抽油桿三維力學(xué)模型的建立與應(yīng)用

薛 軍，陳春坤，楊振迎，王 剛，李 艷，李 莎

（中國石油長慶油田分公司第九采油廠，寧夏銀川 750006）

長慶油田某廠水平井開井111 口，日產(chǎn)液9.77 m3，日產(chǎn)油3.23 t，含水56.1%，平均生產(chǎn)參數(shù)：沖程2.8 m、沖次4.4 min-1、泵徑39 mm，平均泵效39.19%，平均泵掛1 577 m，動液面1 331 m。2018 年以來，水平井由于桿柱故障上修134 井次，累計影響油量852 t。其中桿斷87 井次，占比64.9%，影響油量625 t；2021 年截止8月底，水平井共上修70 井次，維護(hù)作業(yè)頻次0.95 井次/井·年，遠(yuǎn)高于全廠平均頻次（0.53 井次/井·年），其中抽油桿斷上修31 井次，占比44%，影響油量205 t，是影響水平井產(chǎn)能發(fā)揮的主要因素。

其中桿斷位置主要集中在泵上600 m（46 井次、57.5%），即水平井桿柱組合中和點(diǎn)區(qū)域及以下。在上下沖程，中和點(diǎn)區(qū)域及以下抽油桿柱受到大小、方向隨時間呈周期性變化的載荷作用，增加了桿柱疲勞。桿斷井泵徑主要為44 mm 和56 mm；沖次在5 min-1以上的43 井次（53.8%），其中斷桿服役時間小于3 年的37 井次（86.0%），泵效低于50%的27 井次（67.8%）。

因此有必要建立抽油桿柱受力模型進(jìn)一步分析井眼軌跡、泵徑、沖次、桿柱組合與水平井桿斷之間的關(guān)系，從而為水平井生產(chǎn)參數(shù)調(diào)整和加重桿的使用提供依據(jù)，為水平井桿斷防治提供參考。

1 抽油桿三維力學(xué)模型的建立

1.1 井眼軌跡的計算

鉆井過程中只能每隔一定長度測量一次井身參數(shù)，為確定相鄰兩個已知測點(diǎn)之間任意一點(diǎn)處的井斜角和方位角，采用分段插值精度高的、節(jié)點(diǎn)處光滑連續(xù)的三次樣條函數(shù)[1]。

三次樣條函數(shù)：函數(shù)S（x）∈C2[a，b]，且在每個子區(qū)間[xk，xk+1]上是三次多項(xiàng)式，其中a=x0＜x1＜...＜xn=b是給定節(jié)點(diǎn)，則稱S（x）是節(jié)點(diǎn)x0，x1，...，xn上的三次樣條函數(shù)。即將原始長序列分割成若干段，每段構(gòu)造一個三次函數(shù)，使得分段的銜接處具有二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的性質(zhì)（光滑銜接）[2-4]。

根據(jù)測得的井斜數(shù)據(jù)，將井斜角和方位角看作隨井深變化的函數(shù)。

設(shè)已知井段[a，b]，給定一組有序測點(diǎn)：井深：a=x0＜x1＜...＜xn=b

井斜角：α0，α1，α2，...，αn；方位角：φ0，φ1，φ2，...，φn

由此構(gòu)造三次樣條函數(shù)S（x）和Q（x），滿足以下條件：

（1）在區(qū)間[a，b]的每個子區(qū)間[xk，xk+1]上，S（x）和Q（x）是三次多項(xiàng)式；

（2）S（xk）=αk；Q（xk）=φk（k=1，2，3，...，n）；

（3）在區(qū)間[a，b]上，S（x）和Q（x）具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)。

利用MATLAB 編程求解得到三次樣條井斜角函數(shù)S（x）和三次樣條方位角函數(shù)Q（x），由此得到任意井深對應(yīng)的井斜角和方位角，即可得到完整的、光滑的井眼軌跡。

1.2 抽油桿受力模型的建立

1.2.1 上、下沖程抽油桿受力分析 在上沖程的過程中，游動閥關(guān)閉，固定閥打開，柱塞和液柱在抽油桿的帶動下向上運(yùn)動，抽油桿的受力（見圖1）。上沖程抽油桿柱受力均沿軸線方向向上，始終處于拉伸狀態(tài)。

圖1 抽油桿柱上沖程受力示意圖

在下沖程的過程中，游動閥打開，固定閥關(guān)閉，抽油桿的受力（見圖2）。下沖程抽油桿柱除重力外，其余力均沿軸線方向向上，因此上部分桿柱受拉，下部分桿柱受壓[5]。

圖2 抽油桿柱下沖程受力示意圖

1.2.2 井眼軌跡引起的抽油桿柱彎曲應(yīng)力 在水平井復(fù)雜的井眼軌跡下，桿柱會發(fā)生初彎曲，從而產(chǎn)生彎曲應(yīng)力，彎曲應(yīng)力越大，桿柱變形越嚴(yán)重[6-10]。

由平均角法，該段全角變化率Ki（狗腿度）為：

式中：Ki-第i 段全角變化率，rad/m；αi、φi、Li-分別為第i 個測斜點(diǎn)的井斜角、方位角和測深，rad，rad，m。

該段曲率半徑Ri為該段全角變化率Ki的倒數(shù)，即：Ri=

該段抽油桿受井眼軌跡影響的彎曲應(yīng)力為：

式中：σwi-第i 段桿柱受井眼軌跡影響的彎曲應(yīng)力，MPa；dri-第i 段桿柱直徑，mm；E-桿柱彈性模量，E=210 GPa。

1.2.3 油管對抽油桿柱的支持力 抽油桿柱在上下沖程均受到油管的支持力，通過力的分解計算得到支持力，支持力越大，桿柱所受摩擦力越大。

由幾何關(guān)系知，狗腿平面內(nèi)狗腿角β 與井斜角和方位角有如下關(guān)系：

式中：α1、α2、φ1、φ2為微元段兩端的井斜角，方位角，rad。

N1由力的平衡原理可得：

N2由抽油桿柱重力和浮力分解所得，即：

由此，油管對抽油桿柱的支持力Nrt為：

1.2.4 抽油桿柱任意點(diǎn)載荷計算 以沿抽油桿軸線方向向下為正方向，根據(jù)井眼軌跡數(shù)據(jù)，將抽油桿柱分成若干小段，自下而上采用分段迭代的方法計算抽油桿任意點(diǎn)載荷。

下沖程：P0down=-Pcp-Pv

1.2.5 抽油桿柱中和點(diǎn)計算 抽油桿柱在下行過程中，軸向力為零的點(diǎn)為抽油桿柱中和點(diǎn)。中和點(diǎn)以下桿柱容易發(fā)生正弦屈曲，甚至螺旋屈曲，在交變載荷作用造成桿柱結(jié)構(gòu)性損害，因此應(yīng)該降低中和點(diǎn)位置，使桿柱受壓段縮短[11]。

根據(jù)力的平衡原理可得：Pr'=Pd+Pcp+Prl+Pv+Prt

代入推導(dǎo)可得桿柱中和點(diǎn)計算公式：

2 影響因素敏感性分析

以X193 油藏SP10-9 井眼軌跡為例，取以下生產(chǎn)參數(shù)：沖程3.0 m、沖次5.0 min-1、泵徑44 mm，桿柱組合由下至上為Ф22×15%+Ф19×50%+Ф22×35%，泵掛1 631 m，動液面1 465 m，含水31.7%。

2.1 泵徑

分別取泵徑28 mm、32 mm、38 mm、44 mm、56 mm，代入抽油桿柱受力模型，分析泵徑對抽油桿柱受力的影響。隨著泵徑的增加，桿柱所受支持力增加，尤其是在造斜段，增幅明顯大于其他井段（見圖3）。

圖3 不同泵徑下桿柱支持力

2.2 沖次

分別取沖次為3.0 min-1、3.5 min-1、4.0 min-1、4.5 min-1、5.0 min-1、5.5 min-1，代入抽油桿柱受力模型，分析沖次對抽油桿柱受力的影響。沖次與上、下沖程慣性載荷呈明顯正相關(guān)關(guān)系，且沖次與桿柱懸點(diǎn)載荷關(guān)系曲線斜率呈緩慢上升趨勢（見圖4，圖5）。

圖4 不同沖次下上沖程桿柱慣性載荷

圖5 不同沖次下下沖程桿柱慣性載荷

隨著沖次的增加，桿柱最下端所受上沖程液柱慣性載荷、下沖程液體通過游動閥阻力呈增加趨勢。其中液柱慣性載荷數(shù)量級較小可忽略不計，沖次每增加0.5 min-1，在液體通過游動閥阻力作用下，中和點(diǎn)平均上移10.8 m。

2.3 桿柱組合

分別取底部Ф22 mm、Ф25 mm 和Ф32 mm 加重桿比例為15%～35%，計算對應(yīng)桿柱組合下中和點(diǎn)位置。隨著加重桿比例、桿徑增加，中和點(diǎn)位置下移；其中加重桿桿徑對中和點(diǎn)位置影響較大，組合比例對中和點(diǎn)位置影響較?。ㄒ妶D6）。

圖6 不同底部加重桿比例下桿柱中和點(diǎn)

3 實(shí)例驗(yàn)證

SP10-9 井為X193 區(qū)一口高產(chǎn)水平采油井，造斜點(diǎn)為1 000 m，井眼曲率（見圖7）。該井自投產(chǎn)后有三次桿斷井史，桿斷數(shù)據(jù)明細(xì)（見表1）。

表1 SP10-9 井三次桿斷數(shù)據(jù)統(tǒng)計表

圖7 SP10-9 井井眼曲率

將井眼連斜數(shù)據(jù)及三次桿斷數(shù)據(jù)代入抽油桿柱受力模型，計算桿柱彎曲應(yīng)力及三次桿斷桿柱支持力，桿柱彎曲變形最嚴(yán)重區(qū)域在造斜段，同時桿柱中和點(diǎn)也在該井段，說明該段為桿斷危險井段；而實(shí)際桿斷位置也在該井段，從而有效驗(yàn)證了模型可行性（見圖8）。

圖8 SP10-9 井桿柱彎曲應(yīng)力及桿柱支持力

4 結(jié)論與認(rèn)識

（1）根據(jù)井斜數(shù)據(jù)構(gòu)造三次樣條插值函數(shù)，利用MATLAB 編程求解得到了完整的、光滑的井眼軌跡；建立了考慮三維空間井眼軌跡、生產(chǎn)參數(shù)、桿柱組合、抽油泵及產(chǎn)出流體影響的水平井抽油桿柱受力模型。

（2）通過井眼軌跡、桿柱受力模型和中和點(diǎn)計算，可以分析和確定桿斷風(fēng)險區(qū)（桿柱彎曲應(yīng)力集中區(qū)域和中和點(diǎn)區(qū)域以下），為水平井加重桿設(shè)計和超高強(qiáng)度抽油桿配套位置提供參考。

（3）大泵徑和高沖次會使得桿柱中和點(diǎn)上移，增加桿斷風(fēng)險，因此應(yīng)該在合理泵效下開展水平井生產(chǎn)參數(shù)調(diào)整優(yōu)化；底部加重桿桿徑增加，有利于縮短下沖程桿柱受壓長度，降低桿斷風(fēng)險。