數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的內(nèi)涵、特點與培養(yǎng)路徑探研

摘 要：數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力具體體現(xiàn)在“運算能力、空間觀念、數(shù)據(jù)分析觀念、推理能力和模型思想”等方面，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的核心成分與外在表現(xiàn)，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵性素養(yǎng)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育中數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)是重點。文章分析數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的內(nèi)涵及特點，闡述教師對數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的認(rèn)識誤區(qū)，從聚焦知識、經(jīng)歷過程、類化經(jīng)驗三個方面入手來探尋培養(yǎng)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的有效路徑，旨在促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);關(guān)鍵能力;內(nèi)涵;特點;能力培養(yǎng)

中圖分類號：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號：1008-3561（2022）03-0064-03

數(shù)學(xué)知識是人類智慧的結(jié)晶，是人類生產(chǎn)生活的重要工具。數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力是數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)意識的集中體現(xiàn)。實際上，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一項重要任務(wù)就是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力有利于培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，提升學(xué)生學(xué)習(xí)效率;有利于引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)問題，用數(shù)學(xué)的思維分析和解決問題，增強學(xué)生的數(shù)學(xué)意識，提高學(xué)生的實踐應(yīng)用能力。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師對數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的內(nèi)涵、特點與培養(yǎng)路徑仍存在認(rèn)識誤區(qū)。因此，教師有必要探究并掌握數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的內(nèi)涵和特點，只有這樣，才能在教學(xué)活動中有目的、有計劃地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力。

一、數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的內(nèi)涵

關(guān)于“數(shù)學(xué)能力”，心理學(xué)家克魯捷茨基認(rèn)為數(shù)學(xué)能力是指能較為迅速、容易并透徹地掌握數(shù)學(xué)知識、技能和習(xí)慣的心理特征，而“關(guān)鍵”是指事物最緊要的部分。因此，一般認(rèn)為數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力是指能較為迅速、容易并透徹地掌握數(shù)學(xué)知識、技能和習(xí)慣的那些重要的心理特征。根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版》的課程內(nèi)容及培養(yǎng)目標(biāo)，結(jié)合新課標(biāo)提出的“十大核心概念”，筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力是指在數(shù)學(xué)知識的積累，數(shù)學(xué)方法的掌握、運用和內(nèi)化的過程中，學(xué)生以數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，用數(shù)學(xué)的思維分析問題，用數(shù)學(xué)的方法解決問題的能力。其主要包括抽象能力、推理能力、建模能力。

二、數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的特點

1.本質(zhì)性

數(shù)學(xué)基本思想可歸結(jié)為抽象思想、推理思想、建模思想，而數(shù)學(xué)能力作為數(shù)學(xué)思想形成的載體，是在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展和應(yīng)用過程中逐步積累、類化而形成的，由此我們可以把數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力歸結(jié)為抽象能力、推理能力、建模能力。它們是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)，決定著學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成效和后勁。通過培養(yǎng)學(xué)生這三種數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，可以不斷改進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)樣態(tài)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，從而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育落地生根。

第一，抽象能力，是在數(shù)學(xué)概念的形成中產(chǎn)生的。數(shù)學(xué)抽象能力是一種高層次的數(shù)學(xué)思維能力，它具體包括分類能力、分析能力、符號化能力等，這些能力都是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可或缺的能力，只有掌握了這些能力，學(xué)生才能準(zhǔn)確地發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題。因此，教師幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中養(yǎng)成抽象概括能力是十分重要的。

第二，推理能力，是在數(shù)學(xué)知識的發(fā)展中產(chǎn)生的。數(shù)學(xué)中的推理能力是指正確地運用思維規(guī)律和形式對數(shù)學(xué)對象的屬性或數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分析綜合、推理證明的能力。它具體包括合情推理、演繹推理。

第三，建模能力，是在數(shù)學(xué)應(yīng)用的過程中產(chǎn)生的。數(shù)學(xué)中的建模能力是指學(xué)生利用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的一種實踐能力。即通過抽象、簡化、假設(shè)、引進(jìn)變量等處理過程后，將實際問題用數(shù)學(xué)方式表達(dá)出來，建立起數(shù)學(xué)模型，然后運用先進(jìn)的數(shù)學(xué)方法及計算機技術(shù)進(jìn)行求解。數(shù)學(xué)建模將各種知識綜合應(yīng)用于解決實際問題中，是培養(yǎng)和提高學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力的必備手段之一。

2.穩(wěn)定性

穩(wěn)定性是指數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力不僅有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解和掌握，還培養(yǎng)了學(xué)生邏輯思考和綜合分析的能力，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的學(xué)習(xí)和培養(yǎng)，會使學(xué)生終身受益。比如推理能力，作為數(shù)學(xué)的關(guān)鍵能力一旦形成，學(xué)生到了中學(xué)、大學(xué)，乃至走向工作崗位，都能夠有意識地運用數(shù)學(xué)推理解決實際問題，這就體現(xiàn)了數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的穩(wěn)定性。數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的穩(wěn)定性可以使學(xué)生在當(dāng)前或未來的生活中，會觀察、會思考、會分析。

3.關(guān)聯(lián)性

各種數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力不是孤立存在的，而是緊密聯(lián)系在一起的，這種關(guān)聯(lián)性正體現(xiàn)了核心素養(yǎng)的整體性。一個教學(xué)內(nèi)容往往滲透著各種數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)，但教師應(yīng)遵循學(xué)生身心發(fā)展規(guī)律，根據(jù)不同階段的培養(yǎng)目標(biāo)有計劃地進(jìn)行數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)，不應(yīng)求全求多。例如，在人教版五年級上冊“植樹問題”教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“模型準(zhǔn)備—模型構(gòu)建—模型求解—模型驗證—模型拓展”的過程，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)思維活動經(jīng)驗，培養(yǎng)建模能力，感悟建模思想?？梢?，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)是相互關(guān)聯(lián)的，不宜孤立進(jìn)行，要分清主次，有針對性地實施。

4.遷移性

遷移性是指學(xué)生可以通過掌握的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力把數(shù)學(xué)知識與技能、活動經(jīng)驗、解決問題的方法，由低年級遷移到高年級。學(xué)生初步掌握了一些數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力后，當(dāng)面臨相似的學(xué)習(xí)情境時，就會自動地激發(fā)相應(yīng)的能力，學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識，使數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力在再次運用中得到進(jìn)一步發(fā)展。其實，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力總是在特定的情境和需要中反映出來，需要在不同教育階段長期培養(yǎng)，具有一定的遷移性。從縱向發(fā)展來看，學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的獲得是一個循序漸進(jìn)、不斷深化的過程，需要連續(xù)培養(yǎng)，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力是學(xué)生在一生的學(xué)習(xí)中，不斷更新變化的動態(tài)系統(tǒng)，隨著學(xué)生人生閱歷的豐富和自身發(fā)展需求的變化，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力也會不斷深化。從橫向發(fā)展來看，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力起到基礎(chǔ)鋪墊的作用，是其他學(xué)科學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，其不僅有助于數(shù)學(xué)問題的解決，也有助于其他學(xué)科問題的解決，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的橫向遷移能夠使學(xué)生舉一反三、觸類旁通。隨著學(xué)生社會經(jīng)驗的豐富，個體發(fā)展需求的增加，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的內(nèi)涵會得到豐富和完善，這也表明數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力具有遷移性。

三、教師對數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的認(rèn)識誤區(qū)

1.數(shù)學(xué)能力等于數(shù)學(xué)知識

部分教師把數(shù)學(xué)能力等同于數(shù)學(xué)知識，這種認(rèn)識是錯誤的。數(shù)學(xué)知識是指數(shù)學(xué)的概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容反映出來的數(shù)學(xué)思想和方法。而數(shù)學(xué)能力是順利完成數(shù)學(xué)活動的一種必需的個性心理特征，由數(shù)學(xué)運算能力、邏輯思維能力及空間想象能力組成。因此，數(shù)學(xué)知識的掌握能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)展，但是數(shù)學(xué)知識豐富的學(xué)生，數(shù)學(xué)能力不一定強。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，部分教師分不清兩者的區(qū)別與聯(lián)系，只重視數(shù)學(xué)知識的講解，而忽視學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)，導(dǎo)致出現(xiàn)滿堂灌、填鴨式教學(xué)，造成了學(xué)生的高分低能。

2.數(shù)學(xué)能力等于數(shù)學(xué)技能

數(shù)學(xué)技能是指通過練習(xí)而形成的，順利完成數(shù)學(xué)活動的一種動作方式，往往表現(xiàn)為完成數(shù)學(xué)任務(wù)所需要的思考與運算，體現(xiàn)了“會不會做”。而數(shù)學(xué)能力是順利解決數(shù)學(xué)問題所具備的，是在數(shù)學(xué)活動中形成和發(fā)展起來的，并在這類活動中表現(xiàn)出的比較穩(wěn)定的心理特征，體現(xiàn)了“能不能解決”。因此，數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)技能有著本質(zhì)的區(qū)別，兩者不能等同。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，部分教師把數(shù)學(xué)能力當(dāng)作數(shù)學(xué)技能，認(rèn)為只要讓學(xué)生多加練習(xí)就能提高數(shù)學(xué)能力，于是“題海戰(zhàn)術(shù)”成了教師培養(yǎng)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的法寶，但這種方式使學(xué)生覺得枯燥乏味，大大降低了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

3.數(shù)學(xué)能力是自然形成的

部分教師認(rèn)為只要讓學(xué)生經(jīng)歷知識探究過程，就能自然形成數(shù)學(xué)能力，然而這樣有經(jīng)歷沒感悟、沒體驗，是形成不了穩(wěn)定的數(shù)學(xué)能力的。數(shù)學(xué)能力是學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識和技能的基礎(chǔ)上，通過遷移使數(shù)學(xué)知識和技能不斷整合、類化而形成發(fā)展起來的，這就需要教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思與類化，以形成穩(wěn)定的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力。因此，數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力需要學(xué)生在探究過程中不斷感悟、體驗和類化，才能形成一種比較穩(wěn)定的個性心理特征。

四、數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)路徑

1.聚焦知識——培養(yǎng)關(guān)鍵能力的本源

知識是學(xué)科關(guān)鍵能力培養(yǎng)的本源，教師要聚焦數(shù)學(xué)知識，理清哪些數(shù)學(xué)知識可以培養(yǎng)學(xué)生哪些數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，從而把它作為教學(xué)目標(biāo)確定下來。學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)需要教師聚焦數(shù)學(xué)知識，在傳授數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)之上，滲透對學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識體系，講明數(shù)學(xué)知識概念之間的聯(lián)系，為提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力奠定基礎(chǔ)。例如，在人教版二年級上冊“乘法的初步認(rèn)識”的教學(xué)中，教師可以通過創(chuàng)設(shè)教學(xué)活動情境，提供豐富的同數(shù)連加的生活情境，如坐小飛機、小火車和過山車的情境，培養(yǎng)學(xué)生分類能力和比較思維能力，增強學(xué)生對乘法意義的直觀認(rèn)識，引導(dǎo)學(xué)生觀察相同數(shù)連加的算式，感知相同數(shù)連加的特點，使學(xué)生理解求相同加數(shù)的和用乘法計算比較簡便，在具體的情境中體會乘法運算的意義，構(gòu)建起加法算式與乘法算式間的橋梁，通過“觀察、比較、概括”等思維活動培養(yǎng)學(xué)生抽象能力等。因此，在教學(xué)過程中，教師要聚焦數(shù)學(xué)知識，認(rèn)真分析該知識的形成過程，精心設(shè)計教學(xué)方案來培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，做到有的放矢。

2.經(jīng)歷過程——培養(yǎng)關(guān)鍵能力的關(guān)鍵

數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力是一種經(jīng)驗，是一種穩(wěn)定的心理特征，它形成的關(guān)鍵在于學(xué)生主動參與思維的全過程，感悟怎么獲得知識、怎么發(fā)展知識、怎么運用知識。例如，在人教版六年級上冊“圓的認(rèn)識”的教學(xué)中，教室可以通過呈現(xiàn)初升的太陽、摩天輪、水中的波紋等，初步幫助學(xué)生建立圓的表象，邁出圓概念抽象的第一步，再讓學(xué)生動手畫一畫圓，抽象出數(shù)學(xué)層面上的圓，這是實物直觀層面的第二次抽象，然后引導(dǎo)學(xué)生借助圓紙片進(jìn)行探究，通過折一折、畫一畫、量一量等活動探究圓的各種特征，抽象出圓的概念，真正讓學(xué)生經(jīng)歷了“現(xiàn)實—表象—內(nèi)涵—符號”的抽象思維過程，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力。

3.類化經(jīng)驗——培養(yǎng)關(guān)鍵能力的手段

數(shù)學(xué)的抽象知識點較多，涉及的知識面較廣，且概念較為抽象，學(xué)生在理解和記憶上存在一定難度，需要教師及時引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思、類化，這是形成數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力必不可缺少的手段。教師要為學(xué)生設(shè)計并提供同類型經(jīng)驗，以滿足不同水平學(xué)生的學(xué)習(xí)需要。例如，在人教版四年級上冊“積的變化規(guī)律”的教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生探究出積的變化規(guī)律后，教師要引導(dǎo)學(xué)生適時反思，想一想“剛才我們是怎樣探究出積的變化規(guī)律的”，讓學(xué)生類化經(jīng)驗，總結(jié)探究規(guī)律的方法，培養(yǎng)學(xué)生歸納推理能力。因此，在低年級教學(xué)中，教師要著重引導(dǎo)學(xué)生積累相關(guān)經(jīng)驗，為其形成數(shù)學(xué)能力打好基礎(chǔ);在高年級教學(xué)中，教師要注重幫助學(xué)生類化經(jīng)驗，使學(xué)生能夠靈活運用數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力去解決各類實際問題。

五、結(jié)語

綜上所述，小學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)，不僅是新課標(biāo)所規(guī)定的學(xué)生必須培養(yǎng)和提高的基本能力之一，而且是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)、提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的必經(jīng)途徑。因此，教師只有理解了數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的內(nèi)涵、特點，才能構(gòu)建以培育學(xué)生核心素養(yǎng)為目標(biāo)的數(shù)學(xué)課堂。教師要重視培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，把能力的培養(yǎng)真正落實到數(shù)學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生拓展思維、獨立思考、實踐創(chuàng)新，讓數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力成為發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的孕育點和生長點。

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Exploration of the Connotation， Characteristics and Cultivate Path of Key Mathematical Ability

Huang Shanshan

（Baitang Central Primary School， Hanjiang District， Putian City， Fujian Province， Putian 351111， China）

Abstract： The key ability of mathematics is embodied in the aspects of "operation ability， spatial concept， data analysis concept， reasoning ability and model thought". It is the core component and external expression of the core competence of mathematics and the key quality for students to learn mathematics. Therefore， the cultivation of the key ability of mathematics in the cultivation of the core competence of mathematics is the focus. This paper analyzes the connotation and characteristics of mathematics key ability， expounds teachers' misunderstanding of mathematics key ability， and explores the effective path of cultivating mathematics key ability from three aspects： focus on knowledge， experience process and classified experience， in order to promote the improvement of students' mathematics competence.

Key words： primary school mathematics; key abilities; connotation; characteristic; ability training

作者簡介：黃珊珊（1980-），女，福建莆田人，一級教師，從事數(shù)學(xué)教學(xué)與研究。