借助直觀模型，促進算理的理解

吳桂梅

【摘要】為了提高學生的運算能力，引導學生更好地理解算理，教師要善于借助數(shù)直線模型幫助學生理解運算的意義，借助小棒、計數(shù)器等直觀模型，通過圖示表征、數(shù)形結(jié)合的方式幫助學生理解算理，發(fā)展數(shù)感，拓展學生的思維。

【關鍵詞】直觀模型;算理;運算意義;位值制;? 算法探索

一、計算課堂教學的現(xiàn)狀分析

近期聽到的一節(jié)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算課，教學過程中教師忽視學生對算理的理解。評課時，大致有以下三種觀點：（1）現(xiàn)代計算器發(fā)達，計算沒必要下狠功夫抓。（2）學生在課堂上探索計算過程花費時間多，不如直接講授算法，然后通過適量的練習進行鞏固，這樣的課堂教學更高效。（3）口算過程就是算理的體現(xiàn)，可直接讓學生通過知識轉(zhuǎn)化來理解算理，課本提供的點子圖作用不大。以上三種認識，都是對算理認識的偏差，不使用直觀模型的教學，輕視了操作、探究，學生難與將所學的知識形成脈絡，達到融會貫通。

二、新課程標準對運算能力提出的要求

運算能力是學生學習數(shù)學的一種基本技能?！读x務教育數(shù)學課程標準》2011年版中也明確指出，要培養(yǎng)學生的運算能力。小學是學生運算能力形成的重要階段，運算能力不僅包括會算和算正確，還包括對運算的本身要理解，這樣才有助于尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。運算能力的三個維度：正確運算、理解算理和方法合理。因此，計算教學的目標不能只停留在學生會算和算正確的層次上，學生還要懂得解釋計算的依據(jù)，為什么可以這樣算，做到算法和算理的結(jié)合。學生理解了算理，才能結(jié)合具體情境對各種方法進行篩選優(yōu)化，進行合理的運算。教師在教學過程中，合理運用各種直觀模型，憑借圖示表征、數(shù)形結(jié)合的方式，把抽象的算理具體化，可以助力學生對算理的理解。直觀模型指的是具有一定結(jié)構(gòu)的操作材料和直觀材料，如小棒、計數(shù)器、長方形或點子圖、數(shù)直線等。

三、巧借直觀模型，促進算理的理解

算理包括運算的意義、位值制和算法的探索等。

（一）數(shù)直線模型幫助學生理解運算的意義、發(fā)展數(shù)感

在北師大版數(shù)學教材的第一冊第七單元，就出現(xiàn)了毛毛蟲圖，第二冊開始出現(xiàn)了數(shù)線。數(shù)線是數(shù)軸的雛形，數(shù)線的出現(xiàn)，為學生理解運算的意義提供了思維支撐。加法就是將一個加數(shù)向右平移若干個單位，乘法本質(zhì)上也是加法運算，它與加法的區(qū)別在于，每次相加的數(shù)是相同的（如圖1）。減法就是將被減數(shù)向左平移若干個單位，除法也可看作是減法運算，它與減法的區(qū)別在于，每次減的數(shù)都是相同的。借助數(shù)線圖，學生能夠直觀感知加減乘除四種運算的意義，同時數(shù)線圖能形象呈現(xiàn)運算的結(jié)果變化過程。如計算87+139，通過讓學生畫出數(shù)線圖進行計算（圖2），先算87+100=187，再算187+30=217，最后算217+9=226，把139拆分為三個相加，數(shù)線上用三段不同的長度表示100、30和9這三個數(shù)，讓學生形象感知數(shù)的大小差距，通過三次的得數(shù)對比，發(fā)現(xiàn)當加上一個比較大的數(shù)時，結(jié)果就和原數(shù)相差較遠，而加上一個比較小的數(shù)時，結(jié)果就和原數(shù)較接近。通過形象的圖示表征，學生既理解了口算的計算過程，同時又發(fā)展了數(shù)感。

（二）借助小棒、計數(shù)器模型幫助理解位值制

計算的一個基本原理，相同的計數(shù)單位才能相加或相減。結(jié)合小棒和計數(shù)器使用，能很好地理解位值思想。如計算50+3和50+30，讓學生擺出小棒模型，然后在小棒圖下方呈現(xiàn)計數(shù)器。先在計數(shù)器十位上撥5顆珠子，再在個位上撥3顆珠子，十位上的5顆珠子表示5個十，計數(shù)單位是十，個位上的3顆珠子表示3個一，計數(shù)單位是一，合起來是5個十和3個一，結(jié)果是53;計算50+30，先在計數(shù)器十位上撥5顆珠子，再在十位上撥3顆珠子，十位上的3顆珠子，表示3個十，3個十和5個十的計數(shù)單位都是十，所以3能和5相加，得8個十，結(jié)果是80。通過計數(shù)器的直觀呈現(xiàn)，讓學生理解相同的數(shù)字，在不同的數(shù)位上表示的數(shù)值不一樣，理解位值制思想，明確相同的計數(shù)單位才能相加減。

（三）借助點子圖、方格圖等進行算法的探索

計算教學過程中，如果只是教給學生計算的法則，讓學生遵循固定的程序機械地進行演算，得出計算結(jié)果是沒有問題的。但是，不經(jīng)歷算法的探索過程，單純的豎式計算是無法乘載培養(yǎng)學生運算能力和思維發(fā)展的。

下面以14×12為例說明怎樣借助點子圖這個直觀模型，進行數(shù)形結(jié)合，讓學生理解筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理。

教學過程如下：問題1.兩位數(shù)乘兩位數(shù)這個新知識，能否借助點子圖，轉(zhuǎn)化為我們已學過的知識進行解決？利用點子圖，學生會將14×12轉(zhuǎn)化為14×6×2（圖3） ，還有的轉(zhuǎn)化為 12×7×2，這兩種轉(zhuǎn)化都是把點子進行平均分。問題2.如果有些乘數(shù)不能進行平均分，你怎樣圈呢？有沒有一種對所有數(shù)都適合的圈法？引導學生把12個14分為10個14和2個14，先圈10個14，再圈2個14，10個14加上2個14就是12個14（圖4），然后根據(jù)所圈的點子圖寫出口算過程，14×10=140，14×2=28 ，140+28=168。問題 3.你能結(jié)合點子圖和口算方法，嘗試寫出豎式計算過程嗎？豎式計算時，第一步用2和14相乘，第二步用10和14相乘，第三步把兩次乘得的積相加。問題4.10個14還可以怎樣分？2個14還可以怎樣分？你能在點子圖上圈出來嗎？引導學生把10個14分為10個10和10個4，2個14還可以分為2個10 和2個4。（圖5）口算過程：10×10=100 ， 10×4=40 ，10×2=20，100+40+20+8=168。問題5.你能用列表的方法計算嗎？通過借助點子圖，加強新舊知識的聯(lián)系，滲透轉(zhuǎn)化思想。學生理解豎式計算的來龍去脈，點子圖、豎式計算、列表計算并不是割裂開來的，它們內(nèi)在的算理是一致的，只是表現(xiàn)形式不一樣?？此屏闵⒌闹R，老師引導學生對知識進行重組，找到知識間的聯(lián)系，找到知識的承重墻，培養(yǎng)轉(zhuǎn)化、優(yōu)化、數(shù)形結(jié)合思想，學生的思維才會得到拓展，這也將成為學生運算能力發(fā)展的重要基石。

【參考文獻】

[1]《小學數(shù)學課堂教學案列透視》/斯苗兒著? 北京： 人民教育出版社 2003.12

[2]《小學數(shù)學教師專業(yè)能力必修》/楊玉東，鞏子坤主編? 重慶：西南師范大學出版社? 2012.4

[3]《小學教學設計.數(shù)學》? 2021.01.02.

（責任編輯：張曉東）