以形轉思，用數(shù)學的眼光剖析數(shù)學問題
——以“倍的認識”單元教學為例

□陳 芳

“數(shù)學的眼光”可以看作是一個過程，一個先在真實的問題情境中“剝離”或“去掉”無關元素，再在剩下的有意義的數(shù)學元素間建立“聯(lián)系”形成某種數(shù)量關系或空間形式的過程。要提升“數(shù)學的眼光”，學生需要有豐富的、聚焦于“數(shù)量關系和空間形式”的、在現(xiàn)實與數(shù)學之間進行思維切換的經(jīng)歷。

“形”具有形象、直觀的特點，借助“形”理解“數(shù)”，理解“數(shù)量關系”，是學生學習數(shù)學的一種重要方法，這種方法在問題解決的過程中起著舉足輕重的作用。引導學生依靠“形”的可視性、簡明性、結構性，把現(xiàn)實世界中事物的數(shù)量和數(shù)量關系、圖形和圖形關系抽象為數(shù)學元素，就是在培養(yǎng)學生用數(shù)學的眼光剖析數(shù)學問題。

借助“形”開展教學符合小學生形象思維占主導地位的特點。讓學生經(jīng)歷視覺表征抽象化的過程，符合小學生由具體形象思維到抽象邏輯思維的思維發(fā)展規(guī)律。同時，“形”更能幫助學生“看到”知識的結構，符合小學生高階思維和創(chuàng)新思維發(fā)展的需求。

下面以人教版教材三年級上冊“倍的認識”單元教學為例，探索借“形”輔“思”，培育學生“數(shù)學眼光”的有效路徑。

一、教學實踐與思考

（一）梳理教材，逐級抽象

研讀教材不難發(fā)現(xiàn)，在“倍的認識”單元中，“形”的呈現(xiàn)樣式豐富。教材先后呈現(xiàn)了實物圖、形象圖、線段圖，呈現(xiàn)方式逐級進階，讓學生借助“形”的變化，經(jīng)歷從現(xiàn)實逐步抽象為數(shù)學的完整過程。

該單元共編排了3個例題。例1認識倍，例2解決“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”的問題，例3解決“求一個數(shù)的幾倍是多少”的問題。所用的圖形素材如圖1。

圖1

例1用生動形象的蘿卜圖引入教學。通過對蘿卜的分類計數(shù)、圈圖比較，把抽象的新知識“倍”與學生已經(jīng)掌握的“幾個幾”建立聯(lián)系，引導學生初步建立“倍”的概念。

例2呈現(xiàn)的是離散型的小人圖。教材用趨于線段化排列的小人及下面的一條弧線，幫助學生逐步剝離真實情境，為學生發(fā)現(xiàn)“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”的數(shù)量關系搭建腳手架。

例3直接采用了線段圖呈現(xiàn)方式。這是教材中第一次出現(xiàn)線段圖，意在借助線段圖讓學生直觀地發(fā)現(xiàn)“求一個數(shù)的幾倍是多少”中隱含的數(shù)量關系。

教學中，教師要引導學生借助這些看得見的圖，逐步從真實情境中抽象出相關的數(shù)學元素，讓學生經(jīng)歷從具體到抽象的進階，培育學生的數(shù)學眼光。

（二）自主表征，分析關系

每個學生的認知水平和領悟能力不同，因此他們有著不同的知識經(jīng)驗基礎和思考習慣。在面對同樣一個問題時，不同的學生常常會有不同的表征方式。

在教學“求一個數(shù)的幾倍是多少”時，可以讓學生嘗試用圖來表達自己對題目的理解。教師通過組織學生對各種圖示進行討論、分析、比較和優(yōu)化，引領學生一步一步去掉問題情境中所有的“真實”，留下有意義的數(shù)學元素，通過建立這些元素之間的聯(lián)系來分析數(shù)量關系。

【教學片段1】求一個數(shù)的幾倍是多少

1.教師出示教材情境圖，提出問題：從圖中你得到了哪些數(shù)學信息？要解決什么問題？

學生讀圖后獲取題意：軍棋的價錢是8元，象棋的價錢是軍棋的4倍。象棋的價錢是多少元？

2.教師請學生用自己喜歡的方法表征題意。學生嘗試表征。之后教師呈現(xiàn)學生作品（如圖2）。

圖2

3.互動交流。

（1）交流各自畫的圖是否正確表征了題意。

（2）比較實物圖、符號圖和線段圖，溝通各種表征方法之間的不同點和相同點。

（3）引導學生理解數(shù)量關系：把軍棋的價錢8元看作一份，象棋的價錢就是這樣的4份，也就是4個8元，可以用乘法計算。

從點子圖到符號圖再到線段圖，學生思維的數(shù)學化程度越來越高。他們在比較中逐步感受到線段圖比實物圖和符號圖的抽象程度更高，概括度更大。如一條線段可以表示任何的實物，可以表示8元錢、8只乒乓球、8個人……一條線段也可以表示任意的數(shù)量，可以表示8元、800元、8000元……但無論用一條線段表示什么，表示多少，只要用它表示“1份”，用另一條線段表示“幾份”，那么這兩條線段之間的數(shù)量關系就是1和幾之間的倍數(shù)關系。知道1份求幾份就是求一個數(shù)的幾倍是多少，也就是幾個幾是多少，用乘法計算。

經(jīng)歷多元的自主表征過程，有助于學生深入理解線段圖的作用，在今后解決問題時能主動想到用線段圖幫助理解題意，分析數(shù)量關系。借助“形”輔助“思”，學生的感知從模糊慢慢走向清晰，這一過程也就是培育數(shù)學眼光的過程。

（三）變式關聯(lián)，建構模型

模型是一種表達形式，數(shù)學模型是對數(shù)學內(nèi)容的高度抽象和概括，是對事物本質簡練的表達。要建立倍的數(shù)學模型，需要學生不斷地借助“形”的變式刻畫數(shù)量關系，打通數(shù)學思維的通道。

【教學片段2】求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍

1.教師出示無數(shù)據(jù)有實物的線段圖（如圖3）。先引導學生獨立思考后交流：“你是怎么想的？”然后結合圖概括出：將“黃花”看作標準量，2朵為一份，求紅花朵數(shù)是黃花的幾倍，就是求“6朵里面有幾個2朵”，用除法計算。

圖3

2.教師呈現(xiàn)題目：將圖3中的的紅花圖隱去變?yōu)閿?shù)據(jù)“12朵”，問題不變（如圖4）。依舊引導學生獨立思考后交流：你是怎么想的？請學生概括出：將“黃花”看作標準量，2朵為1份，現(xiàn)在求的是“12里面有幾個2”，還是用除法計算。

圖4

3.教師將實物全部隱去，變?yōu)閳D5。引導學生體會，現(xiàn)在圖示表示的依舊是“求一個數(shù)里面有幾個幾”，仍然用除法計算。

圖5

4.教師引導學生思考并交流“你發(fā)現(xiàn)了什么”，進而得出：不管標準量和比較量怎么變，求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍，就是“求一個數(shù)里面有幾個幾”，用除法計算。

在以上教學過程中，學生通過“變式”判斷標準量，加深了對倍的認識，從除法角度建構了倍的概念。在動態(tài)演示改變“標準量”或“比較量”的過程中，學生可以看到圖形某些部分發(fā)生的變化，從而更好地理解“一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”中，這個表示“率”的“幾”發(fā)生變化，“倍”也隨之改變。

【教學片段3】求一個數(shù)的幾倍是多少

1.教師出示圖6，請學生編一個數(shù)學問題。

圖6

教師追問：“你怎么知道草莓的個數(shù)是蘋果的3倍？”引導學生清晰地表達：以表示蘋果的這條線段為1份，這樣有3段就是3份。讓學生了解這是一個隱藏信息。

2.學生列式：3×8=24（個）。教師引導交流：“你是怎么想的？”讓學生認識到求草莓的個數(shù)，就是求3個8是多少。

3.教師繼續(xù)呈現(xiàn)題目：如果上面這條線段表示10個或者100個蘋果，你還會求草莓的個數(shù)嗎（如圖7）？通過交流讓學生進一步體會求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍，就是求幾個幾是多少。線段圖表示的關系，符合乘法的意義。

圖7

在教學“一個數(shù)的幾倍是多少”時，教師通過詢問“為什么求草莓的個數(shù)都是用乘法解決”，幫助學生從“形”中提取數(shù)學信息“3份”，進而明確題目表達的就是求一個數(shù)的3倍是多少。通過溝通乘法的意義，深入理解“求一個數(shù)的幾倍”就是“求幾個幾是多少”。借助“形”的變式和題組對比練習，可以幫助學生理解數(shù)量關系，構建數(shù)學模型。

在建模的過程中，學生不斷打破固有思維，發(fā)展創(chuàng)新思維，數(shù)學的眼光得到了培育。

二、教學感悟與剖析

“數(shù)學眼光”是一種素養(yǎng)，是數(shù)學教學中應追求的育人方向。

（一）借助“形”的可視性，引導學生用直觀化的數(shù)學眼光感知世界

在“倍的認識”教學中，教師充分發(fā)揮了圖示的作用。從實物圖到形象圖再到線段圖，學生在圖示的幫助下，經(jīng)歷了從形象到抽象的思維轉換過程。取得了較好的教學效果。

其實，教材在正式呈現(xiàn)線段圖前，已經(jīng)呈現(xiàn)過豐富的線段圖的“雛形”。如二年級上冊“求比一個數(shù)多幾的數(shù)是多少”中的長方條圖，二年級下冊“混合運算解決問題”中的色條圖，等等。教材展示的是一個從實物到圖形，逐步抽象、螺旋上升的過程，學生的思維也隨之從形象到抽象不斷進階。教材在呈現(xiàn)線段圖以后，依舊沒有大量使用，而是交替使用實物圖（碗圖）、線段圖、離散型的符號圖等多種圖形進行表征，給學生呈現(xiàn)一個抽象延時化的過程。經(jīng)歷這個過程，學生能更直觀地感知數(shù)學問題，從而真正感悟到其中蘊含的數(shù)學知識本質。不同圖示交替出現(xiàn)一段時間后，教材才逐步過渡到在解決問題中用線段圖來分析數(shù)量關系。

這提示我們，借助“形”的可視性，能幫助學生去掉無關信息，化繁為簡，用直觀化的數(shù)學眼光去感知世界。但教學不能急于求成，學生的數(shù)學眼光是在一次一次經(jīng)歷中逐步發(fā)展的。

（二）借助“形”的簡明性，啟發(fā)學生用抽象化的數(shù)學眼光理解世界

在問題解決的過程中，不同思維層次學生的表征是不一樣的。波利亞在“怎樣解題表”中提出很多類似“畫張圖”“引入適當?shù)姆枴薄澳隳懿荒苤匦聰⑹鲞@個問題”“你能不能用不同的方法重新敘述它”這樣的要求。將一個真實、復雜、模糊的數(shù)學問題轉譯成各種圖形，可以幫助學生直觀感知問題，透析關系實質，對比疑難問題，并在這一過程中積累一定的數(shù)學基本活動經(jīng)驗。

借助“形”的簡明性，能幫助學生認識事物的屬性及聯(lián)系，探尋事物的本質及規(guī)律，學習用抽象化的數(shù)學眼光理解世界。

（三）借助“形”的結構性，培育學生用模型化的數(shù)學眼光洞察世界

線段圖以其“形”的結構性輔助學生進行直觀理解、直觀想象、直觀推理和直觀分析。在建模的過程中，學生的數(shù)學思維得到了進階式的提升與鍛煉。借助“形”的結構性，可以幫助學生用“模型化”的數(shù)學眼光洞察世界。

實踐表明，以形轉思、以形促思，是讓學生學會用數(shù)學的眼光剖析數(shù)學問題，促進其數(shù)學核心素養(yǎng)提升的有效手段。