基于“問(wèn)題提出”的數(shù)學(xué)新定義型綜合題教學(xué)*

頓繼安 蔡明艷

(1.北京教育學(xué)院 100044；2.中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)附中 100191)

1 問(wèn)題的提出

培養(yǎng)學(xué)生“發(fā)現(xiàn)與提出問(wèn)題的能力”是我國(guó)當(dāng)前基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)之一，這一目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，需要教師有意識(shí)地設(shè)計(jì)以學(xué)生為主體的問(wèn)題提出活動(dòng)，并通過(guò)有效的指導(dǎo)逐步提高學(xué)生提出問(wèn)題的質(zhì)量.

“問(wèn)題提出”活動(dòng)有兩種主要設(shè)計(jì)方法(陳婷等，2021)[1]：一是學(xué)生基于給定的情境提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，這些情境可能包括文字、數(shù)學(xué)表達(dá)式或圖表；另一種是學(xué)生通過(guò)改變(或改編)已有的數(shù)學(xué)問(wèn)題提出新的問(wèn)題.兩種方法使得問(wèn)題先“從無(wú)到有”再“從有到優(yōu)”，洞悉方法必將有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)與提出問(wèn)題能力的提高.

新定義型綜合題的設(shè)計(jì)體現(xiàn)了“從無(wú)到有”和“從有到優(yōu)”的具體方法.作為“能力立意”的數(shù)學(xué)命題范式下出現(xiàn)的一種代表性的題目，新定義型綜合題近年來(lái)廣泛出現(xiàn)于各地的重要考試中.以北京為例，高考自2004年、中考自2012年起一直以這類題目作為“壓軸題”，其特點(diǎn)是：先定義一個(gè)新概念作為情境，然后以新概念的定義為基本結(jié)構(gòu)、逐漸與學(xué)段其他主干知識(shí)結(jié)合設(shè)計(jì)系列問(wèn)題，題目的解答需要學(xué)生能夠理解新概念，并具有一定的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科能力，以及分析與綜合、自主學(xué)習(xí)、探究等更為普適性的能力.

新定義型綜合題常借助一個(gè)應(yīng)用新概念定義的直接性問(wèn)題實(shí)現(xiàn)“從無(wú)到有”，如辨析某對(duì)象是否符合新概念定義的問(wèn)題，或直接應(yīng)用新概念定義中的規(guī)則計(jì)算、推理的問(wèn)題，從學(xué)習(xí)的視角看，初次面對(duì)一個(gè)抽象的新概念的人總會(huì)試圖通過(guò)具體例子對(duì)新概念進(jìn)行初步理解，這樣的問(wèn)題是實(shí)例問(wèn)題化的產(chǎn)物，其提出容易而自然.其他的問(wèn)題都可以看作是對(duì)直接性問(wèn)題變式而得，根據(jù)是僅改變問(wèn)題的表面形式還是改變了問(wèn)題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，問(wèn)題變式的類型可分為水平變式和垂直變式[2]-[3].水平變式通常會(huì)使用特殊化、反例等策略[4]，得到的新問(wèn)題的解答思路和方法與原問(wèn)題相同，題目的難度不變但有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)新概念的本質(zhì).垂直變式的常用策略有“由定到動(dòng)”和“由正到反”等[5].“由定到動(dòng)”屬于美國(guó)學(xué)者西爾維(Silver,1996)[6]等給出的條件式策略，即將原問(wèn)題條件中的定值或定圖形改為變量或動(dòng)圖形，但西爾維所說(shuō)的條件式有些僅改變?cè)瓎?wèn)題條件的表面形式，得到的問(wèn)題屬于水平變式，而 “由定到動(dòng)”得到的新問(wèn)題必定會(huì)改變?cè)瓎?wèn)題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、增加題目的難度，該詞更加準(zhǔn)確而直接地表達(dá)了問(wèn)題間關(guān)系的特點(diǎn)；“由正到反”與西爾維等提出的對(duì)稱式策略相同，即將原問(wèn)題的已知條件與目標(biāo)互換而得到新問(wèn)題，本研究采用“由正到反”這一含義更為自明的詞匯.

新定義型綜合題提供了從一個(gè)新概念出發(fā)、由淺入深地提出問(wèn)題的方法示范，如果學(xué)生能夠認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，不但有助于其解決這類題目的能力的提升，也有助于其問(wèn)題提出能力的發(fā)展.那么，如何發(fā)揮這類問(wèn)題對(duì)于學(xué)生的問(wèn)題提出能力培養(yǎng)的作用？本文以一道中考新定義型綜合題的教學(xué)為例進(jìn)行探討.

2 選題說(shuō)明

本研究的選題為2018年北京市中考數(shù)學(xué)試卷中的新定義型綜合題(下稱“閉距離試題”),試題如下：

對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形M，N，給出如下定義：P為圖形M上任意一點(diǎn)，Q為圖形N上任意一點(diǎn)，如果P，Q兩點(diǎn)間的距離有最小值，那么稱這個(gè)最小值為圖形M，N間的“閉距離”，記作d(M,N).

已知點(diǎn)A(-2，6)，B(-2，-2)，C(6，-2).

(1)求d(點(diǎn)O，△ABC);

(2)記函數(shù)y=kx(-1≤x≤1，k≠0)的圖象為圖形G.若d(G，△ABC)=1，直接寫(xiě)出k的取值范圍;

(3)⊙T的圓心為T(mén)(t，0)，半徑為1.若d(⊙T，△ABC)=1，直接寫(xiě)出t的取值范圍.

本題滿分8分，當(dāng)年北京全市81725名有效考生的得分率為0.24，三問(wèn)的得分率分別為0.46，0.29和0.15[7]，為最近五年以來(lái)的最低.根據(jù)已有研究，問(wèn)題提出亦可以作為提高學(xué)生問(wèn)題解決能力的教學(xué)策略[8]，也有研究發(fā)現(xiàn)通過(guò)增強(qiáng)學(xué)差生的提問(wèn)意識(shí)可以顯著提高其數(shù)學(xué)成績(jī)[9].新定義型綜合題的解決關(guān)鍵在于對(duì)新概念的理解，當(dāng)學(xué)生基于新概念提出問(wèn)題時(shí)，需要其分析新概念的構(gòu)成要素及其關(guān)系、建立新概念與已有經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)的聯(lián)系，這必將有助于深入理解概念、獲得這樣一道高難度問(wèn)題的解決思路和方法.

“閉距離試題”中的問(wèn)題設(shè)計(jì)方法的代表性，以及“閉距離”這一概念自身的特點(diǎn)為其帶來(lái)的問(wèn)題提出的發(fā)展空間，則是本研究選擇此題作為教學(xué)研究題材的原因.

2.1 問(wèn)題的設(shè)計(jì)特點(diǎn)

問(wèn)題(1)要求兩個(gè)給定圖形的“閉距離”，屬于指向概念理解的直接性問(wèn)題，問(wèn)題(2)和(3)都可以看作是由問(wèn)題(1)綜合利用“由正到反”和“由定到動(dòng)”法得到的垂直變式問(wèn)題，是問(wèn)題(1)通過(guò)兩個(gè)方面的變化而得到的：定點(diǎn)O變?yōu)榱藙?dòng)圖形G；問(wèn)題的條件與目標(biāo)的關(guān)系是相反的，概括地說(shuō)，問(wèn)題(1)是“已知兩個(gè)圖形求閉距離”，問(wèn)題(2)和(3)則是“已知兩個(gè)圖形的閉距離和一個(gè)圖形，求另一個(gè)圖形”，由于問(wèn)題(2)、(3)中的圖形G分別是由變量k決定的動(dòng)線段和t決定的動(dòng)圓，相應(yīng)求圖形G的問(wèn)題就具體化為求k或t的取值范圍.

2.2 問(wèn)題的設(shè)計(jì)的發(fā)展空間

“閉距離試題”中沒(méi)有問(wèn)題(1)的水平變式問(wèn)題，該問(wèn)題的求解在將點(diǎn)O與△ABC的“閉距離”轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)O到三條線段的“閉距離”的最小值后，由于點(diǎn)O與三條線段關(guān)系的屬于比較普遍的情況，因此，可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)O到三條線段的距離，這未能顯示出“閉距離”與距離的不同.對(duì)學(xué)習(xí)者來(lái)說(shuō)，當(dāng)初次接觸一個(gè)與已知概念有緊密關(guān)系的新概念時(shí)，辨析“這個(gè)概念與我熟悉的概念有何聯(lián)系與區(qū)別”是重要的，日常教學(xué)中往往通過(guò)設(shè)計(jì)水平變式問(wèn)題實(shí)現(xiàn)，如將問(wèn)題(1)中的點(diǎn)O變?yōu)辄c(diǎn)P(-3，-3)，求d(P，△ABC)，這個(gè)問(wèn)題與問(wèn)題(1)的解決思路與方法完全相同，但P點(diǎn)到△ABC的三條邊各自的“閉距離”并不都等于點(diǎn)P到三條線段的距離從而有助于學(xué)生形成更豐富的概念表象、促進(jìn)更深刻的理解.

“閉距離”概念自身的特點(diǎn)賦予了其生長(zhǎng)出現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的空間.與許多考試中新定義的概念幾乎沒(méi)有現(xiàn)實(shí)意義和發(fā)展性、純粹是一個(gè)為考試而專門(mén)創(chuàng)造的不同的是，“閉距離”的定義基本上與高等數(shù)學(xué)中兩個(gè)圖形間的距離定義相同(出于嚴(yán)謹(jǐn)性的需要，中學(xué)數(shù)學(xué)無(wú)法定義任意兩個(gè)圖形間的距離，如對(duì)于一個(gè)開(kāi)線段與圓間的距離需要用到的極限知識(shí)而中學(xué)數(shù)學(xué)未學(xué))，也具有現(xiàn)實(shí)意義，生活中物體的距離實(shí)質(zhì)上就是兩個(gè)物體所抽象出的圖形間的“閉距離”，因此，盡管從考試的角度看，中考新定義型綜合題從未出現(xiàn)過(guò)有現(xiàn)實(shí)情境的問(wèn)題，但從教學(xué)的角度看，“閉距離”概念為學(xué)生提出有現(xiàn)實(shí)背景的問(wèn)題提供了空間，有助于培養(yǎng)學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)概念現(xiàn)實(shí)化的意識(shí).

3 基于問(wèn)題提出能力培養(yǎng)的“閉距離試題”教學(xué)實(shí)踐

基于問(wèn)題提出的新定義型綜合題的教學(xué)需要整體設(shè)計(jì)，一些題目直接給出問(wèn)題后引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注問(wèn)題的特點(diǎn)，還需要選擇一些題材為學(xué)生提供基于新概念提出問(wèn)題的機(jī)會(huì).“閉距離試題”的教學(xué)實(shí)踐采用了后一種思路.

為了更充分地了解學(xué)生以便更好地組織交流，教師課前通過(guò)學(xué)案布置了問(wèn)題提出活動(dòng)：

根據(jù)下面給出的“閉距離”的定義，設(shè)計(jì)1-2個(gè)問(wèn)題，并作出解答.

(定義如上，這里略)

全班共28位同學(xué)，設(shè)計(jì)的56個(gè)題目中，有5個(gè)屬于“求兩個(gè)定圖形的閉距離”的源問(wèn)題，4個(gè)單純使用由正到反策略的垂直變式問(wèn)題，單純使用由定到動(dòng)策略設(shè)計(jì)的垂直變式問(wèn)題30個(gè)，綜合使用由兩種策略設(shè)計(jì)的垂直變式問(wèn)題17個(gè)，下表列出了各類題目的數(shù)量及代表性案例：

問(wèn)題類型問(wèn)題數(shù)量示例直接性問(wèn)題5已知M為x軸上一點(diǎn),坐標(biāo)為(3,0),N為圓心在原點(diǎn)、半徑為1的圓,求d(M,N).由正到反式4已知一次函數(shù)y=x+b與半徑為1的圓O的“閉距離“為1,求b值.由定到動(dòng)式30一次函數(shù)y=kx+2與y軸交于點(diǎn)D,△ABC中,A(0,1),B(-1,0),C(1,0),求d(D,△ABC)的最小值.綜合式17已知點(diǎn)E(a,4)、F(a+2,3),作以O(shè)為圓心,半徑為2的圓.當(dāng)d(EF,圓O)≤3時(shí),求a的取值范圍.

調(diào)研表明，學(xué)生能夠利用新的概念自主設(shè)計(jì)問(wèn)題，將新概念與圓、一次函數(shù)等建立聯(lián)系.課堂中主要通過(guò)三個(gè)活動(dòng)推進(jìn)：?jiǎn)栴}提出的展示交流，問(wèn)題的結(jié)構(gòu)化整理，中考原題的特點(diǎn)分析.下面報(bào)告課堂的主要過(guò)程.

3.1 問(wèn)題提出的展示交流

這一活動(dòng)的主要任務(wù)是請(qǐng)一些學(xué)生介紹自己設(shè)計(jì)的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目的結(jié)構(gòu)和設(shè)計(jì)思路進(jìn)行深入交流.

首先展示的兩個(gè)直接性問(wèn)題，即直接求兩個(gè)圖形的“閉距離”的問(wèn)題：

問(wèn)題1(生1)：以O(shè)為圓心，半徑為2做一個(gè)圓.再做一條直線.已知這條直線過(guò)(4，0)、(0，4)兩個(gè)點(diǎn).求這條直線與⊙O的閉距離.

圖1

生2還介紹了自己的想法：“為了計(jì)算方便而選了一個(gè)比較特殊的直線，能保證Rt△OAB中，∠OAB是30°”，并強(qiáng)調(diào)“這個(gè)題目和生1題目的本質(zhì)是一樣的，都是已知特殊直線和圓，求它們的閉距離”.

在簡(jiǎn)要探討了解題思路后，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注兩個(gè)題目的共性：這兩個(gè)求具體圖形的“閉距離”，解法都是直接應(yīng)用定義進(jìn)行求解，根據(jù)學(xué)過(guò)的知識(shí)，求直線與圓之間的“閉距離”問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題.

生3說(shuō)自己的問(wèn)題“也是一個(gè)與圓和直線有關(guān)的問(wèn)題，不過(guò)好像跟剛才兩個(gè)題目有點(diǎn)不一樣”：

問(wèn)題3：(如圖2)已知點(diǎn)E(a，4)、F(a+2，3)，作以O(shè)為圓心，半徑為2的圓.當(dāng)d(EF，圓O)≤3時(shí)，求a的取值范圍.

圖2

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察這個(gè)問(wèn)題與剛才題目的不同之處，并發(fā)起了一段關(guān)于題目的設(shè)計(jì)思路的對(duì)話.

學(xué)生(七嘴八舌):這個(gè)是線段，而且讓線段動(dòng)起來(lái)了.

師：生3說(shuō)一下自己是怎么想到這樣設(shè)計(jì)題目的呢？

生3：我剛開(kāi)始編了一個(gè)直接用定義的題目，也是求直線到圓的閉距離.然后覺(jué)得太簡(jiǎn)單了，就想到能不能讓圖形動(dòng)起來(lái)呢？然后就編了2個(gè)動(dòng)態(tài)的問(wèn)題，一個(gè)是直線動(dòng)，一個(gè)是圓動(dòng).這個(gè)題目是直線動(dòng)的題目.

師：怎么個(gè)動(dòng)法？

生3：大家結(jié)合圖形看(圖2)：E、F都在與x軸平行的直線上運(yùn)動(dòng)，而且線段EF做平移運(yùn)動(dòng).

師：這個(gè)題目編得很漂亮！非常巧妙地通過(guò)讓E和F動(dòng)起來(lái)而讓線段EF動(dòng)起來(lái)，而且還不是隨意動(dòng)，而是讓E和F都有條件地動(dòng)：線段EF做平移運(yùn)動(dòng).

之后，教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注這個(gè)明顯變得復(fù)雜了的題目的解答思路，大家認(rèn)識(shí)到：這個(gè)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)跟前兩個(gè)問(wèn)題是相反的，前兩個(gè)是已知圖形求閉距離，這個(gè)相當(dāng)于是已知線段EF和⊙O的閉距離值為3，求線段EF，也就是求a的值.也認(rèn)識(shí)到解決這一反過(guò)來(lái)的問(wèn)題需要“化反為正”,關(guān)鍵還是要知道怎么求圓到線段的閉距離，然后確定a的值.

問(wèn)題3除了問(wèn)題結(jié)構(gòu)變得復(fù)雜外，與前兩個(gè)問(wèn)題中要求的直線到圓的“閉距離”就是圓心到直線的距離不同的是，這里要求的線段到圓的“閉距離”的求法并非都是圓心到線段的距離，而是取決于圓心與線段的關(guān)系，也就是說(shuō)求“閉距離”的細(xì)節(jié)也復(fù)雜了，教學(xué)中教師有意識(shí)地放慢了節(jié)奏，讓學(xué)生既關(guān)注基于新概念的問(wèn)題的整體的解決思路，又認(rèn)識(shí)到新概念中的細(xì)節(jié)的重要性.

3.2 問(wèn)題的結(jié)構(gòu)化整理

三個(gè)問(wèn)題展示后，教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注它們的關(guān)系.

師：我們?cè)倏匆幌律?的這個(gè)題目，它兼具“由定到動(dòng)”和“由正到反”兩個(gè)特點(diǎn)，通過(guò)與前面兩位同學(xué)的問(wèn)題比較可以看到：可以從“閉距離”的概念出發(fā)提出非常直接的“求兩個(gè)圖形的閉距離”問(wèn)題，還可以利用“由正到反”和“由定到動(dòng)”兩種基本方法提出問(wèn)題，也可以將兩種方法結(jié)合起來(lái)，設(shè)計(jì)更為綜合、復(fù)雜的問(wèn)題.

圖3

之后，請(qǐng)學(xué)生用這一結(jié)構(gòu)對(duì)自己課前設(shè)計(jì)的問(wèn)題進(jìn)行分析，學(xué)生們發(fā)現(xiàn)自己所設(shè)計(jì)的題目都可以歸到直接問(wèn)題、由正到反、由定到動(dòng)、綜合法等類別中.

3.3 以結(jié)構(gòu)的觀點(diǎn)觀察和分析中考原題

中考題目屬于專家精心設(shè)計(jì)的作品，既有考查學(xué)生學(xué)習(xí)的作用，也體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生的學(xué)和教師的教的引導(dǎo).中考原題也是學(xué)生最為關(guān)心和感興趣，所以，在教學(xué)的最后階段，教師出示2018年的中考原題中的三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)學(xué)生對(duì)其中問(wèn)題的特點(diǎn)進(jìn)行分析并與自己設(shè)計(jì)的問(wèn)題比較.

學(xué)生很快就看出了其中的奧秘，指出了其中的問(wèn)題(1)是直接問(wèn)題、問(wèn)題(2)和問(wèn)題(3)都是綜合利用“由正到反”和“由定到動(dòng)”兩種方法“變”出來(lái)的.教師在點(diǎn)評(píng)學(xué)生“看穿了中考題的設(shè)計(jì)思路”后，請(qǐng)學(xué)生思考“這里的問(wèn)題(1)設(shè)計(jì)得怎樣?”課堂安靜了一會(huì)兒之后，漸漸學(xué)生開(kāi)始表達(dá)自己的發(fā)現(xiàn)：

生6：這道題是讓求點(diǎn)到三角形的距離，實(shí)際上就是求點(diǎn)到線段的閉距離.剛才我們討論生3的題目時(shí)知道點(diǎn)到線段的閉距離的求法特殊，所以我覺(jué)得這道題出得好.

生7：我覺(jué)得這道題把“閉距離”與平時(shí)的距離概念的不同之處考出來(lái)了，這一點(diǎn)我沒(méi)體現(xiàn)，我出的題是求直線與圓的“閉距離”，就是平時(shí)的距離，所以很好求，點(diǎn)到直線的距離也是這樣，也好求，但點(diǎn)到線段的距離就不同了，需要分類討論.

師：非常好！這道題讓大家關(guān)注到了“閉距離”這一新概念與自己熟悉的距離概念之間的聯(lián)系與區(qū)別，對(duì)于理解新概念有好處，可以看作是命題者對(duì)考生的一個(gè)善意提醒，還可以把它看作是對(duì)我們學(xué)習(xí)一個(gè)新概念的方法的提示.相信對(duì)“閉距離”概念的理解對(duì)于解決問(wèn)題(2)和(3)這樣“由正到反”和“由定到動(dòng)”的結(jié)合起來(lái)的問(wèn)題也是有好處的，實(shí)際上，解決這樣問(wèn)題，需要“化動(dòng)為定”,其中的關(guān)鍵是抓邊界，“化反為正”仍然利用兩個(gè)圖形的閉距離的求法建立等量關(guān)系或者方程，歸根結(jié)底就是要理解“閉距離”概念，知道如何求兩個(gè)圖形的閉距離.今天作業(yè)大家通過(guò)解答這道題體會(huì)一下.

單純從解答的角度看，問(wèn)題(1)要求的點(diǎn)到線段的“閉距離”與點(diǎn)到線段的距離是一樣的.然而，從概念理解的角度，結(jié)合具體例子認(rèn)識(shí)新概念與原有類似概念的不同之處是重要的，從問(wèn)題提出的角度看，從“兩個(gè)圖形的‘閉距離’就是平常說(shuō)的距離嗎？”這樣的疑問(wèn)出發(fā)選擇圖形，使它們的“閉距離”與平常說(shuō)的距離不同會(huì)使得問(wèn)題變得豐富和有特色.

4 研究反思與啟示

4.1 教學(xué)效果

問(wèn)題提出活動(dòng)能夠提高不同學(xué)生的學(xué)習(xí)參與度[10]，本研究也證實(shí)了這一點(diǎn).學(xué)生的參與度的提高表現(xiàn)在課前自主設(shè)計(jì)問(wèn)題、課上的問(wèn)題特征與解決方法的討論以及問(wèn)題結(jié)構(gòu)化的全過(guò)程中，教學(xué)明顯促進(jìn)了學(xué)生對(duì)提出問(wèn)題的方法的認(rèn)識(shí)，也促進(jìn)了學(xué)生整體理解新定義型綜合題的結(jié)構(gòu)和提高解決這類問(wèn)題的能力.

課后通過(guò)開(kāi)放性問(wèn)卷調(diào)研揭示了學(xué)生的具體收獲.80.8%的學(xué)生表示自己“了解了新定義型綜合問(wèn)題的命題思路”，一些學(xué)生表示自己認(rèn)識(shí)到了更為豐富的提出問(wèn)題的方法：“可以將一道新定義綜合題大致分為3個(gè)部分：概念引入；概念正用；概念逆用，通常需要?jiǎng)討B(tài)角度分析，多角度分析等等”、“我自己設(shè)計(jì)的問(wèn)題都是求靜態(tài)圖象的閉距離問(wèn)題，通過(guò)這節(jié)課，我以后可以像課堂上提出問(wèn)題的同學(xué)一樣，化靜為動(dòng)，那樣就可以使題目更加靈活”.全體學(xué)生都表示增強(qiáng)了解決新定義型綜合問(wèn)題的信心，代表性的體會(huì)有：“我學(xué)會(huì)了站在出題者的角度看問(wèn)題，不僅視野全面，而且對(duì)定義的理解也更加深刻”、“拿到一個(gè)完全陌生的定義，不那么害怕了，可以通過(guò)問(wèn)題認(rèn)真理解這個(gè)定義本身”、“我充分認(rèn)識(shí)到理解定義的重要性，同時(shí)也要擁有不放棄的精神，抓住題目的共同點(diǎn)，從不變量入手，將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單題”.

教學(xué)效果在延遲性評(píng)價(jià)中有著更為突出的表現(xiàn).往屆許多學(xué)生往往對(duì)作為壓軸題的新定義型綜合題畏難，而參與本研究的學(xué)生在隨后的學(xué)習(xí)中則表現(xiàn)出極高的熱情、信心和能力，更多的學(xué)生敢于嘗試解決、經(jīng)常主動(dòng)尋求教師對(duì)其中的一些難題的指導(dǎo)，一些學(xué)生還與教師探討題目的設(shè)計(jì)特點(diǎn).

4.2 進(jìn)一步的研究

目前考試中的數(shù)學(xué)新定義型綜合題中的新概念，都未交待其現(xiàn)實(shí)或數(shù)學(xué)背景，試題也未見(jiàn)與現(xiàn)實(shí)建立聯(lián)系的情形，這與學(xué)校數(shù)學(xué)中基礎(chǔ)知識(shí)的產(chǎn)生與應(yīng)用過(guò)程不同.基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)要考慮學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題能力的培養(yǎng)，在問(wèn)題提出活動(dòng)中亦要引導(dǎo)學(xué)生提出有現(xiàn)實(shí)背景的問(wèn)題，豐富學(xué)生“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界”的培養(yǎng)途徑.

本研究作了初步探索.在后續(xù)教學(xué)中教師引導(dǎo)學(xué)生思考“閉距離”的現(xiàn)實(shí)意義并提出有現(xiàn)實(shí)背景問(wèn)題，一組學(xué)生提出了一個(gè)居民區(qū)附近的高鐵修建問(wèn)題：

如圖4所示，一個(gè)居民小區(qū)成矩形，四周圍墻分別是東西和南北走向，在小區(qū)西側(cè)100米有一條南北走向的東府大道，小區(qū)南側(cè)有一條東西走向的小路，東府大道與小路的交匯處記為O，O點(diǎn)到小區(qū)的“閉距離”為200米.根據(jù)規(guī)劃，有一條高鐵線路經(jīng)過(guò)小區(qū)的西南側(cè)，高鐵線路為北偏西60°的直線.若高鐵噪音影響的范圍為500米，請(qǐng)問(wèn)高鐵應(yīng)修在何處才能保證小區(qū)居民不受噪音的困擾?

圖4

兩個(gè)劃線處是學(xué)生在教師的指導(dǎo)下修改而成的：前者原表述為“小區(qū)拐角P到點(diǎn)O的距離為200米”，后者原表述為“高鐵線路與東府大道的交匯處A與O之間的距離至少是多少”，兩處修改都未改變情境和問(wèn)題的本質(zhì)，但是“閉距離”一詞的使用使得敘述更為自然流暢、問(wèn)題更顯真實(shí)和有意義，也更清晰地揭示了“閉距離”概念的現(xiàn)實(shí)意義.這一問(wèn)題的提出和完善推動(dòng)了學(xué)生看到一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)概念的實(shí)際意義并用簡(jiǎn)潔準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)，有益于發(fā)展其數(shù)學(xué)化能力即“在數(shù)學(xué)世界和現(xiàn)實(shí)世界之間轉(zhuǎn)化的能力”[11].

日常教學(xué)中教師都會(huì)設(shè)計(jì)變式題組以促進(jìn)學(xué)生理解和應(yīng)用新知，這樣的活動(dòng)也可探索通過(guò)組織學(xué)生以新知為情境提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的方式進(jìn)行，通過(guò)持續(xù)的實(shí)踐和指導(dǎo)學(xué)生提出的問(wèn)題的質(zhì)量會(huì)提高，問(wèn)題解決的能力也會(huì)同步發(fā)展.