高校解析幾何教學(xué)改革創(chuàng)新的探索

曾眺英

關(guān)鍵詞：高校;解析幾何;教學(xué)改革;科學(xué)技術(shù)

“解析幾何”是高等師范院校數(shù)學(xué)專業(yè)一門必修的基礎(chǔ)課。自20世紀(jì)50年代以來，“數(shù)學(xué)分析”“高等代數(shù)”“解析幾何”一直是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的入門三基課程，在教學(xué)安排中占據(jù)了重要地位以及較大的課時(shí)比例。解析幾何是在17世紀(jì)由法國數(shù)學(xué)家笛卡兒和費(fèi)馬共同創(chuàng)立的，《幾何學(xué)》的問世是解析幾何學(xué)產(chǎn)生的重要標(biāo)志。關(guān)于解析幾何的重要性，美國著名數(shù)學(xué)史家M·克萊因曾說：“只要代數(shù)同幾何分道揚(yáng)鑣，它們的進(jìn)展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄。但是當(dāng)這兩門科學(xué)結(jié)合成伴侶時(shí)，它們就相互吸取新鮮的活力，從那以后，就以快速的步伐走向完善?！痹诖髮W(xué)數(shù)學(xué)的專業(yè)課學(xué)習(xí)中，解析幾何的學(xué)習(xí)不僅可以為數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)的一些研究提供幾何模型與背景，還為后續(xù)課程（高等幾何、微分幾何）的學(xué)習(xí)夯實(shí)基礎(chǔ)。對(duì)數(shù)學(xué)系師范生來說，解析幾何的課程學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生今后從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)具有積極重要的指導(dǎo)作用。

現(xiàn)在各院校數(shù)學(xué)系普遍使用的由蘇州大學(xué)的呂林根、許子道共同編寫的《解析幾何》是普通高等教育“十一五”國家級(jí)規(guī)劃教材。這本教材一共包含六章內(nèi)容：向量與坐標(biāo);軌跡與方程;平面與空間直線;柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面;二次曲線的一般理論;二次曲面的一般理論。按照我院“解析幾何”的課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定在大一上學(xué)期開設(shè)，4個(gè)學(xué)分，一共是70個(gè)課時(shí)。

十三屆全國人大四次會(huì)議3月11日表決通過了關(guān)于國民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展第十四個(gè)五年規(guī)劃和2035年遠(yuǎn)景目標(biāo)綱要的決議，決定批準(zhǔn)這個(gè)規(guī)劃綱要。綱要第十三篇指出，“提升國民素質(zhì)促進(jìn)人的全面發(fā)展”。其中第四十三章提到要提高高等教育質(zhì)量，要建立高水平現(xiàn)代教師教育體系，加強(qiáng)師德師風(fēng)建設(shè)，完善教師管理和發(fā)展政策體系，提升教師教書育人能力素質(zhì);深化新時(shí)代教育評(píng)價(jià)改革，建立健全教育評(píng)價(jià)制度和機(jī)制，發(fā)展素質(zhì)教育，更加注重學(xué)生愛國情懷、創(chuàng)新精神和健康人格培養(yǎng)，發(fā)揮在線教育優(yōu)勢(shì)，完善終身學(xué)習(xí)體系，建設(shè)學(xué)習(xí)型社會(huì)。2019年教育部關(guān)于深化本科教育教學(xué)改革全面提高人才培養(yǎng)質(zhì)量的意見中指出：全面提高課程建設(shè)質(zhì)量。立足經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展需求和人才培養(yǎng)目標(biāo)，優(yōu)化公共課、專業(yè)基礎(chǔ)課和專業(yè)課比例結(jié)構(gòu)，加強(qiáng)課程體系整體設(shè)計(jì)，提高課程建設(shè)規(guī)劃性、系統(tǒng)性，避免隨意化、碎片化，堅(jiān)決杜絕因人設(shè)課;嚴(yán)把考試和畢業(yè)出口關(guān)。完善過程性考核與結(jié)果性考核有機(jī)結(jié)合的學(xué)業(yè)考評(píng)制度，綜合應(yīng)用筆試、口試、非標(biāo)準(zhǔn)答案考試等多種形式，科學(xué)確定課堂問答、學(xué)術(shù)論文、調(diào)研報(bào)告、作業(yè)測(cè)評(píng)、階段性測(cè)試等過程考核比重。

目前雖然高校已經(jīng)越來越重視課堂教學(xué)，但是高校解析幾何課程依然存在一些問題：缺乏對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體把控并且在相關(guān)知識(shí)背景的延伸以及后續(xù)課程的連貫性方面做得不夠好;教師們的教學(xué)理念陳舊、教學(xué)方法和教學(xué)內(nèi)容相對(duì)落后;在教學(xué)過程中，有多次運(yùn)算需要用到高等代數(shù)的知識(shí)，由于“高等代數(shù)”內(nèi)容設(shè)置原因相關(guān)內(nèi)容還沒有講到，致使教學(xué)內(nèi)容不夠嚴(yán)謹(jǐn)，課堂效果受到影響。以筆者所在高校為例，解析幾何的教學(xué)方面還存在的問題有：教學(xué)課時(shí)偏少，只有理論教學(xué)而忽視了實(shí)踐教學(xué)，不利于應(yīng)用型人才的培養(yǎng);盡管教師隊(duì)伍的數(shù)量和結(jié)構(gòu)變化改善了很多，但是幾何師資團(tuán)隊(duì)力量依然薄弱，在繁重的教學(xué)任務(wù)之下，老師們疲于授課，教學(xué)質(zhì)量受到一定程度的影響。

我們國家的著名數(shù)學(xué)家姜伯駒院士曾說：“隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)課程要不斷改革，其中以幾何課程的改革問題爭議最多，難度最大，中國如此，外國也如此?！睅缀握n程教學(xué)改革已經(jīng)成為一個(gè)嚴(yán)肅而重要的話題。解析幾何在高等數(shù)學(xué)課程體系中是很重要的。在科學(xué)技術(shù)迅猛發(fā)展的今天，解析幾何學(xué)科在園林藝術(shù)、建筑設(shè)計(jì)、燈光設(shè)計(jì)等方面得到了廣泛的應(yīng)用。在新形勢(shì)下，國內(nèi)不少學(xué)者的解析幾何課程教學(xué)改革方面也有不少成果。筆者在本文中結(jié)合所在高校教學(xué)中存在的一些問題，談幾點(diǎn)關(guān)于解析幾何教學(xué)改革創(chuàng)新方面的建議。

一、立足于課程目標(biāo)

廣義的課程目標(biāo)：在廣義上的課程目標(biāo)的涵義定位于教育與社會(huì)的關(guān)系，是一個(gè)比較大的視角，涵蓋面是全層次的。它即是教育意圖，包含了“教育方針”“教育目的”“培養(yǎng)目標(biāo)”“課程教學(xué)目的”和“教學(xué)目標(biāo)”。

課程目標(biāo)是預(yù)先確定的要求學(xué)生通過某門課程的學(xué)習(xí)所應(yīng)達(dá)到的學(xué)習(xí)結(jié)果，這種結(jié)果表現(xiàn)為學(xué)生在課程相關(guān)素質(zhì)或特征方面的變化。課程目標(biāo)是指導(dǎo)課程設(shè)置、編排、實(shí)施和評(píng)價(jià)的整個(gè)過程的準(zhǔn)則，也是課程自身性質(zhì)和理念的體現(xiàn)。

目前我院的解析幾何課程目標(biāo)主要有以下四個(gè)方面：

課程目標(biāo)1：掌握向量及其運(yùn)算的基本概念、基本理論，掌握常見特殊空間曲面、曲線的基本性質(zhì)及圖形，會(huì)求其方程，會(huì)判斷相關(guān)位置。掌握二次曲線的基本性質(zhì)和知識(shí)體系，為高等代數(shù)、數(shù)學(xué)分析的一些研究提供幾何模型與背景，為后繼課程及其他相關(guān)學(xué)科的學(xué)習(xí)夯實(shí)基礎(chǔ)。

課程目標(biāo)2：理解重要定理、例子的證明、求解及應(yīng)用。培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和空間想象力，訓(xùn)練學(xué)生的表達(dá)能力、計(jì)算能力和解決問題的基本技能，提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力。

課程目標(biāo)3：了解解析幾何的形成背景、發(fā)展過程，強(qiáng)化將幾何問題代數(shù)化的基本思想，深入理解數(shù)形結(jié)合的思想方法，掌握研究空間圖形的方法，及由特殊到一般，具體到抽象的研究方法。提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題進(jìn)而獲取新知識(shí)的思維方法，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)與終身學(xué)習(xí)能力。

課程目標(biāo)4：通過課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生對(duì)中學(xué)幾何有關(guān)內(nèi)容從理論上有更深刻的認(rèn)識(shí)，能夠從更高的角度看待和處理中學(xué)數(shù)學(xué)問題，從而培養(yǎng)學(xué)生的專業(yè)發(fā)展意識(shí);同時(shí)，了解解析幾何與數(shù)學(xué)其他分支、物理學(xué)、工程學(xué)的聯(lián)系，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心，激發(fā)學(xué)生終身學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)學(xué)生的職后發(fā)展能力。

課程目標(biāo)是學(xué)生學(xué)習(xí)的終點(diǎn)，課程目標(biāo)與畢業(yè)要求是密切相關(guān)的。只有明確了課程目標(biāo)，才能有助于確定課程與教育目的之間的銜接關(guān)系，從而確定課程編制的方向，才能有助于選擇和組織相關(guān)的課程內(nèi)容，并且可以作為課程事實(shí)的依據(jù)和課程評(píng)價(jià)的準(zhǔn)則，立足課程目標(biāo)才能促進(jìn)優(yōu)化教學(xué)。

二、優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容

由于師范專業(yè)與非師專業(yè)（信息技術(shù)、統(tǒng)計(jì)學(xué)）的課程目標(biāo)與畢業(yè)要求是不太一樣的，為做到因材施教，我院師范專業(yè)學(xué)生使用的教材是呂林根、許子道編的2019年第5版的《解析幾何》;而非師范專業(yè)已經(jīng)將解析幾何內(nèi)容與高等代數(shù)融合在一起使用的是高等教育出版社的《高等代數(shù)與解析幾何》。我們現(xiàn)在師范班用的這個(gè)書本是全國優(yōu)秀教材，編寫時(shí)間比較早且已經(jīng)使用了20多年，雖然經(jīng)過了多次修訂，但是修改內(nèi)容偏少且有一部分內(nèi)容是比較陳舊了。

解析幾何是用幾何的方法解決代數(shù)的問題，所以其中有不少內(nèi)容是和高等代數(shù)的知識(shí)聯(lián)系在一起的。特別是在解析幾何的第一章有好幾處出現(xiàn)了行列式的知識(shí)，然而教材上只是以附錄的形式簡單介紹了行列式的定義以及一些性質(zhì)，并沒有在相應(yīng)的位置將行列式的內(nèi)容以知識(shí)點(diǎn)的形式進(jìn)行介紹說明。這樣學(xué)生理解起來是有一定困難的。因此任課老師要注意將行列式、矩陣和線性方程組的相關(guān)知識(shí)在課堂補(bǔ)充講解，讓學(xué)生先吃透相應(yīng)的代數(shù)內(nèi)的證明過程又用到了齊次線性方程組有非零解的充要條件為其系數(shù)行列式等于零的內(nèi)容。那么教師們?cè)谥v解這部分內(nèi)容的時(shí)候需要注意補(bǔ)充行列式的概念、性質(zhì)以及線性方程組求解等知識(shí)，并且注意舉例子進(jìn)行說明便于學(xué)生理解。此外，1.5節(jié)關(guān)于三個(gè)非零向量共面的充要條件以及1.8節(jié)向量積的運(yùn)算都是類似情況。

談到對(duì)解析幾何內(nèi)容的優(yōu)化，必須注意有主要與次要的區(qū)別。教師們要從大局上把握需要整合和優(yōu)化的內(nèi)容。課時(shí)是有限的，考慮到第一章不少知識(shí)學(xué)生已經(jīng)在高中時(shí)候?qū)W過，那么我們可以重點(diǎn)講解詮釋第3、4章。除此之外，教師們需注意課堂內(nèi)容的優(yōu)化和課后練習(xí)的整合，課堂講解要注意數(shù)形結(jié)合并且做到精選教材中的課后習(xí)題，讓學(xué)生們把幾何基礎(chǔ)打扎實(shí)。

三、改革教學(xué)方法

首先，適當(dāng)在解析幾何課程教學(xué)中穿插數(shù)學(xué)史的內(nèi)容。在很多人看來，數(shù)學(xué)是一門枯燥無味的學(xué)科，而這從某種程度上說是因?yàn)槲覀兊慕滩慕榻B的往往是一些相對(duì)不變而又僵化的數(shù)學(xué)內(nèi)容。如果在講解數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)適當(dāng)?shù)貪B透一點(diǎn)數(shù)學(xué)史內(nèi)容，會(huì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而有助于學(xué)生深化相關(guān)概念和原理的認(rèn)識(shí)。例如在介紹緒論的時(shí)候，可以給學(xué)生們介紹解析幾何這門學(xué)科產(chǎn)生的時(shí)間和歷史，以及這門學(xué)科產(chǎn)生的重要意義。在介紹2.1節(jié)旋輪線的時(shí)候，可以跟學(xué)生說說“幾何學(xué)中的海倫”的故事。而在講解1.5節(jié)“標(biāo)架與坐標(biāo)”的時(shí)候，關(guān)于“笛卡兒標(biāo)架”“笛卡兒坐標(biāo)系”的內(nèi)容，可以給學(xué)生講一些關(guān)于數(shù)學(xué)家笛卡兒的故事。笛卡兒是法國著名的數(shù)學(xué)家，從小喜歡思考，博覽群書。關(guān)于笛卡兒創(chuàng)立解析幾何有個(gè)傳說，是講他有一天晨思時(shí)看見蒼蠅在天花板在爬行，由此產(chǎn)生了關(guān)于解析幾何的設(shè)想。笛卡兒善于思考、敢于探索真理的科學(xué)精神能夠鞭策激勵(lì)學(xué)生。

其次，要善用多媒體輔助教學(xué)。解析幾何課程內(nèi)容有抽象理論也有直觀圖形，很多圖形靠傳統(tǒng)的黑板手工繪畫既花費(fèi)時(shí)間又不能達(dá)到好的直觀效果。對(duì)邏輯性稍強(qiáng)的內(nèi)容如第一章的向量與坐標(biāo)，適合用黑板教學(xué)為逐步推導(dǎo)和演算;對(duì)于后面的平面曲線、曲面、旋轉(zhuǎn)面及二次曲面等空間圖形就需要多使用PPT課件展示給學(xué)生，便于直觀的理解并且給課堂教學(xué)增添樂趣。例如在講解第4.5節(jié)拋物面知識(shí)時(shí)，需要利用平行截法，通過平行平面的截口形狀來介紹曲面的圖形。這時(shí)，教師們可以采用多媒體動(dòng)畫分別演示平行于三個(gè)不同坐標(biāo)面的平面截拋物面所得到的平面曲線，通過這個(gè)動(dòng)態(tài)過程來研究曲面圖形形成的本質(zhì)。

再次，要加強(qiáng)學(xué)生的實(shí)踐能力。在科學(xué)技術(shù)技迅猛發(fā)展的今天，本科教育需要培養(yǎng)應(yīng)用型創(chuàng)新人才。課堂上教師不能單純地一直在講課，還需要讓學(xué)生參與進(jìn)來，培養(yǎng)他們的實(shí)踐能力，讓理論和實(shí)踐相互結(jié)合。教師們可以適當(dāng)?shù)鼐幹茖?shí)驗(yàn)手冊(cè)，安排一點(diǎn)實(shí)驗(yàn)課給學(xué)生。要讓學(xué)生會(huì)通過數(shù)學(xué)軟件繪制出解析幾何教材中的一些立體圖形，比如球面、環(huán)面、橢圓拋物面等，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，鍛煉實(shí)際操作能力。另外還可以讓學(xué)生制作手工幾何模型，比如可以讓學(xué)生們課后試著手工制作旋轉(zhuǎn)橢球面、單葉雙曲面、工藝品設(shè)計(jì)等，培養(yǎng)他們的動(dòng)手能力和創(chuàng)新思維。

四、建立多元化評(píng)價(jià)模式

我校師范專業(yè)解析幾何課程原來的成績?cè)u(píng)價(jià)方式是平時(shí)成績占30%，期末卷面成績占70%。這種評(píng)定方式的期末成績占比偏高，會(huì)讓大部分學(xué)生不注重平時(shí)的積累而過分把成績寄托在期末考試，往往造成學(xué)生精神壓力或者個(gè)別同學(xué)考試作弊。在新形勢(shì)下的現(xiàn)代教學(xué)應(yīng)該把學(xué)習(xí)過程和集中考試結(jié)合起來，增加平時(shí)成績的多元化以及在總成績中的占比。

目前我校師范專業(yè)解析幾何的成績?cè)u(píng)價(jià)方式是總成績=課堂出勤（10%）+平時(shí)作業(yè)（20%）+期中測(cè)試（10%）+期末考試（60%）。其中出勤的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是：根據(jù)學(xué)生上課出勤情況（1）全勤100分;（2）曠課一次扣10分;（3）遲到、早退、事假一次扣5分;（4）病假、公假、喪假不扣分。而平時(shí)表現(xiàn)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是：一個(gè)教學(xué)班分成兩個(gè)小組，每次批改其中一個(gè)小組的作業(yè)。根據(jù)學(xué)生作業(yè)完成程度（正確率、認(rèn)真程度、獨(dú)立完成）來打分，同時(shí)根據(jù)學(xué)生參加課堂討論和回答問題等綜合評(píng)價(jià)。通過這種評(píng)價(jià)方式的改革，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣大大提高了、主觀學(xué)習(xí)性也得到增強(qiáng)，培養(yǎng)了學(xué)生們的綜合素質(zhì)和應(yīng)用能力。

我們還根據(jù)學(xué)生的課堂表現(xiàn)、作業(yè)、平時(shí)測(cè)驗(yàn)和期末考試情況及教學(xué)督導(dǎo)的反饋，檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)本課程涉及的學(xué)科素養(yǎng)和學(xué)會(huì)反思的達(dá)成情況，及時(shí)對(duì)教學(xué)中的不足之處進(jìn)行改進(jìn)，調(diào)整教學(xué)指導(dǎo)策略;根據(jù)學(xué)生的課堂表現(xiàn)、平時(shí)作業(yè)、平時(shí)測(cè)驗(yàn)及期末考試成績，檢驗(yàn)本課程所支撐的畢業(yè)要求分解指標(biāo)點(diǎn)的達(dá)成度情況;根據(jù)解析幾何所支撐的畢業(yè)要求分解指標(biāo)點(diǎn)的達(dá)成度情況，參考優(yōu)秀專業(yè)經(jīng)驗(yàn)，在學(xué)院教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)指導(dǎo)下，重新修訂本課程大綱，實(shí)現(xiàn)持續(xù)改進(jìn)。

五、結(jié)語

解析幾何是數(shù)學(xué)專業(yè)的重要入門課程。目前我校解析幾何課程改革得到了一定的效果，學(xué)生的空間想象能力、動(dòng)手操作能力、理論聯(lián)系實(shí)踐能力都有所提高。我們?nèi)匀灰獔?jiān)持教學(xué)改革和創(chuàng)新，不斷改進(jìn)解析幾何課程的教學(xué)。為了更好地促進(jìn)解析幾何課程建設(shè)，后面我們會(huì)注意將數(shù)學(xué)建模思想融入解析幾何的教學(xué)，提升學(xué)生們利用解析幾何知識(shí)解決實(shí)際生活問題的能力。同時(shí)也要及時(shí)引進(jìn)人才，增強(qiáng)幾何教學(xué)團(tuán)隊(duì)的師資力量，促進(jìn)教師之間的交流與合作，提升教師的專業(yè)素質(zhì)以及教學(xué)能力。只有破除傳統(tǒng)陳舊的育人模式的局限性，不斷堅(jiān)持教學(xué)改革、與時(shí)俱進(jìn)，才能培養(yǎng)出新形勢(shì)下的高質(zhì)量綜合型人才。