工業(yè)機(jī)器人軌跡規(guī)劃研究

張小紅

（平頂山技師學(xué)院 河南·平頂山 467000）

工業(yè)機(jī)器人必須要經(jīng)過一個(gè)設(shè)定好的路徑才能完成一項(xiàng)任務(wù)，到達(dá)工作點(diǎn)之后進(jìn)行作業(yè)，因此要提前規(guī)劃工業(yè)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)路徑。軌跡規(guī)劃的好壞是保證工業(yè)機(jī)器人是否能夠準(zhǔn)確的運(yùn)動(dòng)從而完成特定任務(wù)的基礎(chǔ)，因此需要設(shè)計(jì)一條軌跡最大程度上能夠接近目標(biāo)路徑，使機(jī)器人的初始位態(tài)經(jīng)過實(shí)際路徑到達(dá)用戶給予的目標(biāo)位態(tài)，然后求出各關(guān)節(jié)的速度、加速度以及位置的過程[2]。一個(gè)好的軌跡規(guī)劃方法，不僅可大大提高機(jī)器人的工作效率，還能夠保證機(jī)器人穩(wěn)定準(zhǔn)確的運(yùn)行，并且降低了機(jī)器人各關(guān)節(jié)之間的磨損。

1 關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃方法

工業(yè)機(jī)器人軌跡規(guī)劃方法主要有：關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃和笛卡爾空間軌跡規(guī)劃。關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃就是把機(jī)器人的關(guān)節(jié)變量轉(zhuǎn)換成和時(shí)間有關(guān)的函數(shù)，再對(duì)六軸機(jī)器人的角速度和角加速度進(jìn)行約束。笛卡爾空間軌跡規(guī)劃是將在笛卡爾空間中機(jī)器人末端的位移、速度和加速度轉(zhuǎn)換成時(shí)間的函數(shù)。現(xiàn)主要研究關(guān)節(jié)空間中軌跡規(guī)劃。

機(jī)器人運(yùn)動(dòng)中所經(jīng)過的點(diǎn)通常由其在空間中的位置表示，因此在路徑規(guī)劃之前，首先，利用逆運(yùn)動(dòng)學(xué)將運(yùn)動(dòng)路線中的點(diǎn)變換為角度值，再操作每個(gè)關(guān)節(jié)進(jìn)行函數(shù)擬合，以便函數(shù)盡可能地通過所有預(yù)設(shè)點(diǎn)，到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)完成工作任務(wù)。雖然擬合的每段軌跡之間沒有相關(guān)性，但為保證每個(gè)桿件都可以同時(shí)到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)，就要使每個(gè)關(guān)節(jié)有相同的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，以使機(jī)器人達(dá)到預(yù)期的位姿狀態(tài)并完成工作任務(wù)。

關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃方法是用關(guān)節(jié)角度的函數(shù)來描述機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)路線，所以起始點(diǎn)和目標(biāo)點(diǎn)之間的形狀是不需要考慮的。要對(duì)關(guān)節(jié)空間進(jìn)行路徑規(guī)劃，先要知道機(jī)器人的起點(diǎn)和終點(diǎn)相對(duì)于基坐標(biāo)系的位置和姿態(tài)，再求解它的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)，得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)各關(guān)節(jié)的角度值，并選擇插值函數(shù)進(jìn)行擬合和插值，得出機(jī)器人末端的瞬時(shí)角位移、速度和加速度隨時(shí)間變化的曲線。當(dāng)對(duì)機(jī)器人關(guān)節(jié)插值時(shí)，某些約束應(yīng)滿足，比如：開始點(diǎn)、放下點(diǎn)和終止點(diǎn)，對(duì)于這些點(diǎn)的位姿、速度以及加速度的情況要求已知，另外各個(gè)關(guān)節(jié)的角位移、速度和加速度還需確保連續(xù)平滑。上述條件在滿足以后，就可以規(guī)劃?rùn)C(jī)器人的運(yùn)動(dòng)軌跡，在規(guī)劃過程中通過選用不同的插值函數(shù)，此時(shí)就得到不同的軌跡曲線。

在關(guān)節(jié)空間中插值的時(shí)候，可依據(jù)設(shè)計(jì)變換函數(shù)，較為常用的插值函數(shù)為三次多項(xiàng)式插值、五次多項(xiàng)式插值和拋物線過渡的線性插值函數(shù)。插值函數(shù)選用的不同得到的運(yùn)動(dòng)軌跡也不一樣，比如使用三次多項(xiàng)式插值，雖然運(yùn)算過程相對(duì)簡(jiǎn)單些，但得到的軌跡有出現(xiàn)不連續(xù)情況的可能。而使用五次多項(xiàng)式插值就不會(huì)出現(xiàn)這種現(xiàn)象，雖然它的插值計(jì)算方法和三次多項(xiàng)式類似，但是能得到相對(duì)比較平滑的軌跡。拋物線過渡的線性插值函數(shù)是在簡(jiǎn)單線性插值函數(shù)基礎(chǔ)上改進(jìn)的方法，使簡(jiǎn)單線性插值函數(shù)在起點(diǎn)和終點(diǎn)處出現(xiàn)的問題得以改善。

1.1 三次多項(xiàng)式插值

三次多項(xiàng)式插值多用于機(jī)器人起點(diǎn)和終點(diǎn)速度為零的情形，限制關(guān)節(jié)在起點(diǎn)和終點(diǎn)的角度值，確定機(jī)器人運(yùn)動(dòng)路徑兩端點(diǎn)的位置角速度為定值。設(shè)關(guān)節(jié)角滿足以下式子。

指定三項(xiàng)插值的經(jīng)過點(diǎn)，經(jīng)過MATLAB仿真得出三項(xiàng)插值的位置、速度和加速度[3]圖形如圖1所示。由圖可知，只要給定離散點(diǎn)的位置速度和時(shí)間，就可以插補(bǔ)出一段連續(xù)平滑的曲線。但是此種方法的角加速度并不是連續(xù)的，因此對(duì)于需要考慮角加速度的運(yùn)動(dòng)，此種方法并不適用。

圖1：三次多項(xiàng)式的位置、速度和角加速度

1.2 五次多項(xiàng)式插值

利用三次多項(xiàng)式插值，根據(jù)經(jīng)過點(diǎn)的軌跡的特點(diǎn)得出位置和速度是連續(xù)的，但是加速度是不連續(xù)的。雖然三次多項(xiàng)式預(yù)定的軌跡有一定“平滑”，但是這種方法對(duì)一些動(dòng)力學(xué)和慣性載荷的應(yīng)用會(huì)產(chǎn)生影響。想要得到連續(xù)的加速度軌跡，位置和速度要有合適的初始和終止條件，以及合適的初始和終止加速度值。這樣方式有六個(gè)邊界條件，因此需要采用五次多項(xiàng)式。

在五次多項(xiàng)式插值中，角位移、角速度和角加速度的函數(shù)表達(dá)式可表示為：

相對(duì)于三次多項(xiàng)式插值方法，增加了對(duì)起始點(diǎn)的角速度的約束。

指定的五階多項(xiàng)式插值的經(jīng)過點(diǎn)，通過MATLAB仿真得出五次多項(xiàng)式插值的位置、速度和角加速度如圖2所示。由圖可知，角加速度是連續(xù)的，并沒有跳變情況出現(xiàn)。

圖2：五次多項(xiàng)式插值下的位置、速度和角加速度

2 結(jié)論

本文研究了關(guān)節(jié)空間中軌跡規(guī)劃的插值方法，即關(guān)節(jié)空間下的三次多項(xiàng)式插值和五次多項(xiàng)式插值，利用Matlab對(duì)三次多項(xiàng)式插值和五次多項(xiàng)式插值進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，通過仿真結(jié)果可以看出，五次多項(xiàng)式在加速度方面優(yōu)于三次多項(xiàng)式的結(jié)果。