識本 悟聯(lián) 達(dá)趣
——從“三角形的面積計算”看數(shù)學(xué)眼光的分層培養(yǎng)

□孫惠惠

數(shù)學(xué)學(xué)科的知識雖源于真實(shí)生活，但它的研究對象卻更多地聚焦于真實(shí)世界里并不存在的抽象數(shù)量關(guān)系和空間形式。培養(yǎng)學(xué)生從紛繁復(fù)雜的現(xiàn)象中看到數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力，就是在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的眼光。本文以“三角形的面積計算”為例，介紹培養(yǎng)數(shù)學(xué)眼光的三個階段。

一、歸類識本，不畏直觀與表征

很多看似不同的數(shù)學(xué)問題，其本質(zhì)是一樣的。培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)眼光的第一階段，就是引導(dǎo)學(xué)生透過現(xiàn)象看到數(shù)學(xué)的本質(zhì)。面積的學(xué)習(xí)是學(xué)生建立空間觀念、理解空間形式的重要載體。引導(dǎo)學(xué)生在形的直觀觀察與面的抽象計算中，恰當(dāng)使用歸類對比與聚焦關(guān)系等方法，看到“表面上看不到”的數(shù)學(xué)相關(guān)內(nèi)容，學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光就能得以萌芽與生長。

（一）歸類對比，助識根本

將相似圖形進(jìn)行歸類對比，是幫助學(xué)生在完成常規(guī)計算的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)眼光的好方法。

如圖1這一組圖，將一個邊長為10厘米的大正方形和一個邊長為4厘米的小正方形組合在一起，連接其中不同的三個點(diǎn)形成了不同的三角形。

圖1-1

圖1-2

圖1-3

圖1-4

圖1-5

圖1-6

對于部分學(xué)生而言，要求這6幅圖中每個陰影部分所示的三角形的面積，就是要解決6個不同的問題。在常規(guī)計算的情況下，學(xué)生會分別找到三角形中相應(yīng)的底和高，運(yùn)用面積公式求得每個三角形的面積。但若把培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光作為教學(xué)目標(biāo)，就可以組織學(xué)生在求得面積以后，進(jìn)一步將算式進(jìn)行歸類對比。

（1）比較：圖1-1可以用10×10÷2解決；圖1-2可以用4×4÷2解決；圖1-3到圖1-6都可以用10×4÷2來解決。

（2）思考：為什么形狀不同的三角形可以用同一個算式來計算？

（3）體會：雖然從生活直觀的角度觀察，圖1-3到圖1-6這四個三角形的形狀不同，底不是同一條線段，高也不是，但剝離問題表象后就會發(fā)現(xiàn)，由這四個三角形所構(gòu)建的平行四邊形面積（10×4）是相同的，因此三角形的面積=平行四邊形面積÷2也相同。

學(xué)生透過“看到”的三角形，想到不能“直接看到”的平行四邊形，理解了看似不同的三角形之間的變化與關(guān)聯(lián)，數(shù)學(xué)眼光得到了錘煉。

（二）聚焦關(guān)系，初成策略

圖形問題的建構(gòu)中，基于不同能力培養(yǎng)的需求，形成的問題表征也會不同，如圖2這一組圖，粗略觀察會覺得它們和上文中的圖1那一組圖相差不多。但實(shí)際上，兩組題的難度有質(zhì)的不同。

圖2-2

圖2-3

圖2-4

圖2-5

圖2-6

如圖2-1和圖2-2，陰影部分都是由兩個三角形組合而成，求陰影部分的面積可以先分別算出兩個三角形的面積再相加，也可以用兩底之和作為新三角形的底，用“三角形的面積=兩底之和×高”解決問題。同樣的，圖2-3至圖2-6中，三角形的底或高也不能直接觀察得到，需要借助兩底之差或者是兩高之差來獲得，分別可以用“三角形的面積=兩底之差×高”或“三角形的面積=底×兩高之差”解決問題。

雖然從數(shù)學(xué)表征的角度觀察，圖1和圖2兩組圖形式相差不大，但就解決問題的思考路徑而言卻各有不同。前者是三角形面積公式的直接應(yīng)用，只需要關(guān)注對應(yīng)的底和高即可；后者則是三角形面積公式的間接運(yùn)用。數(shù)學(xué)眼光培養(yǎng)的重點(diǎn)在于讓學(xué)生不僅能清楚地分析三角形的底和高，更要明白三角形的底和高與大、小正方形兩邊之長間的關(guān)系，理解“底”“高”數(shù)值的增減變化，是改變面積大小最重要的因素，體會由這兩個因素變化引起的“面”的大小變化。

二、轉(zhuǎn)化悟聯(lián)，辨析異同與關(guān)聯(lián)

異中求同、同中求異是數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的常用方法之一，在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光中，也具有同樣重要的教學(xué)價值。培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)眼光的第二階段，就是引導(dǎo)學(xué)生通過解決挑戰(zhàn)性問題，學(xué)會恰當(dāng)使用異形轉(zhuǎn)化與等量重構(gòu)等方法，看到圖形與圖形之間隱含的絲絲縷縷的聯(lián)系。

（一）異形轉(zhuǎn)化，化難為易

轉(zhuǎn)化是解決圖形問題中經(jīng)常用到的思想方法，能夠看到圖形之間隱含的聯(lián)系，是進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化、解決問題的基礎(chǔ)。

如圖3-1所示，依然是將一個邊長為10厘米的大正方形和一個邊長為4厘米的小正方形組合在一起，連接其中的三個點(diǎn)形成一個三角形，求陰影部分面積的問題。觀察三角形BCF可以發(fā)現(xiàn)，因?yàn)殛幱安糠值娜切稳龡l邊長度未知，對應(yīng)的三條高的長度也未知，所以陰影部分的面積無法直接計算。

圖3-1

圖3-2

圖3-3

面對這樣的問題，很顯然無法通過套用常規(guī)的公式直接解決問題，此時就需要用數(shù)學(xué)的眼光去發(fā)現(xiàn)圖形中的結(jié)構(gòu)與關(guān)聯(lián)。

可以如圖3-2所示，采用分割的方法。在增加CE輔助線之后，△BCF的面積可以拆分成3個小三角形的面積之和，即S△BCF=S△BCE+S△CEF+S△BEF。這樣，通過形的分割，在原三角形的內(nèi)部重新構(gòu)造了3個小三角形。這3個新構(gòu)成的小三角形的底邊和高都很容易獲得，所以問題得以解決。

也可以如圖3-3所示，采用先將圖形補(bǔ)充為完整的大長方形，然后通過計算大長方形的面積減去周邊空白三角形面積的方法，來計算陰影部分三角形的面積。這樣，通過轉(zhuǎn)移問題解決的對象，把原來求陰影部分三角形面積的問題，間接轉(zhuǎn)換成求空白部分三角形面積的問題。因?yàn)榭瞻撞糠秩切蔚牡缀透呤侨菀撰@得的，所以問題解決的難度降低了。

由此可見，無論是“割”的方法還是“補(bǔ)”的方法，鍛煉的都是學(xué)生在干擾信息中獲取關(guān)鍵信息的數(shù)學(xué)眼光，都能提升學(xué)生轉(zhuǎn)換視角觀察和思考問題的能力。

（二）等量重構(gòu)，化繁為簡

圖3-2、圖3-3的方法中，雖然可以通過轉(zhuǎn)換問題對象、增加輔助線的方法來解決問題，但在實(shí)際問題的解決過程中，陰影部分圖形的結(jié)構(gòu)和形狀始終是不變的。那是否還有其他的方法能解決這一問題呢？還可以通過“等量代換”的方式，用“量”的眼光來解決“形”的問題。

圖3-4

如圖3-4所示，連接DF，BC、DF分別為大正方形和小正方形的對角線，因此，BC∥DF。在一組對邊平行的條件下，BCDF構(gòu)成了梯形。因?yàn)椤鰾CD和△BCF可以看作是以BC為底，同底等高的兩個三角形，所以它們的面積相等。通過這樣的等量代換，求△BCF的面積轉(zhuǎn)化為了求與它等量的△BCD的面積問題?；凇暗攘俊边M(jìn)行的結(jié)構(gòu)重建，使得原本復(fù)雜的問題變得異乎尋常的簡潔易解。

數(shù)學(xué)是一門研究抽象數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。數(shù)學(xué)眼光的價值就在于能深刻而靈活地看待問題，在遇到復(fù)雜的關(guān)系和空間形態(tài)時，能靈活運(yùn)用“形的轉(zhuǎn)化”和“量的重構(gòu)”等方法化難為易、化繁為簡，從而降低問題難度，有效提高問題解決的靈活性和正確性。

三、想象達(dá)趣，品悟動態(tài)與臨界

如圖4-1和圖4-2，如果小正方形EFGD沿著BD邊向上移動，那么連接三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積會如何變化呢？

圖4-1

圖4-2

這是一個非常規(guī)的數(shù)學(xué)問題，看似平平無奇，但關(guān)鍵的難點(diǎn)在于圖4-2中小正方形的移動位置是不確定的，可以是線段BD上的任意一個位置。因此三角形的底和高不是固定的，而是變化的。常規(guī)的公式運(yùn)用、圖形分解、拼組能解決確定量的計算問題，卻不能解決變化量的問題。該怎么辦呢？這就需要運(yùn)用動態(tài)的數(shù)學(xué)眼光，借助臨界點(diǎn)的思維方式去解決。

圖形的變化遵循內(nèi)在結(jié)構(gòu)變化的規(guī)律。小正方形移動過程中，陰影部分三角形的形狀和面積都在持續(xù)變化，但有規(guī)律可循。

圖4-3

圖4-4

圖4-5

教師動態(tài)展示從圖4-3到圖4-5的過程，即將小正方形從下底邊與大正方形底邊齊平，逐步移動至小正方形上頂邊與大正方形頂邊齊平，并將陰影部分分為3個小三角形。學(xué)生通過觀察可知，圖形中的①②兩個三角形，在運(yùn)動的過程中底和高始終不變，因此面積不變；而三角形③的面積逐漸縮小，直至為0。根據(jù)運(yùn)動變化趨勢和面積大小的變化規(guī)律可推斷，小正方形EFGD從圖4-3移動至圖4-5的過程中，連接三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積在逐步減小。通過這種在運(yùn)動變化中選取合適的臨界點(diǎn)圖形幫助分析問題的方法，可以推測動態(tài)變化中圖形面積的增減趨勢。在臨界與趨勢的思考辨析中，學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光得以再一次發(fā)展。他們不僅能解決問題，更能深刻地感受到數(shù)學(xué)好玩、有趣、百變的獨(dú)特魅力，沉浸其中并且被深深吸引。

數(shù)學(xué)眼光的形成與培養(yǎng)需要一個漫長的過程，需要逐步積累，分層習(xí)得。一般情況下，不同結(jié)構(gòu)的問題指向不同的學(xué)習(xí)目標(biāo)，簡潔直觀的問題結(jié)構(gòu)指向公式的基礎(chǔ)應(yīng)用，稍復(fù)雜的問題結(jié)構(gòu)指向思考的方法與策略，而復(fù)雜且非常規(guī)的問題結(jié)構(gòu)指向問題解決的思想方法。數(shù)學(xué)問題結(jié)構(gòu)不同就會呈現(xiàn)出不同的難度和目標(biāo)指向，每跨越一個難度的臨界點(diǎn)，所需要使用的知識、解決問題的方法都會隨之產(chǎn)生變化。通過分類對比、聚焦關(guān)系、異形轉(zhuǎn)化、等量重構(gòu)和臨界點(diǎn)創(chuàng)建等數(shù)學(xué)眼光培養(yǎng)方法的應(yīng)用，學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光將一次一次得到質(zhì)的提升。雖然這個過程緩慢而艱辛，但這種付出能在以后學(xué)習(xí)其他空間圖形知識時獲得巨大的回報。