反距離權(quán)重插值法模擬降水分布時的冪系數(shù)優(yōu)化

陳 星

(廣東省水文局韶關(guān)水文分局，廣東 韶關(guān) 512028)

降水分布情況可用于流域水資源量計算[1-3]、降水分布規(guī)律及時空變化特征分析[4-7]、洪水預(yù)警預(yù)報分析[8-9]等水文學(xué)研究工作當(dāng)中。反距離權(quán)重插值法是4種常用的區(qū)域平均降雨深的確定方法之一[10]。本文主要針對反距離權(quán)重插值法在模擬降水分布時采用的一種權(quán)重冪系數(shù)動態(tài)優(yōu)化方法進(jìn)行討論。

1 反距離權(quán)重插值法

已知數(shù)個雨量站位置及該位置處降水量觀測值,對需要插值計算的區(qū)域，以網(wǎng)格劃分為多個子區(qū)域，各子區(qū)域的降水量，按如下方式插值：

(1)

式中:

Pi——待求的第i個子區(qū)域降水量；

Pj——區(qū)域內(nèi)第j個雨量站的降水量觀測值；

n——區(qū)域內(nèi)的雨量站數(shù)；

λj——區(qū)域內(nèi)第j個雨量站的權(quán)重。

其中λj通常定義為：

(2)

(3)

式中:

dij——第i個子區(qū)域中心至第j個雨量站的距離;

α——權(quán)重冪系數(shù)。

2 權(quán)重冪系數(shù)的動態(tài)優(yōu)化

對于鄰域內(nèi)已知點(diǎn)高度聚集的插值點(diǎn)，由于所有相鄰已知點(diǎn)都應(yīng)當(dāng)帶有相對較大的權(quán)重，因此傾向于使用較小權(quán)重冪系數(shù)；反之當(dāng)插值點(diǎn)領(lǐng)域內(nèi)已知點(diǎn)相對分散時，來自最近的已知點(diǎn)的估算可能會有更高的可靠性，為提高其權(quán)重，傾向于使用較大的權(quán)重冪系數(shù)[12]。

2.1 位置特征值

引入一個位置特征值來表示插值點(diǎn)在計算區(qū)域中與各已知點(diǎn)之間的位置的特征，以此來決定權(quán)重冪系數(shù)的取值。位置特征值由密集系數(shù)和方位系數(shù)兩部分組成。

2.1.1密集系數(shù)

以插值點(diǎn)與各已知點(diǎn)間距離倒數(shù)的方差來表示插值點(diǎn)鄰域內(nèi)已知點(diǎn)的聚集程度：

(4)

式中:

當(dāng)插值點(diǎn)遠(yuǎn)離已知點(diǎn)群時，與各雨量站間距離倒數(shù)相差較小，方差較??；而靠近某個已知點(diǎn)或已知點(diǎn)群時，因其距離倒數(shù)樣本值增大，方差變大。為消除不同比例地圖對方差的影響，將方差和插值點(diǎn)與各已知點(diǎn)間平均距離的平方相乘，得到密集系數(shù)：

(5)

式中:

Ai——第i個插值點(diǎn)的密集系數(shù)。

2.1.2方位系數(shù)

特殊情況下，當(dāng)插值點(diǎn)位于點(diǎn)群中心，且與各已知點(diǎn)的間距相差不大時，其密集系數(shù)將同樣偏小。此時無法判斷插值點(diǎn)是位于點(diǎn)群中心，還是在點(diǎn)群之外并與所有點(diǎn)都有較大間距。若插值點(diǎn)位于點(diǎn)群中心，又傾向于使用較大的位置特征值，與位于點(diǎn)群之外的情況相反，因此引入另外一個方位系數(shù)與密集系數(shù)相乘來修正插值點(diǎn)與已知點(diǎn)群間相對位置帶來的誤差。

將插值點(diǎn)與所有已知點(diǎn)連線，求各相鄰連線間的夾角，取最大的一個夾角，規(guī)定該夾角為π時，方位系數(shù)為1，密集系數(shù)即為位置特征值；而當(dāng)該夾角小于π時，說明插值點(diǎn)正位于點(diǎn)群內(nèi)部，需要較大的位置特征值，使方位系數(shù)大于1；反之則使方位系數(shù)小于1。可以按如下方式將最大夾角歸一化為方位系數(shù)：

(6)

式中:

Bi——第i個插值點(diǎn)的方位系數(shù);

βmax——最大夾角;

e——自然對數(shù)底數(shù)。

圖關(guān)系曲線示意

使密集系數(shù)Ai與方位系數(shù)Bi相乘得到位置特征值：

Ki=AiBi

(7)

式中:

Ki——第i個插值點(diǎn)的位置特征值。

2.2 權(quán)重冪系數(shù)

位置特征值的分布與預(yù)想的權(quán)重冪系數(shù)的分布是相反的，需用使用歸一化公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，經(jīng)分析，當(dāng)插值點(diǎn)較為遠(yuǎn)離已知點(diǎn)群，位置特征值取值約為0.3時，權(quán)重冪系數(shù)取值4為宜；而當(dāng)靠近已知點(diǎn)時，使權(quán)重冪系數(shù)逐漸接近2?？砂聪率綄i歸一化處理得到初始權(quán)重冪系數(shù)：

α0i=-0.4lnKi+3.5

(8)

式中:

α0i——第i個插值點(diǎn)的初始權(quán)重冪系數(shù)。

當(dāng)權(quán)重冪系數(shù)低于2時，模擬的降水分布會圍繞雨量站形成尖銳的峰形，與一般認(rèn)為的降水沿空間應(yīng)當(dāng)有較平滑分布的情況不符，因此規(guī)定其最小值取2。

(9)

式中:

αi——第i個插值點(diǎn)的權(quán)重冪系數(shù)。

各插值點(diǎn)權(quán)重冪系數(shù)按式(9)中方法取值，權(quán)重冪系數(shù)隨位置變化而動態(tài)變化，稱其為動態(tài)取值方法。

3 應(yīng)用實(shí)例

為了演示權(quán)重冪系數(shù)動態(tài)取值方法與常數(shù)取值方法插值效果的區(qū)別，本文以廣東省始興縣為研究區(qū)域，縣域內(nèi)15個整編雨量站2019年降水量為已知點(diǎn)及其觀測值，分別以權(quán)重冪系數(shù)取常數(shù)2、常數(shù)4、動態(tài)取值3種方案進(jìn)行插值。廣東省始興縣15個整編雨量站分布及其2019年降水量如圖2所示，使用動態(tài)取值方案時的位置特征值Ki分布如圖3所示。

圖2 始興縣雨量站分布及2019年降水量示意(單位：mm)

圖3 動態(tài)取值方案的位置特征值Ki分布示意

權(quán)重冪系數(shù)取值分別為常數(shù)2、常數(shù)4、動態(tài)取值時，插值結(jié)果如圖4所示。

a)冪系數(shù)2

b)冪系數(shù)4

c)動態(tài)冪系數(shù)

3.1 插值點(diǎn)分布對比

在降水分布圖上對插值點(diǎn)均勻采樣，每張分布圖上的樣本數(shù)量為4 828個。3種方案下的插值點(diǎn)樣本標(biāo)準(zhǔn)差見表1所示；將樣本按數(shù)值大小分成10個等值區(qū)間，每個區(qū)間內(nèi)的插值點(diǎn)樣本數(shù)量占比如圖5所示，將各樣本按數(shù)值從低到高的序列排列(如圖6所示)。

表1 3種方案所得樣本標(biāo)準(zhǔn)差

圖5 3種方案所得樣本在各數(shù)值區(qū)間的占比示意

a) 冪系數(shù)2

b) 冪系數(shù)4

c) 動態(tài)冪系數(shù)

從圖5可見，當(dāng)權(quán)重冪系數(shù)為2時，最大、最小兩個區(qū)間的樣本偏少，僅占總數(shù)的5.9%；而位于20%～70%的中間各區(qū)間樣本占比則高于使用冪系數(shù)4或動態(tài)冪系數(shù)時的數(shù)量；從圖6可見，該方案下最小的4個已知點(diǎn)和最大的4個已知點(diǎn)位置非常接近，對應(yīng)的頭尾兩段曲線斜率明顯高出中間部分。從表1可見其標(biāo)準(zhǔn)差也小于另外兩種方案。顯然，在使用2作為權(quán)重冪系數(shù)時，其插值點(diǎn)整體分布將更趨向于所有參與插值的已知點(diǎn)的平均值，多數(shù)點(diǎn)子聚集于數(shù)值的中間部分，數(shù)值上偏大和偏小的已知點(diǎn)能夠影響的范圍有限。

相比于以2作為權(quán)重冪系數(shù)，另外兩種方案的樣本在各數(shù)值區(qū)間的分布更加均勻；在圖6的序列曲線上各已知點(diǎn)附近的曲線斜率更為一致，兩段的已知點(diǎn)同樣能夠有效影響到附近的插值點(diǎn)。這兩種方案在樣本標(biāo)準(zhǔn)差、在各數(shù)值區(qū)間的分布、樣本點(diǎn)序列分布較為一致，主要區(qū)別在于：當(dāng)取冪系數(shù)4時，在已知點(diǎn)附近更容易形成數(shù)值相近的點(diǎn)群聚集，如中心桃、北山、司前、澄江、小古菉4個點(diǎn)附近均有較多數(shù)值相近的樣本聚集，分布曲線呈現(xiàn)為階梯狀；相比之下取用動態(tài)冪系數(shù)時分布曲線更為平滑，圖5中最大、最小區(qū)間的點(diǎn)子數(shù)量略高于使用動態(tài)冪系數(shù)時的數(shù)量，也是位于兩端的已知點(diǎn)形成的數(shù)值相近的點(diǎn)群范圍更大導(dǎo)致的。

3.2 剖面對比

選取3條剖面，在剖面上對3種插值方案所插數(shù)值進(jìn)行比較，3條剖面位置如圖7所示，各剖面對比如圖8所示。

圖7 3條剖面位置示意

a) 剖面1

b) 剖面2

c) 剖面3

從圖8可以看出，當(dāng)取用冪系數(shù)2時，插值點(diǎn)在距離已知點(diǎn)很近的地方形成了凸出的峰形，當(dāng)插值點(diǎn)遠(yuǎn)離某個已知點(diǎn)時，該已知點(diǎn)對插值點(diǎn)的權(quán)重迅速下降，而在缺少距離較近的已知點(diǎn)時，插值會趨向各已知點(diǎn)的平均值，如在剖面2中的小古菉—結(jié)龍灣段、梅子窩—車扒嶺段，中間都有大幅偏向平均值的凸起。一般認(rèn)為，當(dāng)兩個雨量站觀測的降水量相近時，兩個站之間的降水量會與兩個站的觀測值相近，相比之下，取用冪系數(shù)4或動態(tài)冪系數(shù)時，這兩段已知點(diǎn)之間的過渡更加平直；通過剖面1中的結(jié)龍灣—始興段、剖面3中的小古菉—始興段，也可以看出當(dāng)已知點(diǎn)距離剖面有一定距離時，使用后兩種方案仍然可以對插值點(diǎn)產(chǎn)生顯著的影響，而取用冪系數(shù)2時則會大幅偏向各已知點(diǎn)平均值。

取用冪系數(shù)4或動態(tài)冪系數(shù)時，整體結(jié)果較為一致，主要區(qū)別為：取用冪系數(shù)4時，各已知點(diǎn)會在一定距離內(nèi)的插值點(diǎn)上獲得壓倒性的權(quán)重，表現(xiàn)為在已知點(diǎn)周圍插出面積較大的、數(shù)值相近的點(diǎn)群，如剖面2的結(jié)龍灣、梅子窩、車扒嶺，剖面3的北山附近，插值點(diǎn)的分布最平坦，延續(xù)的距離最長。這種情況會導(dǎo)致相鄰的兩個點(diǎn)群之間形成更加陡峭的過渡；當(dāng)已知點(diǎn)較密集且呈梯度分布時，插值點(diǎn)容易呈現(xiàn)階梯狀分布，如剖面3中結(jié)龍灣—小鐵寨—小安—黃騰徑段；而采用動態(tài)冪系數(shù)時，各已知點(diǎn)附近形成的點(diǎn)群范圍較小，在階梯分布的已知點(diǎn)附近也可以獲得更為平緩的過渡。

3.3 點(diǎn)群分布對比

對3.1中獲得的采樣點(diǎn)，在已知點(diǎn)相鄰的區(qū)域中查找與其數(shù)值相近的采樣點(diǎn)作為點(diǎn)群。規(guī)定采樣點(diǎn)值與該已知點(diǎn)值之差不超過所有已知點(diǎn)最大值與最小值的差的某個百分比時，視為數(shù)值相近。百分比分別取0.1%、0.5%、1%時，3種方案獲得的點(diǎn)群如圖9～圖11所示，點(diǎn)群占所有采樣點(diǎn)的比值見表2。

a) 冪系數(shù)2

a) 冪系數(shù)2

a) 冪系數(shù)2

表2 3種方案點(diǎn)群占采樣點(diǎn)比值 %

從圖9～圖11及表2可見，當(dāng)取權(quán)重冪系數(shù)2時，由于在附近插值點(diǎn)中的權(quán)重衰減過快，許多已知點(diǎn)在插值面上形成高凸的峰形。其點(diǎn)群是最小的，并且其點(diǎn)群容易形成蝌蚪狀尾巴，如深渡水、司前、中心桃，最夸張的是圖11a)中中心桃的點(diǎn)群，已經(jīng)繞到隘子的背后了，此時在隘子南部已經(jīng)沒有已知點(diǎn)了，該部分插值點(diǎn)應(yīng)當(dāng)更多地考慮隘子的權(quán)重，顯然在此處的插值是不合理的。另外兩種方案下的點(diǎn)群一般呈團(tuán)狀，即便有蝌蚪狀尾巴長度也較短，基本能在附近的插值點(diǎn)中保留已知點(diǎn)的特征。

當(dāng)取權(quán)重冪系數(shù)4時，點(diǎn)群是最大的，即使只考慮0.1%范圍內(nèi)的點(diǎn)群也占到了所有采樣點(diǎn)的9.8%，已知點(diǎn)附近的插值面非常平坦，呈圓臺狀，這又會導(dǎo)致點(diǎn)群間的過渡陡峭，整體分布不夠平緩，與上文中的結(jié)論一致。

采用動態(tài)冪系數(shù)時在一定程度上規(guī)避了前兩種方案的缺點(diǎn)，但是在圖9c)中，司前、中心桃的點(diǎn)群是不連續(xù)的，原因是已知點(diǎn)附近位置特征值過高，導(dǎo)致在遠(yuǎn)離已知點(diǎn)的過程中實(shí)際權(quán)重先迅速減小然后再增大，使得該處插值點(diǎn)的分布也出現(xiàn)了一定的反曲波動。

4 結(jié)語

通過對比3種方案的插值結(jié)果，認(rèn)為：當(dāng)取用小的冪系數(shù)時(冪系數(shù)2)，已知點(diǎn)在其附近插值點(diǎn)中的權(quán)重衰減迅速，大部分的插值點(diǎn)會偏向所有已知點(diǎn)平均值，無法保留其附近已知點(diǎn)的特征；取用大的冪系數(shù)時(冪系數(shù)4)，已知點(diǎn)在其附近插值點(diǎn)中的權(quán)重衰減緩慢，已知點(diǎn)附近形成與其值相近的點(diǎn)群，各點(diǎn)群間有陡峭的過渡；而當(dāng)取用動態(tài)冪系數(shù)時，插值點(diǎn)在能較好保留附近已知點(diǎn)特征的同時，在不同的已知點(diǎn)之間也能形成平緩的過渡，更加接近現(xiàn)實(shí)中降水分布的情況，模擬效果較好。雖然已知點(diǎn)附近可能出現(xiàn)反曲波動，但是波動的范圍、數(shù)值都較小，在實(shí)際應(yīng)用中可以忽略不計。

雖然本文中動態(tài)冪系數(shù)的計算過程較為復(fù)雜，但反距離權(quán)重插值法本身計算量大，僅適用于借助計算機(jī)計算的情景。在計算機(jī)的協(xié)助下，該計算過程仍然可以高效地完成。此方法可用于推算降水觀測站點(diǎn)分布不均勻的區(qū)域降水量、以鄰近站點(diǎn)推算無降水觀測的小區(qū)域降水量，也可用于洪水預(yù)報中降水分布等分析。