基于二元非線(xiàn)性擬合的溢洪道寬頂堰流量系數(shù)公式研究及應(yīng)用

閆志方，賈云飛，王 宇

(1.廣東珠榮工程設(shè)計(jì)有限公司，廣東 廣州 510610；2.廣州開(kāi)發(fā)區(qū)財(cái)政投資建設(shè)項(xiàng)目管理中心，廣東 廣州 510000；3.南京水利科學(xué)研究院水文水資源與水利工程科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210029)

堰流流量系數(shù)是溢洪道及水閘等泄水建筑物泄流能力計(jì)算中的關(guān)鍵參數(shù)，當(dāng)前國(guó)內(nèi)外學(xué)者在堰流流量系數(shù)的計(jì)算方面已有大量研究：毛昶熙[1]從水力學(xué)基本原理研究計(jì)算公式的合理性，并以模型試驗(yàn)資料驗(yàn)證，給出了堰閘淹沒(méi)泄流的流量系數(shù)表達(dá)式和大孔徑隧洞泄洪流量的計(jì)算公式；張紹芳[2]在系統(tǒng)地研究低堰溢流的水力特性的基礎(chǔ)上，給出通用于不同堰型和堰高、水頭范圍的溢流能力的計(jì)算方法；林孟程[3]通過(guò)對(duì)寬淺式溢洪道低堰體型研究，得出寬淺式溢洪道低堰流量系數(shù)隨堰頂水頭及定型水頭的變化規(guī)律；Issam A.Al-Khatib等[4]通過(guò)實(shí)驗(yàn)室水槽模型試驗(yàn)并利用多元回歸模型對(duì)數(shù)據(jù)擬合得到矩形復(fù)合寬頂堰流量系數(shù)及流速系數(shù)計(jì)算公式；Mohamad Reza Madadi等[5]通過(guò)實(shí)驗(yàn)室水槽模型試驗(yàn)研究了梯形寬頂堰迎水面坡度對(duì)流量系數(shù)的影響，并通過(guò)曲線(xiàn)擬合得到流量系數(shù)與迎水面角度的函數(shù)關(guān)系；Nourani Bahram等[6]應(yīng)用數(shù)值模擬的方法分別引入2種智能模型計(jì)算寬頂堰流量系數(shù)，并對(duì)2種模型參數(shù)有效性及計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了評(píng)估和對(duì)比；馬欣等[7]通過(guò)水工模型試驗(yàn)研究單宮V型迷宮堰不同布置方案的過(guò)流能力，并對(duì)試驗(yàn)研究成果進(jìn)行數(shù)學(xué)回歸擬合分析，得到可直接用于工程設(shè)計(jì)的V型迷宮堰過(guò)流能力計(jì)算公式。

水庫(kù)設(shè)計(jì)中，溢洪道控制段控制著水庫(kù)的水位和下泄流量，是溢洪道的咽喉[8]，其常用堰型有寬頂堰、實(shí)用堰，其中寬頂堰相對(duì)實(shí)用堰流量系數(shù)較小，但其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，施工方便，地基應(yīng)力分布比較均勻，整體穩(wěn)定性較好，因此在泄流量不大的中小型水庫(kù)中得到了較廣泛應(yīng)用。

寬頂堰流量系數(shù)計(jì)算在溢洪道寬頂堰泄流能力計(jì)算中起著至關(guān)重要的作用，工程設(shè)計(jì)中主要采用現(xiàn)行水利行業(yè)規(guī)范[9](以下簡(jiǎn)稱(chēng)“SL規(guī)范”)中流量系數(shù)表、電力行業(yè)規(guī)范[10](以下簡(jiǎn)稱(chēng)“DL規(guī)范”)或水力計(jì)算手冊(cè)[11](以下簡(jiǎn)稱(chēng)“手冊(cè)”)中的經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行計(jì)算。SL規(guī)范中的流量系數(shù)采用與相對(duì)上游堰高P1/H及底坎形狀有關(guān)的二維表格，考慮因素比較全面，但要計(jì)算泄流能力的水位-泄流量曲線(xiàn)時(shí)，需要進(jìn)行P1/H與r/H或cotθ(Δx/Δy)2個(gè)參數(shù)的二維線(xiàn)性?xún)?nèi)插，計(jì)算較為繁瑣；DL規(guī)范及手冊(cè)中流量系數(shù)是與相對(duì)上游堰高P1/H單變量有關(guān)的函數(shù)，計(jì)算時(shí)可編輯公式快速計(jì)算，運(yùn)用方便，但是由于考慮因素單一，會(huì)導(dǎo)致計(jì)算精度較低或應(yīng)用范圍較窄。

齊清蘭等[12]根據(jù)SL規(guī)范中流量系數(shù)表數(shù)據(jù)應(yīng)用最小二乘回歸分析法擬合了有坎寬頂堰流量系數(shù)的經(jīng)驗(yàn)公式，計(jì)算精度高于DL規(guī)范公式，但是由于其擬合的流量系數(shù)公式是不同r/H或cotθ(Δx/Δy)值下的單變量P1/H公式，進(jìn)行水位-泄流量曲線(xiàn)計(jì)算時(shí)參數(shù)r/H是跟水頭H有關(guān)的變量，仍需進(jìn)行一次r/H線(xiàn)性?xún)?nèi)插，計(jì)算不夠方便；單長(zhǎng)河等[13]采用二元非線(xiàn)性回歸分析法對(duì)多個(gè)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析，結(jié)合實(shí)測(cè)資料得到了無(wú)坎寬頂堰流量系數(shù)的經(jīng)驗(yàn)公式，克服了查表法多次內(nèi)插帶來(lái)的不便，但是其擬合的經(jīng)驗(yàn)公式是以翼墻型式及寬度的收縮程度為自變量的表達(dá)式，與常用的規(guī)范及手冊(cè)上的自變量差別較大，使用仍不夠方便。為方便SL規(guī)范流量系數(shù)表格使用，本文將利用SL規(guī)范中數(shù)據(jù)采用二元非線(xiàn)性擬合的方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合得到底坎為圓角的寬頂堰流量系數(shù)公式m=f(r/H，P1/H)，將其與電力規(guī)范公式比較，并對(duì)兩者計(jì)算誤差進(jìn)行分析討論。

1 流量系數(shù)計(jì)算公式擬合

1.1 擬合原理

有理函數(shù)屬于簡(jiǎn)單函數(shù)，它雖比多項(xiàng)式復(fù)雜，但用其近似表示函數(shù)時(shí)，卻比多項(xiàng)式靈活，更反映函數(shù)的一些特性[14]。因此本次二元非線(xiàn)性擬合將采用二元有理函數(shù)作為擬合函數(shù)。二元有理擬合就是尋求二元有理函數(shù)：

(1)

使之滿(mǎn)足下列插值條件：

r(xi,yj)=fij,(i=0,1,2,……m,j=0,1,2,……n)

(2)

式中P(x,y)、Q(x,y)——二元多項(xiàng)式；fij——樣本數(shù)據(jù)在(xi,yj)點(diǎn)的值。

吳曉韻[15]在逼近二元表格函數(shù)時(shí)，選用了二元有理函數(shù)，通過(guò)使性能指標(biāo)J0(a)=極小來(lái)求解各項(xiàng)待定系數(shù)ai。本文根據(jù)吳曉韻[15]的思路選用式(3)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，函數(shù)表達(dá)式為：

(3)

式中a1，a2，……，a9——待求系數(shù)。

令x=r/H，y=P1/H，則式(3)可表示為：

(4)

1.2 基礎(chǔ)數(shù)據(jù)

本研究所用樣本數(shù)據(jù)為SL規(guī)范中表A.2.3-1、A.2.3-2數(shù)據(jù)，由于底坎為直角或斜面時(shí)cotθ=0的情況與底坎為圓角時(shí)r/H=0為同一種情況，因此本次將底坎為直角或斜面時(shí)cotθ=0條件下的m值表數(shù)據(jù)與底坎為圓角時(shí)的表格數(shù)據(jù)結(jié)合作為本研究的樣本數(shù)據(jù)，見(jiàn)表1。

表1 底坎為帶圓角的寬頂堰流量系數(shù)m值

1.3 擬合結(jié)果

因基礎(chǔ)數(shù)據(jù)在P1/H∈(6，+∞)區(qū)間無(wú)明確數(shù)據(jù)，故本文進(jìn)行擬合時(shí)僅采用P1/H∈[0，6.0]對(duì)應(yīng)樣本數(shù)據(jù)。經(jīng)擬合，求解出式(4)中各待定參數(shù)值及其相關(guān)性見(jiàn)表2，擬合函數(shù)曲面圖見(jiàn)圖1。

表2 函數(shù)待定參數(shù)值、標(biāo)準(zhǔn)誤差及相關(guān)性

圖1 擬合函數(shù)曲面圖

(5)

式中m——寬頂堰流量系數(shù)；H——堰頂水頭，m；P1——寬頂堰坎高，m；r——坎頂圓角半徑，m。各參數(shù)見(jiàn)圖2。

圖2 寬頂堰示意

2 公式比較與誤差分析

2.1 公式驗(yàn)證比較

將SL規(guī)范表A.2.3-1、A.2.3-2數(shù)據(jù)及其線(xiàn)性插值結(jié)果作為標(biāo)準(zhǔn)值，分別用本次擬合公式及DL規(guī)范計(jì)算公式計(jì)算結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)值進(jìn)行對(duì)比。DL規(guī)范寬頂堰流量系數(shù)m計(jì)算公式見(jiàn)式(6)、(7)。式中各參數(shù)同式(5)。

進(jìn)口底坎為方角時(shí)：

(6)

進(jìn)口底坎為圓角時(shí)：

(7)

本次分別對(duì)各公式在r/H=0、r/H=0.025、r/H=0.05、r/H=0.10、r/H=0.20、r/H=0.40、r/H=0.60、r/H=0.80時(shí)，對(duì)應(yīng)P1/H=0～6時(shí)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖3。由圖3計(jì)算結(jié)果可看出：①擬合式(5)計(jì)算出的流量系數(shù)m在r/H各取值下與SL規(guī)范表格標(biāo)準(zhǔn)值趨勢(shì)相同，且計(jì)算點(diǎn)與標(biāo)準(zhǔn)曲線(xiàn)基本重合；②DL規(guī)范式(6)和(7)計(jì)算流量系數(shù)m在r/H<0.20時(shí)，均位于標(biāo)準(zhǔn)值曲線(xiàn)之上，此時(shí)DL規(guī)范公式計(jì)算結(jié)果偏大，隨著r/H增大，計(jì)算點(diǎn)與標(biāo)準(zhǔn)曲線(xiàn)差距逐漸減小；③r/H=0.20時(shí)計(jì)算m值與標(biāo)準(zhǔn)曲線(xiàn)基本重合且優(yōu)于式(5)計(jì)算結(jié)果；④r/H>0.20時(shí)，計(jì)算流量系數(shù)m均位于標(biāo)準(zhǔn)值曲線(xiàn)之下，此時(shí)DL規(guī)范公式計(jì)算結(jié)果偏小，隨著r/H增大，計(jì)算點(diǎn)與標(biāo)準(zhǔn)曲線(xiàn)差距逐漸增大。

綜上分析，總體而言擬合式(5)計(jì)算結(jié)果優(yōu)于DL規(guī)范式(6)和(7)計(jì)算結(jié)果。

a)r/H=0

b)r/H=0.025

c)r/H=0.05

d)r/H=0.1

e)r/H=0.2

f)r/H=0.4

g)r/H=0.6

h)r/H=0.8

i)r/H≥1.0

2.2 計(jì)算誤差分析

為定量比較擬合式(5)與DL規(guī)范公式的計(jì)算精度，需對(duì)兩公式計(jì)算結(jié)果進(jìn)行誤差比較。戴文鴻等[16]在比較穩(wěn)定河道計(jì)算方法時(shí)采用了差異比(DR)、相對(duì)誤差(RE)、幾何平均偏差(GAD)3個(gè)指標(biāo)，本文將采用這3項(xiàng)指標(biāo)來(lái)分析比較計(jì)算值與標(biāo)準(zhǔn)值之間的誤差。指標(biāo)計(jì)算式如下：

(11)

(12)

(13)

式中Cc——計(jì)算值；Cm——標(biāo)準(zhǔn)值；N——數(shù)據(jù)組數(shù)。

DR越接近1表示計(jì)算值與標(biāo)準(zhǔn)值越接近；RE越接近0表示計(jì)算值與標(biāo)準(zhǔn)值越接近；GAD越接近1表示計(jì)算值與標(biāo)準(zhǔn)值越接近。

經(jīng)計(jì)算，不同r/H值下擬合式(5)與DL規(guī)范公式計(jì)算結(jié)果的平均相對(duì)誤差、平均差異比及平均幾何平均偏差對(duì)比見(jiàn)圖4。從圖中可看出如下結(jié)果。

a)平均相對(duì)誤差

b)平均差異比

c)平均幾何平均偏差

a)平均相對(duì)誤差：擬合式(5)平均相對(duì)誤差在r/H各取值下均在1%以下，且在0.5%上下變化。DL規(guī)范公式平均相對(duì)誤差在r/H<0.20時(shí)從7.36%逐漸減小到1.33%，該范圍內(nèi)平均相對(duì)誤差在1%以上；r/H=0.20時(shí)平均相對(duì)誤差達(dá)到最小值0.26%；r/H>0.20時(shí)平均相對(duì)誤差從0.97%逐漸增大到2.83%，該范圍內(nèi)平均相對(duì)誤差在3%以?xún)?nèi)。

b)平均差異比：擬合式(5)平均差異比在r/H各取值下均在1±0.01以?xún)?nèi)。DL規(guī)范公式平均差異比在r/H<0.20時(shí)從1.07逐漸減小到1.01，最大變幅+0.07；r/H=0.20時(shí)平均差異比達(dá)到最小值1.002；r/H>0.20時(shí)平均差異比從0.99逐漸減小到0.97，最大變幅-0.03。

c)平均幾何平均偏差：擬合式(5)平均幾何平均偏差在r/H各取值下均在1～1.01以?xún)?nèi)，最大變幅+0.01。DL規(guī)范公式平均差異比在r/H<0.20時(shí)從1.07到1.01逐漸減小靠近1.00，最大變幅+0.07；r/H=0.20時(shí)平均差異比達(dá)到最小值1.003；r/H>0.20時(shí)平均差異比從1.01到1.03逐漸增大偏離1.00，最大變幅+0.03。

綜上分析：從整體水平上擬合式(5)各誤差指標(biāo)變化范圍較小，且均在較優(yōu)的范圍內(nèi)；DL規(guī)范公式各誤差指標(biāo)變化范圍較大，在r/H<0.20時(shí)偏離最優(yōu)值較大，在r/H=0.20時(shí)最接近最優(yōu)值，在r/H>0.20偏離最優(yōu)值相對(duì)較小。因此擬合式(5)在r/H各取值下均適用，DL規(guī)范公式僅在r/H≥0.20時(shí)較適用。

3 擬合公式應(yīng)用實(shí)例

選取貴州省某水庫(kù)溢洪道設(shè)計(jì)作為實(shí)例，采用擬合式(5)進(jìn)行計(jì)算，并與查SL規(guī)范表格計(jì)算值進(jìn)行對(duì)比。貴州某水庫(kù)溢洪道由引渠段、交通橋段、控制段、泄槽段、消力池段和海漫段等部分組成，溢洪道全長(zhǎng)226.83 m，其中引渠段長(zhǎng)47.41 m，交通橋段長(zhǎng)10 m，控制段長(zhǎng)15 m，泄槽段長(zhǎng)92.05 m，消力池段長(zhǎng)28 m，海漫段長(zhǎng)34.37 m。溢洪道控制段堰型為有坎寬頂堰，坎高P1=1.50 m，堰頂高程為892.00 m，與正常蓄水位平齊。泄槽段坡比1.0∶2.3，全段無(wú)變坡，寬度由17.50 m收縮為12 m。消力池型式為底流消能，底板高程851.50 m，池深3.50 m，池長(zhǎng)28.00 m。

設(shè)計(jì)計(jì)算分別選取坎頂圓弧半徑r=0、r=0.5P1=0.75 m、r=P1=1.5 m 3種型式，每種型式計(jì)算堰頂水頭范圍為0.2～15 m系列計(jì)算各流量系數(shù)。計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 不同圓角半徑各堰頂水頭下流量系數(shù)計(jì)算結(jié)果

將上表m標(biāo)準(zhǔn)值作為x坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)m擬合計(jì)算值作為y坐標(biāo)繪制于直角坐標(biāo)系，見(jiàn)圖5。從圖中看出，r/P1=0時(shí)各點(diǎn)基本與“計(jì)算=標(biāo)準(zhǔn)”線(xiàn)重合；r/P1=0.5及r/P1=1.0時(shí)各散點(diǎn)均勻分布于“計(jì)算=標(biāo)準(zhǔn)”線(xiàn)附近，且大部分位于±1%誤差線(xiàn)之間，僅有個(gè)別點(diǎn)在-1%誤差線(xiàn)外，但較接近-1%誤差線(xiàn)。分析其原因，位于-1%誤差線(xiàn)以外的點(diǎn)為堰頂水頭H較小時(shí)的計(jì)算結(jié)果，當(dāng)H較小且P1/H>6時(shí)將超出擬合式(5)的樣本范圍，在樣本數(shù)據(jù)范圍外式(5)計(jì)算精度難以保證。

因此，在工程設(shè)計(jì)中當(dāng)P1/H≤6時(shí)可應(yīng)用式(5)替代查SL規(guī)范表A.2.3-2計(jì)算寬頂堰流量系數(shù)；在P1/H>6時(shí)須對(duì)計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行分析，若坎高P1不大，P1/H>6時(shí)堰頂水頭H亦較小，此時(shí)式(5)計(jì)算結(jié)果偏小，在工程上偏安全，亦可用式(5)計(jì)算結(jié)果近似替代查SL規(guī)范表的值。

圖5 實(shí)例驗(yàn)證

4 結(jié)論

a)選取SL規(guī)范表A.2.3-1、A.2.3-2數(shù)據(jù)作為樣本數(shù)據(jù)，應(yīng)用二元有理插值函對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合得到溢洪道寬頂堰流量系數(shù)的二元函數(shù)表達(dá)式m=f(r/H，P1/H)，該公式可避免查表多次內(nèi)插的繁瑣工作。

b)經(jīng)對(duì)擬合公式及DL規(guī)范公式進(jìn)行驗(yàn)證比較，擬合公式計(jì)算結(jié)果優(yōu)于DL規(guī)范公式計(jì)算結(jié)果。

c)經(jīng)對(duì)擬合公式及DL規(guī)范公式計(jì)算結(jié)果的平均相對(duì)誤差、平均差異比及平均幾何平均偏差三誤差指標(biāo)比較，擬合公式在r/H各取值下均適用，DL規(guī)范公式僅在r/H≥0.20時(shí)較適用。

d)選取某水庫(kù)溢洪道設(shè)計(jì)作為實(shí)例，經(jīng)過(guò)對(duì)計(jì)算結(jié)果分析，在工程設(shè)計(jì)中可應(yīng)用擬合公式替代查SL規(guī)范表計(jì)算寬頂堰流量系數(shù)。