思直觀之源 展想象之翼

祝敏芝

(浙江省臺(tái)州市三門縣教師發(fā)展中心 317100)

《辭?！分小爸庇^是不經(jīng)過(guò)理智推理過(guò)程，而由感覺(jué)或精神直接體驗(yàn)的一種認(rèn)識(shí)作用”，“想象是人在頭腦里對(duì)已儲(chǔ)存的表象進(jìn)行加工改造形成新形象的心理過(guò)程.”康德認(rèn)為：一切人類認(rèn)知都是從直觀開(kāi)始，從那里進(jìn)到概念，而以理念結(jié)束.直觀想象是一種重要的思維方式，也是數(shù)學(xué)認(rèn)知的重要環(huán)節(jié)，在教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)直觀展開(kāi)想象是值得研究和關(guān)注的問(wèn)題.

1 直觀想象的含義

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出，“直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng).主要包括：借助空間形式認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問(wèn)題；建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型，探索解決問(wèn)題的思路.”[1]徐利治先生認(rèn)為，“學(xué)習(xí)一條數(shù)學(xué)定理及其證明，只有當(dāng)我能把定理的直觀含義和直觀思路弄明白了，我才認(rèn)為真正懂了.……在數(shù)學(xué)中，我寧愿把直觀一詞解釋為借助于經(jīng)驗(yàn)、觀察、測(cè)試或類比聯(lián)想所產(chǎn)生的對(duì)事物關(guān)系直接的感知與認(rèn)識(shí).”[2]F.克萊因在《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》中指出：“空間觀念的起源有兩個(gè)，一個(gè)是對(duì)空間觀念的直覺(jué)，可以通過(guò)量度而直接意識(shí)到.另一個(gè)是主觀的理想化的直覺(jué)，它超越感官觀察的不精確性.”[3]首都師范大學(xué)朱一心教授在《數(shù)學(xué)的可視化直觀》的演講中提出，“數(shù)學(xué)直觀主要體現(xiàn)為數(shù)感、空間觀念與幾何直觀，還有公眾不太知道的一種可操作或可實(shí)現(xiàn)的‘關(guān)系’與‘程序’，能引起對(duì)數(shù)學(xué)某種知識(shí)和理論的聯(lián)想、感悟，從而把知識(shí)理解成一種我們可以了解的直觀.” 張廣祥、張奠宙指出代數(shù)教學(xué)中的模式直觀，并將模式直觀分為常識(shí)性、遷移性、和諧性、符號(hào)性四種[5].馮靜、許亞桃、吳立寶提出“學(xué)生幾何思維的直觀、描述、理論三個(gè)水平對(duì)應(yīng)著直觀想象素養(yǎng)的三個(gè)層次：原型直觀、表象直觀和想象直觀.”[6]

數(shù)學(xué)直觀表現(xiàn)方式主要有關(guān)于事物空間形式的感知、關(guān)于事物背景意義的認(rèn)識(shí)以及關(guān)于事物邏輯關(guān)系或形成發(fā)展秩序的感悟.數(shù)學(xué)想象是借助經(jīng)驗(yàn)、觀察、實(shí)驗(yàn)、直覺(jué)歸納與類比聯(lián)想等思維方式，尋找直觀的空間形式、直觀模型或直觀形態(tài)，把握和理解比較抽象、深刻的思維對(duì)象.

2 直觀想象的途徑與方式

2.1 基于量度的圖形直觀

如，a-b表示兩個(gè)數(shù)的差，也可以理解為兩條線段的長(zhǎng)度之差，其絕對(duì)值也是數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，這樣兩數(shù)差就有了直觀的意義.基于度量的數(shù)形轉(zhuǎn)換與基于坐標(biāo)的數(shù)形結(jié)合是量度的兩種最主要的途徑與方式.

圖1

圖2

圖3

圖4

2.2 基于具象的模型直觀

表象是保持在記憶中某一事物的形象，是感知、記憶的結(jié)果；具象是根據(jù)個(gè)體的需要、態(tài)度、體驗(yàn)和思想觀念來(lái)綜合取舍表象進(jìn)而形成的表象結(jié)果.

圖5

二是符號(hào)化模型.符號(hào)化是人類對(duì)信息最強(qiáng)有力的壓縮加工方式，通常有數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)或圖表等等.如，任何6個(gè)人中必有3人相互認(rèn)識(shí)或者3人相互不認(rèn)識(shí).6個(gè)人用6個(gè)點(diǎn)表示，認(rèn)識(shí)用實(shí)線連結(jié)，不認(rèn)識(shí)用虛線連結(jié)，則從某個(gè)人A出發(fā)與另外五個(gè)人連結(jié)的線中至少有三條AB、AC、AD同為虛線或同為實(shí)線(不妨設(shè)為實(shí)線)，如圖5，這四個(gè)人的連線中必存在同為實(shí)線或同為虛線的三角形.又如歐拉將七橋問(wèn)題提煉為一筆畫(huà)問(wèn)題，創(chuàng)立了圖論.美國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂恩說(shuō)：“如果一個(gè)特定的問(wèn)題被轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖式，那么思想就整體地把握了問(wèn)題，并且能創(chuàng)造性地思索問(wèn)題的解法.”[7]

2.3 基于經(jīng)驗(yàn)的關(guān)系直觀

還有一種直觀超越圖形、具象等知覺(jué)的局限，是一種基于經(jīng)驗(yàn)的精神體驗(yàn)與認(rèn)識(shí)的直觀.F.克萊因認(rèn)為運(yùn)算法則是知覺(jué)的直接而必然的結(jié)果，并舉例說(shuō)明“交換律的成立就是因?yàn)橛^察到圖形：：：得到2·3=3·2，當(dāng)點(diǎn)數(shù)適當(dāng)多，這種直接知覺(jué)就不行了，但求助于數(shù)學(xué)歸納法這一抽象的直觀，能使我們超越感官知覺(jué)所達(dá)不到的界限.”[2]一般地，相對(duì)于陌生熟悉是直觀的，相對(duì)于復(fù)雜簡(jiǎn)潔是直觀的，相對(duì)于特殊普遍是直觀的，相對(duì)于衍生本原是直觀的.關(guān)系直觀是指以相對(duì)具體的、熟悉的、普遍的、本原的模式作為背景，引起對(duì)數(shù)學(xué)某種知識(shí)和理論的聯(lián)想、感悟，從而形成對(duì)事物之間邏輯關(guān)系的一種比較直接的、形象的推斷與理解.事物之間的邏輯關(guān)系可分為某個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在結(jié)構(gòu)關(guān)系的分析還原與幾個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)之間相互關(guān)系的同構(gòu)映射.

二是相互關(guān)系直觀.相互關(guān)系直觀是指把問(wèn)題的本質(zhì)結(jié)構(gòu)抽象出來(lái)，映射到一個(gè)同構(gòu)或同態(tài)的結(jié)構(gòu)上去，形成問(wèn)題的直觀理解或求解方法.項(xiàng)武義教授說(shuō)：“我當(dāng)時(shí)提出三個(gè)幾何基本定理：一個(gè)是平行四邊形定理,一個(gè)是勾股定理, 另外一個(gè)是相似三角形的定理, 討論這三個(gè)定理的證明后, 就用它們來(lái)引進(jìn)向量運(yùn)算.基于上述三個(gè)幾何定理, 強(qiáng)調(diào)向量的運(yùn)算律, 特別是分配律就是上述幾何的基本定理的代數(shù)形式.”[8]向量的運(yùn)算及運(yùn)算律是空間本質(zhì)的一種至精至簡(jiǎn)的表達(dá).

關(guān)系直觀通常是采用形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言概括地或近似地表達(dá)出來(lái)的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).

3 直觀想象的教學(xué)思考

F.克萊因的《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》在第二卷的序言中寫(xiě)道，“我想到的是更深入、更廣泛的融合……我始終努力想使算術(shù)、代數(shù)及分析的抽象討論生動(dòng)活潑起來(lái)，利用圖示和作圖使內(nèi)容更容易為個(gè)人所接受.”[4]在教學(xué)上要充分體現(xiàn)代數(shù)與幾何的融合，直觀與抽象的融合，感性與理性的融合，讓學(xué)生真正弄懂?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)的直觀含義和直觀思路.

3.1 圖形直觀——直觀與抽象的融合

圖形直觀可以是數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，形與形的轉(zhuǎn)換，也可以是數(shù)與形之間多層面的交叉表達(dá).

圖6

例2設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b在[-1,1]上存在零點(diǎn)，且存在t∈[2,3]，使得0≤ta+b≤2，求b的取值范圍.如果用代數(shù)方法求解或利用f(x)=x2+ax+b的圖象討論a,b應(yīng)滿足的關(guān)系，問(wèn)題解決都會(huì)很繁難.注意到式子f(x)=x2+ax+b與 0≤ta+b≤2之間的聯(lián)系紐帶是直線y=ax+b，如圖7，函數(shù)f(x)=x2+ax+b在[-1,1]上存在零點(diǎn)可以看成是直線與曲線有交點(diǎn)；存在t∈[2,3]，使得0≤ta+b≤2即表示直線與矩形區(qū)域有交點(diǎn)，這樣借助圖形直觀可以“看”出問(wèn)題的結(jié)果.

圖7

例3(清華大學(xué)自主招生試題)已知x,y,z都是正數(shù)，且滿足(x+y+z)xyz=4，求(x+y)2+2(y+z)2+3(z+x)2的最小值.

圖8

如圖8，在AB上取點(diǎn)D，使得AD∶DB=1∶2，

則a2=BC2=CD2+DB2-2CD·BD·cos∠CDB，

2b2=2CA2=2CD2+2AD2-4CD·AD·cos∠CDA，

圖形直觀可以啟迪思路，但構(gòu)圖有難易，分析有繁簡(jiǎn)，需要合理的選擇與變通.直觀是抽象的基礎(chǔ)，抽象是直觀的延伸，兩者不可分割，在感知事物的形態(tài)與變化過(guò)程中相互伴隨，不斷循環(huán)推進(jìn).

3.2 模型直觀——感性與理性的融合

模型直觀以具體的現(xiàn)實(shí)情境、生活經(jīng)驗(yàn)或符號(hào)圖表等容易理解的具象作為背景，在直觀感知的基礎(chǔ)上形成對(duì)事物關(guān)系的理性認(rèn)識(shí).

從三角運(yùn)算看，

從物理意義看，如圖9，7個(gè)力均勻地分布在單位圓上，那么合力必為零，所以在水平方向上分量之和為0.

圖9

從向量運(yùn)算看，因?yàn)檎噙呅蔚耐饨呛偷扔?60°，所以這7個(gè)向量正好可以首尾連接(如圖10)，那么向量和為0，所以在水平方向上分量之和為0.不同的學(xué)科、數(shù)學(xué)中的不同分支之間的完美統(tǒng)一，讓數(shù)學(xué)知識(shí)有了可視化的直觀.

圖10

3.3 關(guān)系直觀——經(jīng)驗(yàn)與理念的融合

關(guān)系直觀在于事物間相似的迅速聯(lián)想，洞察某種可操作或可實(shí)現(xiàn)的關(guān)系與程序，讓思維對(duì)象呈現(xiàn)出一種能反映事物間的相互關(guān)系、運(yùn)算性質(zhì)的整體結(jié)構(gòu)，或者在某種限定條件下的一個(gè)局部結(jié)構(gòu).借助這些邏輯關(guān)聯(lián)的直觀化與系統(tǒng)化，得以將局部的直觀經(jīng)驗(yàn)上升到系統(tǒng)的抽象理念，從而豐富認(rèn)知深度及廣度.

例6(清華大學(xué)THUSSAT中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力測(cè)試題)已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1，a2+b2+c2=1，求a3+b3+c3的最小值.

分析1：a+b=1-c，a2+b2=1-c2,

圖11

菲爾茲獎(jiǎng)獲得者康奈爾大學(xué)教授威廉瑟斯頓說(shuō)過(guò)，“一旦我看到一些我無(wú)法理解的東西，我會(huì)去反省和思考，用心靈的眼睛去探求，直到某個(gè)時(shí)候，視角奇跡般的發(fā)生了改變，從迷霧和困惑中出現(xiàn)了形狀、秩序與聯(lián)系.”[9]

4 結(jié)束語(yǔ)

圖12