盤活數(shù)學(xué)思想，讓面積“生長”更有力量
——以《平行四邊形面積》教學(xué)為例

文|張荷潔

數(shù)學(xué)思想是解決數(shù)學(xué)問題的重要法寶，小學(xué)數(shù)學(xué)教材文本中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想。而小學(xué)階段的教學(xué)，教師往往只注意知識的學(xué)習(xí)和積累，并未重視對這些知識起到聯(lián)系作用的思想方法的掌握，這對學(xué)生數(shù)學(xué)后繼學(xué)習(xí)能力的發(fā)展勢必會造成不利的影響。教師要用心體察教材的編寫意圖，用好課本中的材料，凸顯思想方法的作用。

《平行四邊形面積》是多邊形面積教學(xué)的起始課，用轉(zhuǎn)化的思想方法推導(dǎo)面積計(jì)算公式對學(xué)生來說不僅是第一次，它還對學(xué)生進(jìn)一步探究三角形、梯形面積具有較強(qiáng)的價(jià)值引領(lǐng)作用?？v觀《平行四邊形面積》一課的教學(xué)，一般都設(shè)計(jì)剪拼的環(huán)節(jié)，使學(xué)生感悟轉(zhuǎn)化的思想，也為下一步面積的教學(xué)積累一定的活動經(jīng)驗(yàn)。但轉(zhuǎn)化思想的習(xí)得總感覺不是那么自然。怎樣才能更好領(lǐng)悟教材編寫的意圖，使轉(zhuǎn)化思想自然而然地發(fā)生？基于這樣的思考，筆者從教材切入，對《平行四邊形面積》教學(xué)進(jìn)行了進(jìn)一步的研究，以期將教材中豐富的數(shù)學(xué)思想化隱為顯。本文結(jié)合《平行四邊形面積》教學(xué)，聚焦于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的生長點(diǎn), 從叩問和教學(xué)反思與改進(jìn)兩個維度出發(fā)，就如何嘗試探討盤活數(shù)學(xué)思想，讓面積“生長”更有力量做一些闡述。

一、以面積度量喚起經(jīng)驗(yàn)，自主尋找面積“生長”根源

建構(gòu)主義教學(xué)理論認(rèn)為：教學(xué)要激活學(xué)生原有的知識經(jīng)驗(yàn)，并讓其作為基點(diǎn)，生長出新的經(jīng)驗(yàn)?！镀叫兴倪呅蚊娣e》的學(xué)習(xí)也不例外，教學(xué)要找準(zhǔn)學(xué)生的思維原點(diǎn)，從而尋找學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)。

1.叩問：如何自主尋找面積“生長”根源？

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：面積是圖形與幾何領(lǐng)域測量部分的重要內(nèi)容?！皵?shù)起源于數(shù)，量起源于量?！边@是大家熟知的一句名言。對于第二學(xué)段五年級的學(xué)生而言，線段屬于一維圖形的量已經(jīng)比較熟悉，要知道線段的長短大都會用一維的長度單位去度量，而面積也是一種量，屬于二維圖形的量，相比之下，學(xué)生對面積這個量的認(rèn)識要陌生得多。所以在教學(xué)《平行四邊形面積》的引入中，如何讓學(xué)生自主想到用二維的面積單位小方格去度量面積，這是《平行四邊形面積》學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)本質(zhì)，也是面積“生長”的根源所在。

2.教學(xué)反思與改進(jìn)：用數(shù)學(xué)的眼光觀察面積，喚起面積度量的經(jīng)驗(yàn)。

《平行四邊形面積》教學(xué)的引入，通常有如下兩種，第一種教學(xué)引入：一部分教師采用類比法引入，長方形面積的計(jì)算方法是長乘寬，繼而引發(fā)猜想：平行四邊形的面積怎么求？于是有的學(xué)生用底和高相乘計(jì)算出平行四邊形的面積，也有的學(xué)生用平行四邊形的長和寬（兩條鄰邊）相乘，進(jìn)而提出問題，求平行四邊形的面積計(jì)算到底能不能用鄰邊相乘的方法？第二種教學(xué)引入：一部分教師直接以數(shù)方格引入教學(xué)。如給出一個透明的方格紙，要求學(xué)生以方格紙為工具進(jìn)行比對，從而數(shù)出平行四邊形的面積。

分析第一種教學(xué)引入，平行四邊形的面積學(xué)生還沒有研究過，就直接要求學(xué)生計(jì)算它的面積，這樣的引入勢必會讓部分學(xué)生感到為難，會引起學(xué)生錯誤的猜測。學(xué)生用平行四邊形的長和寬（兩條鄰邊）相乘計(jì)算面積，是因?yàn)槭荛L方形面積公式表達(dá)形式負(fù)遷移的影響，而忽視了長方形面積公式是一個度量結(jié)果的實(shí)際意義。

分析第二種教學(xué)引入，以學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，能讓學(xué)生開展方格紙的比對度量活動，繼而計(jì)算平行四邊形面積單位的數(shù)量，對理解平行四邊形面積提供了意義支撐。但第二種教學(xué)引入，教師要“我”量的意圖明顯。

上面教學(xué)分析，引發(fā)了我的教學(xué)思考：能否變要我“量”為我要“量”，喚起學(xué)生自覺度量的意識呢？教學(xué)實(shí)踐中我們對第二種教學(xué)引入做了如下的改進(jìn)：在度量活動之前，喚起學(xué)生對平行四邊形面積的意義感性認(rèn)識。平行四邊形面積是二維空間的量，其意義的理解對學(xué)生而言是認(rèn)識上的一次飛躍，雖然學(xué)生在之前有學(xué)習(xí)“認(rèn)識面積”和“長方形與正方形的面積”作為基礎(chǔ)，但對于學(xué)生來說，經(jīng)驗(yàn)積累還不厚實(shí)。引入新課時，要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察圖形，從熟悉的長方形面積入手，回憶長方形面積公式表達(dá)形式的實(shí)際意義，再通過類比與正向遷移，讓學(xué)生先說說對平行四邊形面積的認(rèn)識，進(jìn)一步理解平行四邊形的面積同樣是一個量，要計(jì)算平行四邊形的面積，同樣可以通過測量進(jìn)行研究。

二、以化零為整解決困惑，讓面積轉(zhuǎn)化意識悄然萌芽

材料引起活動，材料引發(fā)思考。小方格是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要材料，可以促進(jìn)學(xué)生空間觀念的形成和發(fā)展，在本課的學(xué)習(xí)中，數(shù)方格活動同樣要賦予它豐富的教育價(jià)值。

1.叩問：如何讓面積轉(zhuǎn)化意識悄然萌芽？

不同版本小學(xué)數(shù)學(xué)教材的編排，都安排有數(shù)方格計(jì)算圖形計(jì)算面積的活動，毫無疑問，數(shù)方格是一種直觀度量面積的方法，是“度量思想”的重要載體，在《平行四邊形面積》的教學(xué)中，應(yīng)該如何挖掘數(shù)方格活動的教育價(jià)值？數(shù)方格活動如何才能更好地發(fā)揮作用？除了求得圖形面積的結(jié)果外，數(shù)方格活動的過程能否引發(fā)學(xué)生思考，進(jìn)而讓面積轉(zhuǎn)化意識悄然萌芽？這是筆者在本課教學(xué)研究中的另一個思考點(diǎn)。

2.教學(xué)反思與改進(jìn)：數(shù)方格活動引發(fā)猜想，在化零為整中解決困惑。

教學(xué)中，用方格測量平行四邊形的面積，會遭遇這樣的尷尬：不滿一格，該怎么算？為解決此問題，執(zhí)教教師大都在數(shù)方格前就規(guī)定“不滿一格的都按半格計(jì)算”，然后根據(jù)平行四邊形和長方形數(shù)得的結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)兩個圖形之間的等量關(guān)系，為后面的面積轉(zhuǎn)化奠定基礎(chǔ)。

分析以上教學(xué)，這樣的規(guī)定能讓數(shù)格子活動順利地進(jìn)行下去，但也束縛了學(xué)生的思維。為什么“不滿一格都按半格計(jì)算”，對于這樣的規(guī)定學(xué)生知其然而不知其所以然。何況這樣的規(guī)定具有局限性，當(dāng)平行四邊形發(fā)生變形，底邊和鄰邊的夾角越來越小時，這樣的規(guī)定就會失去合理性，會導(dǎo)致計(jì)量結(jié)果的錯誤。

小學(xué)生的思維主要是形象思維，平面圖形的轉(zhuǎn)化需建立在熟知圖形的特征基礎(chǔ)上，如何讓圖形特征具體形象化，方格圖是重要中介。為發(fā)揮小方格的作用，使數(shù)方格活動更有教學(xué)價(jià)值，教學(xué)實(shí)踐中我們做了如下改進(jìn)：在學(xué)生使用方格這個重要的數(shù)學(xué)工具時，不做“不滿一格的都按半格計(jì)算”的規(guī)定，而是先放手讓學(xué)生自己去探索、去研究。數(shù)方格的過程中學(xué)生自己會發(fā)現(xiàn)有的滿格，有的不滿格。不滿格的面積怎么計(jì)量？從而引導(dǎo)學(xué)生從細(xì)微處入手，仔細(xì)觀察在方格圖中不滿格的面積，利用方格圖凸顯圖形特征的優(yōu)勢讓學(xué)生進(jìn)行空間想象，自覺產(chǎn)生不滿格的圖形面積可以拼補(bǔ)成完整格子面積的意識，然后再進(jìn)行剪拼、平移、補(bǔ)整，通過出入相補(bǔ)活動，不滿格的面積都湊成了滿格的面積，最后再進(jìn)行計(jì)數(shù)。解決問題的過程中化零為整的思想油然而生，不僅解決了不滿格方格計(jì)量的困惑，也促進(jìn)了面積轉(zhuǎn)化的悄然萌芽。

三、以等積變形實(shí)現(xiàn)聯(lián)結(jié)，讓“面積生長”更通暢

布魯納的學(xué)習(xí)理論告訴我們：學(xué)習(xí)實(shí)質(zhì)就是建立同類事物的聯(lián)系。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也是如此，教學(xué)中教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生把握知識內(nèi)在整體關(guān)聯(lián)，在探尋聯(lián)系中主動建構(gòu)知識，形成結(jié)構(gòu)。在本課教學(xué)中，平行四邊形面積學(xué)習(xí)同樣要與它有關(guān)的內(nèi)容發(fā)生關(guān)聯(lián),從而實(shí)現(xiàn)“教”與“學(xué)”的增值。

1.叩問：如何轉(zhuǎn)化讓面積“生長”更通暢？

轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種最常用的基本思想方法，《多邊形面積》這一單元中面積公式的推導(dǎo)都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的思想方法。根據(jù)教材編排的特點(diǎn)，多邊形面積教學(xué)應(yīng)根據(jù)圖形間的內(nèi)在聯(lián)系安排教學(xué)順序，促進(jìn)教與學(xué)的遷移。將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，通常有兩種方法：一種是通過變形將平行四邊形“拉成”長方形；另一種是通過剪拼轉(zhuǎn)化。究竟哪一種轉(zhuǎn)化能讓面積“生長”更通暢？相比較，第一種轉(zhuǎn)化采用變形的方法，轉(zhuǎn)化前后圖形的形狀發(fā)生了變化，面積也隨著發(fā)生了變化，是屬于不等量轉(zhuǎn)化，不利于學(xué)生尋找面積之間的關(guān)聯(lián)。而另一種轉(zhuǎn)化采用剪拼的方法，轉(zhuǎn)化前后圖形的形狀雖然發(fā)生了變化，但面積大小依然不變，屬于等量轉(zhuǎn)化。顯然，要計(jì)算轉(zhuǎn)化前圖形的面積，學(xué)生有等量代換的活動經(jīng)驗(yàn)，變化中抓住面積不變可以幫助學(xué)生找到圖形之間的關(guān)系，從而順利地解決問題。

2.教學(xué)反思與改進(jìn)：于變中抓不變量，以等積變形實(shí)現(xiàn)聯(lián)結(jié)。

縱觀平行四邊形面積的教學(xué)，不管是哪一種方法導(dǎo)學(xué)，教師都會引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷將平行四邊形轉(zhuǎn)化成面積相同的長方形———等積變形的過程，再通過觀察、比較，尋找圖形之間的關(guān)聯(lián)：觀察轉(zhuǎn)化前后的兩個圖形，你有什么發(fā)現(xiàn)？然后進(jìn)行比較、溝通，得出平行四邊形面積的計(jì)算公式。

數(shù)學(xué)是一門講“理”的學(xué)科，數(shù)學(xué)知識的習(xí)得要由“理”來支撐，平行四邊形面積公式的得出需要引導(dǎo)學(xué)生有理有據(jù)地推導(dǎo)，要發(fā)展學(xué)生的合情推理能力。但由于小學(xué)生注意力發(fā)展還不完善，教學(xué)中“變與不變”的同時出現(xiàn)，會分散學(xué)生的注意力，干擾學(xué)生的理解。如何在“變與不變”中更好地實(shí)現(xiàn)圖形之間的聯(lián)結(jié)，以達(dá)成對平行四邊形面積計(jì)算的深刻理解？

人們認(rèn)識事物總是從整體到部分，然后再由表及里，逐步深入，學(xué)生對平行四邊形面積公式推導(dǎo)過程也應(yīng)如此。教材提供的運(yùn)算定律或其他的性質(zhì)的教學(xué)思路，給了我們很大的啟發(fā)。結(jié)合這樣的思考，實(shí)踐中我們對本環(huán)節(jié)教學(xué)做了如下的改進(jìn)：基于上述的數(shù)方格度量帶來轉(zhuǎn)化的啟示，通過進(jìn)一步的觀察、思考和操作讓平行四邊形面積等積變形后，先讓學(xué)生從整體認(rèn)識入手，發(fā)現(xiàn)面積總量不變的原理，然后探尋圖形各部分之間的關(guān)聯(lián)，借用數(shù)學(xué)語言描述轉(zhuǎn)化前后圖形各部分的關(guān)聯(lián)，得出平行四邊形的面積等于底乘高，接著再通過有“據(jù)”驗(yàn)證,舉例說明：是不是所有的平行四邊形都可以這樣轉(zhuǎn)化，讓不完全歸納推理力求“完全”，以促成對平行四邊形面積公式推理過程的真正理解。

總之，《平行四邊形面積》的學(xué)習(xí)就如一棵大樹的生長，如果把學(xué)生經(jīng)歷了學(xué)習(xí)過程后習(xí)得的數(shù)學(xué)思想稱為“生長點(diǎn)”，我們要找準(zhǔn)“生長點(diǎn)”，盤活數(shù)學(xué)思想，喚起經(jīng)驗(yàn)，讓其厚實(shí)根基、自然萌芽、根本通暢，并對其施肥、灌溉，讓數(shù)學(xué)思想再“衍生”，再生長出新“生長點(diǎn)”，如此循環(huán)往復(fù)，面積的“生長”也就會更有力量，就能生長出更多的知識，從而達(dá)成學(xué)以致用、用以致學(xué)的目標(biāo)。