì)算出較高精度的內(nèi)力和啟閉力[7-9]。但是目前這種方法模型建立過(guò)程較復(fù)雜[10]。設(shè)計(jì)人員往往需要將采用平面體系法設(shè)計(jì)的弧形閘門在三維輔助設(shè)計(jì)平臺(tái)上建立模型，得到重心后再進(jìn)行啟閉力計(jì)算和布置優(yōu)化，計(jì)算和優(yōu)化效率不高，不易得到弧門結(jié)構(gòu)和啟閉機(jī)布置的全局最優(yōu)結(jié)果。此外，三維輔助設(shè)計(jì)平臺(tái)需要耗費(fèi)較大計(jì)算機(jī)容量，計(jì)算時(shí)間也較長(zhǎng)。如何通過(guò)較簡(jiǎn)單的方法獲取弧門重心，并將弧門結(jié)構(gòu)計(jì)算與啟閉機(jī)布置優(yōu)化結(jié)合，以便得到全局最優(yōu)結(jié)果，具有重要的研究?jī)r(jià)值。

本文試圖從理論上推導(dǎo)弧門重力、重心和重力矩的解析公式，分析弧門重心的2個(gè)參數(shù)(半徑rG、傾角θG)對(duì)弧門啟閉力的影響，在此基礎(chǔ)上提出計(jì)算弧門重心的簡(jiǎn)易法，結(jié)合工程實(shí)例編制相應(yīng)的計(jì)算程序，將計(jì)算結(jié)果與經(jīng)驗(yàn)公式、三維模型的結(jié)果進(jìn)行比較，驗(yàn)證計(jì)算方法的合理性和優(yōu)越性，為類似弧門設(shè)計(jì)提供參考。

1 弧門重量及重力矩

弧門任意開度下主要構(gòu)件自重及重力矩可采用積分[11]計(jì)算，下面具體說(shuō)明。圖1中，在柱坐標(biāo)下與豎直方向成θ角度處取弧門某構(gòu)件體積微元dV,其外半徑為Ri，徑向高度為δi，環(huán)向包角為dθ，垂直于紙面方向即Z向?qū)挾葹锽i，鋼材的密度為ρ，重力加速度為g。

圖1 弧門重心及重力矩計(jì)算

由于δi

(1)

(2)

mi=ρδiBiAi

(3)

Mi=ρgδiBiAirGi

(4)

則弧門重量及該開度下的重力矩為：

m=∑mi=ρ∑δiBiAi

(5)

M=∑Mi=ρg∑δiBiAirGi

(6)

式(5)、(6)為弧門自重、重力矩的計(jì)算通式。設(shè)計(jì)人員可以根據(jù)弧門開閉的角度變化利用式(6)計(jì)算出弧門不同開度下的重力矩。但是每一種開度下的重力矩均需采用這個(gè)復(fù)雜的公式分別計(jì)算，計(jì)算過(guò)程復(fù)雜、計(jì)算量較大。而且得不到弧門的重心，使弧門及其啟閉機(jī)系統(tǒng)優(yōu)化過(guò)程仍存在盲目性，優(yōu)化效率低下。如果能夠通過(guò)某種較簡(jiǎn)單的方法得到弧門的重心，則可結(jié)合式(5)直接計(jì)算出不同開度時(shí)的重力矩。此時(shí)，弧門任意開度Δθ時(shí)重力矩可表示為：

MΔθ=mgrGsin(θG+Δθ)

(7)

式中rG——弧門重心到支鉸中心的距離；θG——弧門全關(guān)狀態(tài)下重心-支鉸中心連線與豎直方向的夾角。

式(6)、(7)實(shí)際上是2種不同的計(jì)算重力矩的方法，其計(jì)算流程列于表1。

表1 弧門重力矩計(jì)算流程

2 弧門重心計(jì)算方法

2.1 組合法

圖1中，當(dāng)閘門處于全關(guān)狀態(tài)時(shí)，首先計(jì)算出各構(gòu)件對(duì)其主慣性軸的重心值x0Ci，然后通過(guò)坐標(biāo)變換計(jì)算出在直角坐標(biāo)系xoy下的重心(xCi,yCi)，最后計(jì)算出弧門重心(xC,yC)，則極坐標(biāo)表示的重心坐標(biāo)為[12]：

(8)

(9)

(10)

2.2 旋轉(zhuǎn)法

弧門任意2種不同開度j、k時(shí)弧門的重力力臂rj、rk為：

(11)

(12)

開度j、k時(shí)重心-支鉸中心連線與豎直方向的夾角分別為θGj、θGk，則開度j、k時(shí)弧門的重力力臂rj、rk亦可表示為：

rj=rGsinθGj

(13)

rk=rGsin(θGj+Δθ)

(14)

聯(lián)立式(7)—(10)得：

sin(θGj+Δθ)/sinθGj=f

(15)

式中，f為常系數(shù)，f=Mk/Mj。顯然，式(15)中除θGj為未知量外，其他均為已知量。若能證明函數(shù)f(x)=sin(x+Δθ)/sinx在本文所述問(wèn)題邊界條件下是單調(diào)的，就能通過(guò)式(15)求出唯一的θGj，進(jìn)一步代入式(13)，就可以求出rG。至此，弧門的重心就確定了。

2.3 簡(jiǎn)易法

從以上的分析可知，弧門重心由半徑rG和傾角θG2個(gè)參數(shù)確定，本節(jié)將分析2個(gè)參數(shù)對(duì)弧門啟閉力的敏感性，進(jìn)而提出只考慮較敏感因素的弧門重心簡(jiǎn)易計(jì)算公式。定義參數(shù)a的相對(duì)誤差為：

(16)

式中，a0為參數(shù)a的真實(shí)值，a1為參數(shù)a的計(jì)算值。則在半徑rG和傾角θG同等相對(duì)誤差δ條件下，弧門任意啟閉狀態(tài)下半徑rG計(jì)算誤差所引起的啟閉力相對(duì)誤差δFr與傾角θG計(jì)算誤差所引起的啟閉力相對(duì)誤差δFθ的比值K可表示為：

(17)

由式(17)可知，啟閉力相對(duì)誤差比值K的大小與相對(duì)誤差δ、傾角θG、開度Δθ有關(guān)，與半徑rG無(wú)關(guān)。對(duì)于露頂式弧門，圖2為弧門零開度(Δθ=0)時(shí)啟閉力相對(duì)誤差比值K與傾角θG關(guān)系曲線，從圖中可以看出，對(duì)于不同的相對(duì)誤差δ，K值總體上大于1；當(dāng)θG在87°左右，K總體上達(dá)最大，最大值高達(dá)500左右；只有當(dāng)θG>110°時(shí)，K才略小于1；對(duì)于傾角θG和開度Δθ取可能值，K值總體上大于1。

事實(shí)上，對(duì)于按等安全度水平設(shè)計(jì)且無(wú)局部加重塊的弧門，夾角θG的真實(shí)值與θw(θw為弧門總水壓力作用線與豎直方向的夾角)相差不大，可進(jìn)一步地取θG∈[θ1+θB/4,θ1+θB/2]，代入易得出θG∈[57°,97°]。此時(shí)，K總大于1.5，即半徑rG總體上比傾角θG更敏感。另外，實(shí)際設(shè)計(jì)時(shí)半徑rG的相

圖2 啟閉力相對(duì)誤差比值K與傾角θG關(guān)系曲線

對(duì)誤差往往遠(yuǎn)大于傾角θG的相對(duì)誤差或者兩者的相對(duì)誤差均很小。在不同的相對(duì)誤差δ1、δ2(δ1<<δ2)時(shí)，啟閉力相對(duì)誤差的比值K將遠(yuǎn)大于1。綜合以上因素，露頂式弧門啟閉力相對(duì)誤差比值K將遠(yuǎn)大于1，即半徑rG對(duì)弧門啟閉力的影響比傾角θG大得多；對(duì)潛孔式弧門和水閘露頂式弧門，也可得出類似的結(jié)論。從以上分析來(lái)看，對(duì)于按等安全度水平設(shè)計(jì)且無(wú)局部加重塊的弧門可取θG≈θw，代入式(13)便可以計(jì)算出半徑rG，該計(jì)算方法為簡(jiǎn)易法。

2.4 幾種計(jì)算方法的比較

除三維模型外，共有4種求解弧門重心的方法，其中組合法和旋轉(zhuǎn)法均是通過(guò)理論推導(dǎo)而來(lái)，只是計(jì)算思路不同，合稱為解析法。各計(jì)算方法流程及其比較列于表2。

3 算例驗(yàn)證

3.1 典型弧門模型及參數(shù)

算例①：潘口溢洪道露頂式弧門孔口寬度20.0 m，孔口高度為18.327 m，下游無(wú)水，面板曲率半徑為23.0 m，轉(zhuǎn)動(dòng)鉸高度為10.327 m，門葉高度為18.8 m，閘門重力為3 000 kN。轉(zhuǎn)動(dòng)鉸摩阻力力臂為0.425 m，水封摩阻力力臂為23.0 m，水封上托力的力臂為20.55 m。已知閘門能依靠自重下門，采用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算時(shí)擋水狀態(tài)時(shí)啟門力最大，此時(shí)啟閉力力臂10.946 m。

表2 弧門重心及重力矩各種計(jì)算方法流程及比較

算例②：潘口泄洪洞潛孔式弧門孔口寬度8.0 m，孔口高度為10.0 m，面板曲率半徑為16.0 m，轉(zhuǎn)動(dòng)鉸高度為13.10 m，門葉高度為10.15 m，閘門重力為2 334.5 kN。轉(zhuǎn)動(dòng)鉸摩阻力力臂為0.35 m，水封摩阻力力臂為16.0 m，頂、底水封上托力的力臂分別為16.0、9.2 m。已知閘門能依靠自重下門，采用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算時(shí)全開狀態(tài)時(shí)啟門力最大，此時(shí)啟閉力力臂11.05 m。

相關(guān)參數(shù)：鋼材密度為7 850 kg/m3，泊松比為0.31；鉸軸滑動(dòng)摩擦系數(shù)為0.1，側(cè)水封壓縮量為4 mm，水封線壓力為p=58 N/cm，摩擦系數(shù)為0.5；底水封長(zhǎng)度為110 mm，厚度為15 mm，閘門擋水狀態(tài)時(shí)的壓縮量為5 mm，彈性模量為6 MPa。

3.2 重心解析計(jì)算法合理性驗(yàn)證

分別采用經(jīng)驗(yàn)公式、三維模型、組合法、旋轉(zhuǎn)法對(duì)實(shí)例中弧門重心做了計(jì)算。其中，三維有限元模型中利用APDL程序[16-20]獲取重心，組合法、旋轉(zhuǎn)法采用MATLAB編程[21-23]實(shí)現(xiàn)?？紤]到結(jié)構(gòu)的特殊性，弧門有限元模型鋼結(jié)構(gòu)構(gòu)件均采用殼單元，止水部分采用摩擦單元[19-20]。其中，案例①模型共有節(jié)點(diǎn)71 609個(gè)，單元35 125個(gè)(圖3)；案例②模型節(jié)點(diǎn)53 609個(gè)，單元30 095個(gè)(圖4)。4種方法的計(jì)算結(jié)果及比較見表4、5，計(jì)算中將三維模型的計(jì)算結(jié)果作為真實(shí)值。

圖3 算例①有限元模型

圖4 算例②有限元模型

表3 弧門各構(gòu)件單元類型

表4 算例①4種方法計(jì)算結(jié)果及比較

表5 算例②4種方法計(jì)算結(jié)果及比較

從表4、5可以看出：采用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算時(shí)，傾角θG的最大相對(duì)誤差為3.78%，半徑rG的最大相對(duì)誤差為25.18%，傾角θG的誤差均遠(yuǎn)小于半徑rG的誤差，兩者最小相差約1倍；采用組合法、旋轉(zhuǎn)法計(jì)算的結(jié)果相當(dāng)，最大相對(duì)誤差為7.58%，總體上比經(jīng)驗(yàn)公式的小很多。與占據(jù)大容量?jī)?nèi)存和模型建立復(fù)雜的三維平臺(tái)相比，組合法、旋轉(zhuǎn)法只需編制1個(gè)小程序就可以實(shí)現(xiàn)，更方便設(shè)計(jì)者掌握和使用。此外，依據(jù)組合法、旋轉(zhuǎn)法編制的計(jì)算程序，能夠與閘門結(jié)構(gòu)和啟閉機(jī)系統(tǒng)布置優(yōu)化程序結(jié)合，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)弧門的全局優(yōu)化[10]設(shè)計(jì)。相比較而言，旋轉(zhuǎn)法不需要分別計(jì)算各構(gòu)件的重心，亦無(wú)須坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，比組合法更簡(jiǎn)便。

綜上，經(jīng)驗(yàn)公式可以用于弧門啟閉力估算和啟閉力隨開度的變化規(guī)律分析；解析法兼具精度高和通用性強(qiáng)突出優(yōu)點(diǎn)，與組合法相比較，旋轉(zhuǎn)法計(jì)算過(guò)程較簡(jiǎn)單，是弧門重心較優(yōu)的計(jì)算方法。

3.3 2個(gè)參數(shù)對(duì)啟閉力影響分析

采用3種方法計(jì)算的3.1節(jié)2個(gè)算例弧門最大啟門力及由θG、rG相對(duì)誤差所引起的啟門力相對(duì)誤差見表6、7。從表中可以看出，采用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算時(shí)，啟閉力最大相對(duì)誤差為23.52%；采用旋轉(zhuǎn)法計(jì)算時(shí)，啟閉力最大相對(duì)誤差為6.05%，比經(jīng)驗(yàn)公式的結(jié)果精度高很多，這與第3.2節(jié)重心計(jì)算時(shí)的結(jié)論是一致的；采用這2種方法計(jì)算時(shí)，由傾角θG所引起的啟閉力最大相對(duì)誤差為0.81%，由半徑rG所引起的啟閉力最大相對(duì)誤差為23.66%，2種方法啟閉力相對(duì)誤差結(jié)果呈現(xiàn)相同的規(guī)律，即由半徑rG引起的啟門力相對(duì)誤差遠(yuǎn)大于由傾角θG引起的啟門力相對(duì)誤差，最小相差約1個(gè)數(shù)量級(jí)。這表明，對(duì)于弧門啟門力而言，半徑rG為敏感因素，傾角θG為非敏感因素；采用經(jīng)驗(yàn)公式對(duì)弧門啟閉力估算和啟閉力隨開度的變化規(guī)律分析是可行的。

表6 算例①2個(gè)參數(shù)誤差對(duì)啟閉力影響

表7 算例②2個(gè)參數(shù)誤差對(duì)啟閉力影響

3.4 重心簡(jiǎn)易計(jì)算法適用性分析

從2.3節(jié)的計(jì)算分析來(lái)看，采用簡(jiǎn)易法計(jì)算弧門重心從理論上是可行的。表8列出了采用簡(jiǎn)易法計(jì)算時(shí)弧門半徑rG的計(jì)算結(jié)果，從表8可以看出，當(dāng)采用簡(jiǎn)易法對(duì)兩弧門重心進(jìn)行計(jì)算時(shí)，半徑rG最大相對(duì)誤差僅為10.15%；與經(jīng)驗(yàn)公式的計(jì)算結(jié)果相比精度提高約1倍；與旋轉(zhuǎn)法的計(jì)算結(jié)果相比，半徑rG相對(duì)誤差相差不大，但計(jì)算量卻減少很多。這表明，當(dāng)弧門無(wú)加重時(shí)，采用簡(jiǎn)易法計(jì)算重心是簡(jiǎn)易可行的，這與2.3節(jié)的理論分析是一致的。

表8 簡(jiǎn)易法半徑rG計(jì)算結(jié)果

4 結(jié)論

通過(guò)弧形閘門重量、重心、重力矩計(jì)算公式的推導(dǎo)及其適用性分析，得出如下結(jié)論。

a)從理論上推導(dǎo)出了計(jì)算弧門重心及重力矩的組合法和旋轉(zhuǎn)法，與經(jīng)驗(yàn)公式和三維模型的計(jì)算結(jié)果相比，結(jié)合算例分析得出組合法和旋轉(zhuǎn)法兼具精度高和通用性強(qiáng)突出優(yōu)點(diǎn)。其中旋轉(zhuǎn)法計(jì)算更簡(jiǎn)便，是弧門重心較優(yōu)的計(jì)算方法。

b)分析了重心的2個(gè)參數(shù)(半徑rG、傾角θG)對(duì)弧門啟閉力的影響，總體上半徑rG為敏感因素，對(duì)弧門啟閉力影響較大；傾角θG為非敏感因素，對(duì)弧門啟閉力影響較小。在此基礎(chǔ)上提出了適用于計(jì)算無(wú)局部加重塊弧門重心的簡(jiǎn)易法，從理論和實(shí)例2個(gè)角度分析了簡(jiǎn)易法的優(yōu)越性和適用性。

c)設(shè)計(jì)中，可以先采用經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行啟閉力估算和啟閉力隨開度的變化規(guī)律計(jì)算分析，然后根據(jù)弧門有無(wú)局部加重塊分別選用旋轉(zhuǎn)法或簡(jiǎn)易法計(jì)算出高精度的弧門最大啟閉力，以達(dá)到高精度高效率的雙重目的。