光晶格中自旋軌道耦合玻色-愛因斯坦凝聚體的非線性能譜特性*

張愛霞 姜艷芳 薛具奎

(西北師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院, 蘭州 730070)

(2021 年4 月14 日收到; 2021 年5 月26 日收到修改稿)

1 引 言

光晶格中的超冷原子物理在理論上和實(shí)驗(yàn)上受到了人們的重點(diǎn)關(guān)注. 因?yàn)楣饩Ц癫淮嬖谌魏坞s質(zhì)和缺陷, 且光晶格中的超冷原子系統(tǒng)可以在廣泛的參數(shù)范圍內(nèi)調(diào)節(jié), 為量子計(jì)算和強(qiáng)關(guān)聯(lián)多體系統(tǒng)的量子模擬創(chuàng)造了理想的條件, 例如量子糾纏以及拓?fù)湎嘧兊难芯康萚1-4]. 此外在光晶格系統(tǒng)中還發(fā)現(xiàn)了許多有趣的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象, 例如Bloch 振蕩[5-10]、Landau-Zener 隧穿[11-14]、局域化[15,16]、超流相到莫特絕緣相的相變[17,18]等. 更重要的是, 原子間相互作用的非線性還可以極大地改變布洛赫帶的結(jié)構(gòu), 使能帶在第一布里淵區(qū)的邊界處呈現(xiàn)出燕尾形狀的環(huán)狀結(jié)構(gòu)(loop 結(jié)構(gòu))[19-23]. 這主要是由光晶格勢和非線性相互作用之間的競爭導(dǎo)致的, 當(dāng)相互作用較大時(shí), 能帶中會(huì)出現(xiàn)loop 結(jié)構(gòu). 可以通過觀察Bloch 振蕩的破壞以及非線性Landau-Zener隧穿現(xiàn)象的發(fā)生, 間接地證明能帶中l(wèi)oop 結(jié)構(gòu)的存在[9]. 因此光晶格周期勢為研究玻色-愛因斯坦凝聚體的相關(guān)物理特性提供了很好的平臺(tái)[24-32].

近年來, 利用光與原子間的相互作用, NIST小組在87Rb 玻色-愛因斯坦凝聚體中實(shí)現(xiàn)了一維人工自旋軌道耦合, 為超冷原子氣體的研究開辟了新的思路[33]. 隨后, 山西大學(xué)和中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)分別在40K 費(fèi)米氣體和87Rb 冷原子中實(shí)現(xiàn)了二維自旋軌道耦合[34,35]. 最近, 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)與北京大學(xué)等合作, 通過將普通光晶格和拉曼光晶格相對轉(zhuǎn)角的方法, 在國際上首次實(shí)現(xiàn)了三維人工自旋軌道耦合[36], 且構(gòu)造出有且只有一對外爾點(diǎn)的理想外爾半金屬拓?fù)淠軒ЫY(jié)構(gòu), 超越了傳統(tǒng)凝聚態(tài)物理的外爾型拓?fù)湮锢淼牧孔幽M, 為研究拓?fù)漭斶\(yùn)性質(zhì)以及量子模擬新奇現(xiàn)象打開了新的方向. 此外, 實(shí)驗(yàn)上也成功實(shí)現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)光晶格中自旋軌道耦合玻色-愛因斯坦凝聚體, 證明了自旋軌道耦合會(huì)破壞該系統(tǒng)的伽利略對稱性[37]. 光晶格中自旋軌道耦合玻色-愛因斯坦凝聚體的實(shí)現(xiàn)激發(fā)了人們對其基態(tài)特性的研究[38-40], 發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)中存在4 種基態(tài)相, 即具有單一波矢的非極化和極化Bloch 相以及由兩個(gè)具有相反波矢Bloch 波疊加的條紋相. 同時(shí)初步研究發(fā)現(xiàn), 對于靜止的光晶格, 一定參數(shù)范圍內(nèi)的最低Bloch 帶還可以產(chǎn)生平帶, 且系統(tǒng)能量最小值可以出現(xiàn)在第一布里淵區(qū)內(nèi)的任何位置[41].而移動(dòng)的光晶格則會(huì)使Bloch 譜變得復(fù)雜, 這主要是由自旋軌道耦合系統(tǒng)中缺乏伽利略不變性導(dǎo)致的, 因此自旋軌道耦合成為導(dǎo)致系統(tǒng)能譜特性復(fù)雜化的又一重要因素. 事實(shí)上在自由空間, 自旋軌道耦合和原子間相互作用的耦合也會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)能帶中出現(xiàn)loop 結(jié)構(gòu), 并且伴隨著Landau-Zener 隧穿和自旋交換動(dòng)力學(xué)[42]. 可以設(shè)想, 自旋軌道耦合與光晶格的耦合必然會(huì)使系統(tǒng)的能譜特性更加復(fù)雜化. 但是目前對光晶格中自旋軌道耦合玻色-愛因斯坦凝聚體的非線性能譜特性的研究還很初步.

本文主要研究了光晶格中自旋軌道耦合玻色-愛因斯坦凝聚體的非線性能譜結(jié)構(gòu)和流密度. 先簡單地介紹了系統(tǒng)模型, 然后通過兩模近似和變分法得到了系統(tǒng)的能量, 接著展示了不同系統(tǒng)參數(shù)對布里淵區(qū)邊界附近能帶結(jié)構(gòu)的影響, 討論了系統(tǒng)能帶在布里淵區(qū)邊界出現(xiàn)loop 結(jié)構(gòu)的臨界情況, 最后研究了不同自旋態(tài)流密度的變化規(guī)律.

2 模型和變分法

2.1 理論模型

考慮一維淺光晶格中贗自旋1/2 的自旋軌道耦合玻色-愛因斯坦凝聚體, 自旋軌道耦合是由Rashba 和Dresselhaus 型自旋軌道耦合等權(quán)疊加形成的. 在平均場近似下, 該系統(tǒng)可以通過如下無量綱平均場能量泛函描述[37-40]:

研究發(fā)現(xiàn), 光晶格對第一布里淵區(qū)附近自旋軌道耦合玻色-愛因斯坦凝聚體的基態(tài)能帶結(jié)構(gòu)有顯著的影響[38-40]. 而且對于淺晶格或者中間深度的光晶格, 兩模近似不僅可以給出G-P 方程在最低能帶第一布里淵區(qū)邊界處的精確解, 還可以給出在布里淵區(qū)附近的近似解[5,6,11,19], 因此為了深入地研究布里淵區(qū)邊界附近最低能帶的變化特性, 使用如下形式的兩模近似試探波函數(shù):

式中, 假定自旋對稱相互作用, 即g11=g22=g和δ=0. 為了獲得系統(tǒng)的能帶結(jié)構(gòu), 使用變分法, 對(5)式中的變分參數(shù)s和θ變分. 即令?E/?s=0 ,?E/?θ=0, 可得變分方程如下:

其中G1=(g+g12)/4 ,G2=(g ?g12)/4 . 通過數(shù)值求解變分方程中的θ和s, 并代入系統(tǒng)能量(5)式中, 便可以研究不 同參數(shù)下的能譜結(jié)構(gòu)圖. 可以清楚地看到, 系統(tǒng)的能量是由拉曼耦合強(qiáng)度Ω, 自旋軌道耦合強(qiáng)度k0, 光晶格強(qiáng)度V0和原子間相互作用共同決定. 下面展示不同系統(tǒng)參數(shù)對能譜結(jié)構(gòu)的影響.

2.2 非線性能譜結(jié)構(gòu)

圖1 是在不同系統(tǒng)參數(shù)下的最低能帶. 可以看出, 在最低能帶的布里淵區(qū)的邊界處, 即k=0.5 處出現(xiàn)了特殊的loop 結(jié)構(gòu). 而且在每一行中(請看第2 行—第4 行中V0=0.2 情況), 隨著拉曼耦合Ω的增大, loop 寬度先變小, 然后在布里淵區(qū)邊界處出現(xiàn)尖點(diǎn), 最后loop 消失. 每一列中, 隨著自旋軌道耦合強(qiáng)度k0的增大, 能帶先在邊界附近出現(xiàn)尖點(diǎn), 繼續(xù)增大k0, 布里淵區(qū)的邊界處出現(xiàn)了loop 結(jié)構(gòu), 最后loop 的寬度變大的同時(shí)能帶結(jié)構(gòu)變得更加復(fù)雜(如每一列中V0=0.2 情況). 在每一副子圖中不同顏色對應(yīng)著不同的光晶格強(qiáng)度, 對于較小的光晶格強(qiáng)度V0, 能帶結(jié)構(gòu)在布里淵區(qū)的邊界處先出現(xiàn)了較大的loop 結(jié)構(gòu), 繼續(xù)增大V0, 能帶在邊界處出現(xiàn)尖點(diǎn), 最后loop 消失(如k0=0.3,Ω=1.5 情況). 總之, 我們發(fā)現(xiàn)拉曼耦合和光晶格強(qiáng)度抑制了最低能帶在邊界處loop 結(jié)構(gòu)的出現(xiàn), 自旋軌道耦合促進(jìn)了loop 結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生, 使loop 結(jié)構(gòu)變得更加復(fù)雜. 能帶結(jié)構(gòu)中不同能量最小值處(圖1 中用小球表示)的凝聚體處于不同的基態(tài)相, 為了進(jìn)一步研究能量最小值處凝聚體所處的基態(tài)相, 圖2 給出了不同拉曼耦合下的極化圖. 可以看出, 當(dāng)自旋軌道耦合強(qiáng)度k0較小時(shí)(k0=0.2 ), 能量最小值處的凝聚體處于非極化的Bloch 相 (圖2 中的所有黑球).隨著k0的增大, 當(dāng)s ?=0 時(shí)凝聚體處于極化Bloch 相,相反, 當(dāng)s=0 時(shí)凝聚體處于非極化Bloch 相.

圖1 不同系統(tǒng)參數(shù)下的非線性能譜結(jié)構(gòu). 每副子圖中不同的顏色代表不同的光晶格強(qiáng)度, V0 =0.05 (紅色), 0.2 (綠色),0.4(藍(lán)色). 能量最小值處用不同顏色的小球表示. 其他參數(shù):g =0.2, g12 =0.1Fig. 1. Nonlinear energy band structure for different system parameter. Different colored curves in every subplots correspond to different optical lattice strength, V0 =0.05 (red), 0.2 (green), 0.4 (blue). The energy minima is indicated by different colored ball. The other parameters are g =0.2 and g12 =0.1 .

圖2 不同拉曼耦合 ? 下的極化圖. 其他參數(shù):g =0.2,g12 =0.1,V0 =0.4Fig. 2. Spin polarization s as a function of Raman coupling ? for different k0 . The other parameters are g =0.2 ,g12 =0.1and V0 =0.4 .

能帶布里淵區(qū)邊界處loop 結(jié)構(gòu)的出現(xiàn), 還與原子間相互作用有關(guān). 為了進(jìn)一步研究原子間相互作用對能帶結(jié)構(gòu)的影響, 圖3 中繪制了不同種間原子間相互作用g12下的能帶. 可以發(fā)現(xiàn): 最低能帶中不僅在布里淵區(qū)的邊界處(k=0.5 )出現(xiàn)loop 結(jié)構(gòu), 在遠(yuǎn)離邊界的兩端也有l(wèi)oop 的存在(圖中在k=0,1附近). 同時(shí)在高能帶的布里淵區(qū)邊界處也出現(xiàn)了loop 結(jié)構(gòu), 而且隨著g12的增大, 不同位置的loop 結(jié)構(gòu)寬度都變大, 能帶中還會(huì)出現(xiàn)高低能帶loop 交叉等更加復(fù)雜的現(xiàn)象. 由此可知, 原子間相互作用的非線性效應(yīng)會(huì)使能帶中l(wèi)oop 結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜.

圖3 不同種間原子間相互作用 g12 下的非線性能譜結(jié)構(gòu). 其他參數(shù): ? =0.1 , k0 =0.2 , V0 =0.1 ,g =0.1Fig. 3. Nonlinear energy band structure for different interspecies interaction g12 . The other parameters are ? =1.0 , k0 =0.4 ,g =0.2and g12 =0.1 .

2.3 能帶出現(xiàn)loop 結(jié)構(gòu)的臨界條件

當(dāng)最低能帶在布里淵區(qū)邊界處出現(xiàn)尖點(diǎn)時(shí), 便是達(dá)到了出現(xiàn)loop 的臨界條件. 為了直觀地觀測不同參數(shù)對最低能帶布里淵區(qū)邊界處出現(xiàn)loop 結(jié)構(gòu)的影響, 繪制了不同自旋軌道耦合k0下, loop 結(jié)構(gòu)出現(xiàn)的臨界Ω圖(圖4). 從圖4 可以發(fā)現(xiàn), 在k0-Ω平面, 較強(qiáng)的光晶格使loop 的區(qū)域向大自旋軌道耦合區(qū)域擴(kuò)展. 當(dāng)k0一定時(shí), 弱拉曼耦合Ω有利于loop 結(jié)構(gòu)的出現(xiàn), 隨著k0的增大, 較強(qiáng)的拉曼耦合Ω才會(huì)使能帶中不出現(xiàn)loop. 此外, 增大種間原子間相互作用g12(圖4(b)和圖4(c)), 當(dāng)k0較小時(shí), 光晶格強(qiáng)度V0對能帶在布里淵區(qū)邊界處出現(xiàn)loop 結(jié)構(gòu)的臨界Ω的影響減弱. 隨著k0的增大,較強(qiáng)的光晶格強(qiáng)度則需要更大的拉曼耦合值才能使最低能帶的邊界處不出現(xiàn)loop 結(jié)構(gòu).

圖4 g =0.2 時(shí)最低能帶出現(xiàn)loop 的臨界 ? , (b) 中不同形狀的符號(hào)表示相應(yīng)光晶格強(qiáng)度下(9)式給出的理論值Fig. 4. Critical condition for appearing the loop structure in the lowest energy band at g =0.2 . The different symbols in panel (b)represent the theoretical values given by Eq. (9) under the corresponding optical lattice strength.

為了進(jìn)一步理解自旋軌道耦合、拉曼耦合、光晶格和原子間相互作用對形成loop 的競爭機(jī)理,針對g=g12的情況進(jìn)行了理論分析. loop 結(jié)構(gòu)最先在布里淵區(qū)邊界出現(xiàn), 在變分方程(6a)和(6b)中令k=1/2且G2=0 , 即g=g12, 消去s可得

要想在布里淵區(qū)邊界出現(xiàn)loop 結(jié)構(gòu), 則方程(7)中的θ應(yīng)有兩個(gè)解, 即滿足 cos(2θ)=0 和

當(dāng)sin(2θ)有根且滿足?1 ≤sin(2θ)≤1 時(shí), 則有1+(Ω/k0)2≤/(V0?2G1)2+1,即

(9)式給出了g=g12時(shí)系統(tǒng)在布里淵區(qū)邊界處出現(xiàn)loop 結(jié)構(gòu)的臨界條件. 圖4(b)中進(jìn)一步展示了理論和數(shù)值結(jié)果的對比, 可以看出, 數(shù)值與理論符合得很好. (9)式充分揭示了自旋軌道耦合、拉曼耦合、光晶格和原子間相互作用對形成loop 的競爭機(jī)理, 即自旋軌道耦合k0的增大(拉曼耦合Ω的減小)等效于改變了系統(tǒng)的光晶格勢能, 亦即降低了在布里淵區(qū)邊界處出現(xiàn)loop 所需的非線性原子間相互作用能閾值. 當(dāng)不存在自旋軌道耦合, 即k0=0時(shí), (9)式退化為普通光晶格系統(tǒng)中出現(xiàn)loop 的臨界條件, 即相互作用能大于光晶格勢能.總之, 自旋軌道耦合和原子間相互作用促進(jìn)了系統(tǒng)最低能帶loop 結(jié)構(gòu)的出現(xiàn), 拉曼耦合和光晶格抑制了loop 結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生.

3 凝聚體流密度

在布里淵區(qū)的邊界附近, 非線性能譜結(jié)構(gòu)的變化與凝聚體的流密度密切相關(guān), 不同自旋態(tài)的流密度定義如下:

將兩模近似波函數(shù)(4)代入(10)式可得不同自旋態(tài)的流密度

數(shù)值求解變分方程組(6a)和(6b)中的s和θ,代入(11)式可得到在布里淵區(qū)邊界附近非線性Bloch 波的流密度. 圖5 是與能帶圖圖1 第二列對應(yīng)的不同自旋態(tài)的流密度圖. 從圖5 可以發(fā)現(xiàn), 當(dāng)自旋軌道耦合強(qiáng)度k0較小時(shí), 不同自旋態(tài)的流密度基本重合. 若能帶在布里淵區(qū)邊界處無loop 結(jié)構(gòu),則在k=0.5 處的凝聚體流密度為零, 即ji=0 , 凝聚體將維持Bloch 振蕩, 同時(shí)將伴隨著弱的自旋交換(例如k0=0.01,V0=0.2 ). 隨著k0的增大, 雖然布里淵區(qū)邊界處的凝聚體流密度ji仍然為0, 但是流密度呈現(xiàn)出一定的不對稱性(例如k0=0.1,V0=0.2), 且在動(dòng)量空間中不同自旋態(tài)流密度的分布發(fā)生分離, 凝聚體在進(jìn)行Bloch 振蕩的同時(shí), 自旋交換加強(qiáng). 繼續(xù)增大k0, 在布里淵區(qū)邊界附近相同凝聚體動(dòng)量所對應(yīng)的流密度ji出現(xiàn)多值, 相應(yīng)的能量值出現(xiàn)多根, 所以能帶結(jié)構(gòu)在布里淵區(qū)邊界處出現(xiàn)了loop 結(jié)構(gòu)(例如k0=0.2,V0=0.2 ), 破壞了系統(tǒng)的Bloch 振蕩, 使原子在不同Bloch 帶之間發(fā)生了非線性Landau-Zener 隧穿, 由于兩自旋態(tài)的流密度在動(dòng)量空間的分布明顯分離, 因此自旋交換也加強(qiáng). 另外, 從圖5 還發(fā)現(xiàn), 光晶格強(qiáng)度的增大不僅減小了能帶結(jié)構(gòu)布里淵區(qū)邊界處的loop寬度,同時(shí)使不同自旋態(tài)的流密度在動(dòng)量空間中重合, 減弱了流密度的不對稱性和自旋交換.

圖5 不同自旋軌道耦合 k0 和光晶格強(qiáng)度 V0 下的凝聚體流密度. 其他參數(shù): ? =0.15 , g =0.2 , g12 =0.1 . 圖中紅色和黑色的線表示不同自旋態(tài)的凝聚體流密度Fig. 5. Current density for different spin-orbit coupling k0 and optical lattice strength V0 . The other parameters are ? =0.15 ,g =0.2and g12 =0.1 . The red and black lines represent the current density of different spin states.

圖6 進(jìn)一步研究了自旋軌道耦合與拉曼耦合對不同自旋態(tài)流密度的耦合影響. 從圖6 可以直觀地發(fā)現(xiàn), 隨著Ω的增大, 能帶結(jié)構(gòu)中l(wèi)oop 寬度減小的同時(shí), 凝聚體流密度的不對稱性減弱. 當(dāng)自旋軌道耦合強(qiáng)度k0較小時(shí)(圖6 第一、二行k0=0.1 ),不同自旋態(tài)的流密度基本重合且自旋交換較小, 但是隨著k0的增大(圖8 第三、四行k0=0.2 ), 不同自旋態(tài)的流密度呈現(xiàn)出明顯的不對稱性. 而Ω的增大會(huì)強(qiáng)烈地減弱這種不對稱性, 使不同自旋態(tài)的流密度的變化規(guī)律與無自旋軌道耦合的情況相似. 同時(shí)還發(fā)現(xiàn), 在動(dòng)量空間loop 寬度所對應(yīng)的凝聚體動(dòng)量, 正好與凝聚體流密度中出現(xiàn)多值所對應(yīng)的動(dòng)量區(qū)間一致(圖中用粉色垂線表示), 所以可以通過直接地觀測凝聚體流密度出現(xiàn)多值的區(qū)域來研究loop 結(jié)構(gòu)的大小.

圖6 不同拉曼耦合 ? 下的能帶和相應(yīng)的凝聚體流密度. 其他參數(shù): V0 =0.05 , g =0.2 , g12 =0.1 . 圖中紅色和黑色的線表示不同自旋態(tài)的流密度Fig. 6. Energy band and current density for different Raman coupling ? . The other parameters are V0 =0.05 , g =0.2 and g12 =0.1. The red and black lines represent the current density of different spin states.

4 結(jié) 論

本文研究了光晶格中自旋軌道耦合玻色-愛因斯坦凝聚體的非線性能譜結(jié)構(gòu)和流密度, 揭示了自旋軌道耦合、拉曼耦合、光晶格以及原子間相互作用對系統(tǒng)能帶特性的影響, 發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)能譜結(jié)構(gòu)在布里淵區(qū)的邊界處會(huì)出現(xiàn)loop 結(jié)構(gòu). 拉曼耦合和光晶格強(qiáng)度會(huì)抑制loop 結(jié)構(gòu)的出現(xiàn), 而自旋軌道耦合和原子間相互作用促進(jìn)loop 結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生. 自旋軌道耦合會(huì)使能帶結(jié)構(gòu)變得更加復(fù)雜, 而原子間相互作用的非線性還會(huì)使高能帶的布里淵區(qū)邊界處出現(xiàn)loop 結(jié)構(gòu). 非線性能譜結(jié)構(gòu)的變化與凝聚體的流密度有密切的關(guān)系, 當(dāng)能譜結(jié)構(gòu)在布里淵區(qū)邊界處不存在loop 結(jié)構(gòu)時(shí), 邊界處的不同自旋態(tài)流密度為零. 出現(xiàn)loop 結(jié)構(gòu)時(shí), 邊界處的凝聚體流密度出現(xiàn)多值. 此外, 自旋軌道耦合還會(huì)使布里淵區(qū)邊界附近的流密度呈現(xiàn)出強(qiáng)烈的不對稱性, 使不同自旋態(tài)流密度在動(dòng)量空間的分布分離, 而光晶格強(qiáng)度和拉曼耦合強(qiáng)度則會(huì)減弱這種不對稱性, 使不同自旋態(tài)流密度重合. 布里淵區(qū)邊界處loop 結(jié)構(gòu)的出現(xiàn)破壞了系統(tǒng)的Bloch 振蕩, 使系統(tǒng)發(fā)生Landau-Zener 隧穿, 而不同自旋態(tài)流密度在動(dòng)量空間分布的分離意味著自旋交換動(dòng)力學(xué)的出現(xiàn).