帶趨勢(shì)項(xiàng)ESTAR模型單位根檢驗(yàn)的漸進(jìn)分布

胡俊娟,Murtala Adam Muhammad

(浙江科技學(xué)院 理學(xué)院,杭州 310023)

近年來(lái),由于STAR(smooth transition autoregression,平滑轉(zhuǎn)換自回歸)模型在對(duì)時(shí)間序列動(dòng)態(tài)中機(jī)制轉(zhuǎn)換非線性特征的描述上,具有一般性和靈活性的特點(diǎn),被廣泛應(yīng)用于匯率[1]、通貨膨脹率[2-3]、失業(yè)率[4]、股市[5]等金融與經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域。在日常生活中,宏觀時(shí)間序列數(shù)據(jù)通常具有明顯的時(shí)間趨勢(shì)特征,在建模前需對(duì)時(shí)間序列平穩(wěn)性進(jìn)行分析,因此對(duì)帶線性趨勢(shì)的時(shí)間序列進(jìn)行單位根檢驗(yàn)(檢驗(yàn)平穩(wěn)性)具有廣泛的實(shí)際意義,進(jìn)而帶趨勢(shì)項(xiàng)STAR模型的單位根檢驗(yàn)受到了國(guó)內(nèi)外研究者的廣泛關(guān)注[6-7]。

對(duì)帶確定性趨勢(shì)(或者截距)的線性AR(autoregression,自回歸)模型的2種表達(dá)形式而言,通過(guò)對(duì)模型化簡(jiǎn)可知二者具有相同的波動(dòng)部分,因此對(duì)這2種帶確定性趨勢(shì)的AR模型進(jìn)行單位根檢驗(yàn)會(huì)得到一致的結(jié)論,然而對(duì)帶確定性趨勢(shì)項(xiàng)的STAR過(guò)程而言,2種形式卻包含了不同的波動(dòng)部分[6]。如果對(duì)這2種形式帶趨勢(shì)項(xiàng)的STAR模型的單位根檢驗(yàn)不加以區(qū)分,會(huì)導(dǎo)致檢驗(yàn)結(jié)果的不可靠,如Zhang[8]和Kaufmann等[9]針對(duì)不同形式帶趨勢(shì)項(xiàng)STAR模型進(jìn)行了線性檢驗(yàn),所得結(jié)論不同。目前關(guān)于帶趨勢(shì)ESTAR(exponential smooth transition autoregression,指數(shù)平滑轉(zhuǎn)換自回歸)模型的單位根檢驗(yàn)研究較側(cè)重于去趨勢(shì)的各種方法[7,10,11],鮮有文獻(xiàn)對(duì)模型的2種不同形式加以區(qū)別研究。因此,我們對(duì)ESTAR模型2種形式的單位根檢驗(yàn)進(jìn)行研究,基于模型在不同形式下相應(yīng)的輔助方程,考察KSS(Kapetanios-Shin-Snell)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的極限分布,從而對(duì)2種形式單位根檢驗(yàn)從根本上加以區(qū)分,并且還為拓寬對(duì)帶確定性趨勢(shì)項(xiàng)STAR模型的單位根檢驗(yàn)的研究打下一定的理論基礎(chǔ)。

1 KSS檢驗(yàn)

考慮以下一階帶確定性趨勢(shì)項(xiàng)ESTAR模型:

(1)

或

(2)

(3)

式(3)中:et為誤差項(xiàng)。進(jìn)一步,Kapetanios等[12]363提出了檢驗(yàn)H0:δ=0的t檢驗(yàn)(又稱KSS檢驗(yàn)),檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量tKSS的極限分布為

(4)

2 主要結(jié)論

KSS檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的極限分布是基于OLS去趨勢(shì)方法進(jìn)行的,即考察的是基于式(2)模型的單位根檢驗(yàn)。對(duì)式(1)通過(guò)泰勒展開(kāi)可以得到以下輔助方程:

(5)

定理1假設(shè)Δyt=εt,則

“?”表示弱收斂。在備擇假設(shè)下,即基于式(5)(b=0)情況下帶均值ESTAR模型的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量tμ具有一致性,且以速率T(樣本量)收斂。

證明:根據(jù)輔助方程式(5)(b=0),在原假設(shè)H0下OLS估計(jì)量

根據(jù)定理1的假設(shè),則在輔助方程式(5)中ut=εt。根據(jù)隨機(jī)積分的弱收斂定理和εt的半鞅性質(zhì)[14],則有

因此我們可以得到

進(jìn)一步有

則

通過(guò)對(duì)上述極限分布的對(duì)比發(fā)現(xiàn),對(duì)于具有均值過(guò)程的時(shí)序,基于式(1)和式(2)的模型檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量極限分布不一致,因此臨界值不一樣,對(duì)這2種形式的模型不加以區(qū)分,直接用去趨勢(shì)KSS檢驗(yàn)臨界值對(duì)式(1)進(jìn)行單位根檢驗(yàn),所得檢驗(yàn)結(jié)果必定不可靠。

定理2假設(shè)Δyt=a+εt且y0=0,則

(6)

式(6)中:A11、A12、A21、A22和B1、B2分別為矩陣A(W(r))、B(W(r))的分塊矩陣,具體形式參見(jiàn)以下證明。

不妨記

根據(jù)連續(xù)映射定理,我們可以得到[γ-1(X′X)γ-1]?H(W(r),σ),且[γ-1(X′ε)]?Q(W(r),σ),其中

因?yàn)樵谠僭O(shè)下H0:δ=0可以寫(xiě)成H0:Rβ=0,其中R=(0 0 0 0 1),則通過(guò)計(jì)算可得

因此,則有

得證。

3 結(jié) 語(yǔ)

定理1和定理2說(shuō)明了不同形式帶趨勢(shì)項(xiàng)的ESTAR模型t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的極限分布并不相同,因此在分析帶趨勢(shì)項(xiàng)過(guò)程時(shí),單純地使用先去趨勢(shì)然后用常用的臨界值表檢驗(yàn)法并不十分科學(xué)?？紤]到帶趨勢(shì)項(xiàng)的非線性ESTAR模型的2種形式導(dǎo)致的波動(dòng)不一致,本研究從理論角度給出了證明,這一結(jié)果為帶確定性趨勢(shì)項(xiàng)ESTAR模型單位根檢驗(yàn)的研究提供了理論參考,故建議在采用帶趨勢(shì)項(xiàng)ESTAR模型建模分析數(shù)據(jù)時(shí),應(yīng)對(duì)采用式(1)還是式(2)加以區(qū)分。本研究側(cè)重考慮的是帶趨勢(shì)項(xiàng)ESTAR模型的2種不同形式的極限理論,考察的是常用的線性趨勢(shì)部分,接下來(lái)我們將會(huì)把研究進(jìn)一步擴(kuò)展到傅里葉趨勢(shì)[16]情景中去,以進(jìn)一步拓寬帶趨勢(shì)項(xiàng)ESTAR模型單位根檢驗(yàn)的研究思路。