基于思維水平促進(jìn)學(xué)生空間觀念發(fā)展的數(shù)學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)

□陳春芳

通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教學(xué)的核心目標(biāo)之一。義務(wù)教育階段，學(xué)生在“圖形與幾何”領(lǐng)域?qū)W習(xí)的主要內(nèi)容是直觀幾何。教師需要通過(guò)設(shè)計(jì)一系列活動(dòng)幫助學(xué)生積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，建立空間觀念。

教師在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)時(shí)不僅要充分利用學(xué)生已有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，還要考慮學(xué)生幾何學(xué)習(xí)的思維特點(diǎn)。20世紀(jì)50年代，荷蘭學(xué)者范希爾夫婦把幾何思維劃分為5個(gè)水平：直觀水平、分析水平、非形式化的演繹水平、形式化的演繹水平和嚴(yán)密性水平。這一幾何思維發(fā)展理論認(rèn)為，幾何學(xué)習(xí)不是一個(gè)連續(xù)的過(guò)程，而是跳躍的分階段的過(guò)程，上述5個(gè)思維水平之間存在次序性。為了幫助學(xué)生從一個(gè)水平過(guò)渡到下一個(gè)水平，數(shù)學(xué)活動(dòng)扮演著極其重要的角色。在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)時(shí)教師要特別關(guān)注學(xué)生的幾何思維水平是怎樣的，學(xué)生的認(rèn)知困難在哪里，在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律和思維水平的數(shù)學(xué)活動(dòng)，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

一、設(shè)計(jì)實(shí)物與圖形相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)活動(dòng)

在對(duì)“空間觀念”進(jìn)行描述時(shí)，“想象”一詞非常重要。心理學(xué)把人對(duì)頭腦中已有表象進(jìn)行改造，創(chuàng)造出新形象的過(guò)程稱作想象。沒(méi)有想象，很難對(duì)現(xiàn)實(shí)世界進(jìn)行了解與把握，很難做到發(fā)明與創(chuàng)造，因此發(fā)展學(xué)生的空間觀念要重視對(duì)想象能力的培養(yǎng)。教學(xué)中，教師要注重在實(shí)物與圖形之間搭建橋梁，設(shè)計(jì)物與形聯(lián)系的數(shù)學(xué)活動(dòng)，在想象中培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。

（一）在從實(shí)物到圖形的抽象活動(dòng)中培養(yǎng)空間觀念

經(jīng)歷從實(shí)物中抽象出幾何圖形的過(guò)程，是學(xué)生發(fā)展空間觀念的第一步。如在教學(xué)“長(zhǎng)方體和正方體的認(rèn)識(shí)”時(shí)，教師請(qǐng)學(xué)生在課前收集了很多外形是長(zhǎng)方體或正方體的物品，包括茶葉盒、香皂盒、禮品盒等，課堂上教師通過(guò)動(dòng)畫(huà)演示將包裝盒的顏色、裝飾等去除，引導(dǎo)學(xué)生充分關(guān)注物品的形狀、大小，幫助學(xué)生將自己展示的物品抽象成與之對(duì)應(yīng)的立體圖形。在這一過(guò)程中，學(xué)生的思維逐漸由實(shí)物直觀過(guò)渡到圖形直觀，最終發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方體圖形的本質(zhì)屬性，發(fā)展了空間觀念。

（二）在借助圖形推想實(shí)物的活動(dòng)中培養(yǎng)空間觀念

學(xué)生的幾何思維在圖形直觀的基礎(chǔ)上進(jìn)一步發(fā)展，將達(dá)到想象直觀水平。教學(xué)中，教師要設(shè)計(jì)能幫助學(xué)生借助想象發(fā)展空間觀念的活動(dòng)。如呈現(xiàn)立體圖形的三視圖及相關(guān)的數(shù)據(jù)（如圖1），請(qǐng)學(xué)生借助信息想象圖形，并猜測(cè)可能是什么物體。

圖1

在猜測(cè)過(guò)程中，學(xué)生根據(jù)空間知覺(jué)得到初步判斷：長(zhǎng)10米的物體，肯定不是家用冰箱。那么，長(zhǎng)10米的物體可能是什么？首先，學(xué)生想到測(cè)量教室的大小，教室的長(zhǎng)大約是8米，寬大約是6米，高大約是3米。其次，借助教室的表象，再次想象三視圖中所描述的物體的大小，發(fā)現(xiàn)其長(zhǎng)與教室的長(zhǎng)差不多，寬比教室的一半還小，高和教室的高度相差不大。從而想象出三視圖所描述圖形的原型，可能是公共汽車。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生由開(kāi)始的空間知覺(jué)，到借助教室大小形成空間表象，最后在與教室大小的比較中想象出三視圖描述的物體的大小，即形成空間觀念。這一從知覺(jué)到表象再到合理想象的遞進(jìn)發(fā)展過(guò)程，培養(yǎng)了學(xué)生的空間觀念。

二、設(shè)計(jì)操作與想象相互結(jié)合的數(shù)學(xué)活動(dòng)

小學(xué)生形成、發(fā)展空間觀念主要依靠“視”與“觸”。在整個(gè)小學(xué)階段，觸覺(jué)、運(yùn)動(dòng)覺(jué)與視覺(jué)的協(xié)同活動(dòng)，始終是學(xué)生獲得空間觀念的有力支撐。

（一）基于學(xué)情，在分類活動(dòng)中建立對(duì)幾何概念的直觀理解

借助分類活動(dòng)辨析圖形特征，是學(xué)生發(fā)展空間觀念的有效方式之一。如在教學(xué)“平行四邊形的認(rèn)識(shí)”時(shí)，教師設(shè)計(jì)了讓學(xué)生將圖形進(jìn)行分類的活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生在觀察對(duì)比的過(guò)程中感悟平行四邊形、梯形等圖形之間的關(guān)系。在分類對(duì)比活動(dòng)中，學(xué)生逐步借助直觀發(fā)現(xiàn)了平行四邊形區(qū)別于其他圖形的本質(zhì)特征，加深了對(duì)平行四邊形的認(rèn)識(shí)。

（二）把握核心，在開(kāi)放性活動(dòng)中抽象出立體圖形的本質(zhì)特征

開(kāi)放性活動(dòng)有助于學(xué)生更好地把握?qǐng)D形的核心要素，抓住圖形的本質(zhì)特征。仍以“長(zhǎng)方體和正方體的認(rèn)識(shí)”教學(xué)為例，長(zhǎng)方體是學(xué)生從抽象的角度認(rèn)識(shí)的第一個(gè)三維圖形，學(xué)生要由對(duì)二維圖形特征的認(rèn)識(shí)過(guò)渡到對(duì)三維圖形特征的認(rèn)識(shí)。隨著圖形維度的增加，學(xué)生對(duì)圖形特征的探索從長(zhǎng)、寬拓展到長(zhǎng)、寬、高以及面，并且在頭腦中逐步建立起對(duì)立體圖形各要素之間關(guān)系的理解。

教學(xué)時(shí)，教師為每個(gè)小組提供了不同規(guī)格的學(xué)具，請(qǐng)學(xué)生嘗試選擇學(xué)具拼搭長(zhǎng)方體。學(xué)生需要根據(jù)各學(xué)具袋中給出的小棒長(zhǎng)度和數(shù)量（如表1），先想象所拼成的長(zhǎng)方體的樣子，再動(dòng)手操作拼搭長(zhǎng)方體。

表1“拼搭長(zhǎng)方體”學(xué)具袋材料說(shuō)明

從如下課堂教學(xué)片段中可以發(fā)現(xiàn)，在拼搭的過(guò)程中，學(xué)生需要觀察學(xué)具袋中每類小棒的長(zhǎng)短和數(shù)量，通過(guò)不斷將實(shí)物與頭腦中想象的圖形對(duì)接，逐步建立長(zhǎng)、寬、高三個(gè)要素之間的聯(lián)系。

生：我們組選擇的是1號(hào)學(xué)具袋中的小棒。我們發(fā)現(xiàn)4厘米的小棒根數(shù)最少，有4根。8厘米長(zhǎng)的小棒和6厘米長(zhǎng)的小棒都比4根多。于是我們每一種長(zhǎng)度選擇4根，作為長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，就拼成了一個(gè)長(zhǎng)方體。

生：我們組選擇的是3號(hào)學(xué)具袋中的小棒。雖然8厘米的小棒不夠4根，不能選擇，但6厘米的小棒數(shù)量是8根，4厘米的小棒夠4根，這樣我們組拼成對(duì)面是正方形的特殊長(zhǎng)方體。

生：我們組選擇的是4號(hào)學(xué)具袋中的學(xué)具，只能選擇12根4厘米的小棒拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為4厘米的正方體。正方體也是特殊的長(zhǎng)方體。

師：有沒(méi)有哪個(gè)組選擇的是2號(hào)學(xué)具袋中的學(xué)具？

（學(xué)生搖頭）

師：為什么你們不選擇2號(hào)學(xué)具袋中的學(xué)具呢？

生：長(zhǎng)方體的特征是長(zhǎng)、寬、高各有4條，也就是需要3組4根的小棒。如果是特殊的，對(duì)面是正方形的長(zhǎng)方體，則需要一組8根小棒加上一組4根小棒。更特殊的正方體需要的是12根同樣長(zhǎng)度的小棒。而2號(hào)學(xué)具袋中的小棒數(shù)量不足，沒(méi)法拼成長(zhǎng)方體。

在選擇學(xué)具拼搭長(zhǎng)方體、正方體的過(guò)程中，學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方體、正方體“棱”的特征的認(rèn)識(shí)逐步加深。通過(guò)開(kāi)放性的操作活動(dòng)，學(xué)生的空間觀念得到了發(fā)展。

（三）方法習(xí)得，在數(shù)形結(jié)合的畫(huà)圖中培養(yǎng)空間觀念

畫(huà)圖是“圖形與幾何”領(lǐng)域常規(guī)的學(xué)習(xí)方式，學(xué)生可以通過(guò)畫(huà)圖豐富對(duì)幾何圖形的認(rèn)知，促進(jìn)空間觀念的發(fā)展。

如請(qǐng)學(xué)生解決這樣一個(gè)問(wèn)題：“有一個(gè)長(zhǎng)方體，‘左面’是長(zhǎng)5分米、寬6分米的長(zhǎng)方形，‘后面’是長(zhǎng)9分米、寬5分米的長(zhǎng)方形，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)長(zhǎng)方體‘上面’的面積是多少？”學(xué)生需要借助畫(huà)圖，先將只有左和后兩個(gè)面的長(zhǎng)方體部分圖還原成長(zhǎng)方體原圖，再借助圖形直觀找到長(zhǎng)方體“上面”的相關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)而找到問(wèn)題的答案。在“圖形與幾何”領(lǐng)域的學(xué)習(xí)中，培養(yǎng)學(xué)生畫(huà)圖的意識(shí)與習(xí)慣，教給學(xué)生畫(huà)圖的基本方法，在圖形直觀與想象直觀間搭建平臺(tái)，可以有效培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念。

三、設(shè)計(jì)既開(kāi)放又體現(xiàn)綜合性的主題實(shí)踐活動(dòng)

綜合性主題實(shí)踐活動(dòng)是為了讓學(xué)生綜合利用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題而設(shè)計(jì)的活動(dòng)。同樣在“長(zhǎng)方體”相關(guān)教學(xué)中，教師設(shè)計(jì)了“制作收納盒”的綜合性活動(dòng)，讓學(xué)生自主設(shè)計(jì)、制作收納盒。

在動(dòng)手操作前，學(xué)生首先聯(lián)系生活實(shí)際，提出制作收納盒需要考慮的問(wèn)題：收納盒的材質(zhì)、大小尺寸、擺放位置等。課堂上教師提出要求：各組制作的收納盒將放在班級(jí)置物架上進(jìn)行展覽，每個(gè)小組可用的展示臺(tái)面大小不超過(guò)5平方分米，并為學(xué)生提供制作收納盒的學(xué)具（標(biāo)有數(shù)據(jù)的大小不同的長(zhǎng)方形，有的能夠使用，有的不能夠使用）。學(xué)生在對(duì)這些學(xué)具進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，根據(jù)實(shí)際情況選擇材料，設(shè)計(jì)并制作收納盒。有的小組先選擇一塊長(zhǎng)方形作為長(zhǎng)方體的底面，底面決定了拼成的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬，在此數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上選擇合適的長(zhǎng)方形作為前后面和左右面，拼成之后，再根據(jù)條件進(jìn)行驗(yàn)證，判斷是否能夠放在面積是5平方分米的置物架上。也有的小組先根據(jù)材料設(shè)計(jì)方案，將不同長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬與長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高建立對(duì)應(yīng)關(guān)系，再完成收納盒的制作。還有的小組為了能制作出更符合本組設(shè)計(jì)意愿的收納盒，選擇了先在白紙上設(shè)計(jì)出收納盒的展開(kāi)圖再制作。在以上過(guò)程中，學(xué)生無(wú)論采用何種操作方式，也無(wú)論最終能否成功制作出收納盒，他們都在綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，在建立二維圖形與三維圖形各要素對(duì)應(yīng)關(guān)系的過(guò)程中，加深對(duì)長(zhǎng)方體性質(zhì)、特征的理解和把握。

兒童空間觀念的形成是一個(gè)漸進(jìn)的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程與兒童空間思維水平發(fā)展的階段性相聯(lián)系?！皥D形與幾何”教學(xué)必須根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和幾何思維水平設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在有效的活動(dòng)中積累經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展空間觀念。