基于copula聚類模型的協(xié)同風(fēng)險度量

劉明成

(重慶工商大學(xué) a.數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院；b.經(jīng)濟(jì)社會應(yīng)用統(tǒng)計重慶市重點實驗室，重慶 400067)

1963年由Baumol[1]提出的VaR風(fēng)險度量法對于衡量單個金融風(fēng)險有很好的效果，但無法對系統(tǒng)性風(fēng)險的外部性和溢出效應(yīng)做出測度，2011年Adrian和Brunermeier[2]所提出的條件風(fēng)險價值CoVaR方法，有助于解決這一問題。CoVaR被稱為協(xié)同風(fēng)險法，也稱條件風(fēng)險法，其中的“Co”表示的是金融單位之間所具有的聯(lián)動、傳染和條件三種性質(zhì)。相比而言，兩者的差別主要在于VaR只能夠測量機構(gòu)在危機出現(xiàn)前的風(fēng)險，而CoVaR能夠測量出當(dāng)危機發(fā)生時的風(fēng)險程度；同時，VaR方法應(yīng)用的對象是單個機構(gòu)，而CoVaR不僅能描述系統(tǒng)性風(fēng)險，還可以描述多個機構(gòu)之間的風(fēng)險溢出情況。因此，CoVaR方法具有更為先進(jìn)的特性。萬軍等[3]通過CoVaR的方法對利率和股市之間的風(fēng)險溢出效應(yīng)進(jìn)行探究，證明了兩者之間的風(fēng)險存在著相互溢出的現(xiàn)象，學(xué)界也基于Engle等對CoVaR的研究以及Bassett等所提出的分位數(shù)回歸發(fā)展出了通過分位數(shù)的方法計算CoVaR[4-5]。Girardi等[6]收集了大量金融機構(gòu)的數(shù)據(jù)之后，利用Garch-CoVaR模型計算了各組綜合風(fēng)險對系統(tǒng)性風(fēng)險的貢獻(xiàn)度，對比分析了各個機構(gòu)系統(tǒng)性風(fēng)險的聯(lián)系特征。而金融資產(chǎn)之間存在復(fù)雜的相依結(jié)構(gòu)，不是簡單的線性關(guān)系，當(dāng)極端事件發(fā)生時，在正態(tài)分布和線性相關(guān)的假設(shè)之下進(jìn)行風(fēng)險測算，得到的結(jié)果與實際情況會有較大的偏差。Sklar[7]提出的Copula函數(shù)就成了衡量多個金融資產(chǎn)風(fēng)險之間相依關(guān)系的有力工具。張堯庭[8]的研究證實了Copula函數(shù)在金融方面運用的可行性，并且對其定義、性質(zhì)等進(jìn)行了較為詳細(xì)的介紹。王周偉等[9]利用Copula-CoVaR模型對金融市場整體的風(fēng)險進(jìn)行了測量，得到了比傳統(tǒng)的分位數(shù)回歸測量方式更優(yōu)越的結(jié)果?；鞓I(yè)經(jīng)營下金融機構(gòu)所擁有的基礎(chǔ)金融產(chǎn)品的數(shù)量龐大，若是單純地逐一進(jìn)行CoVaR度量，實際操作過程會非常繁瑣。陳振龍等[10]提出基于藤Copula分組模型的金融市場風(fēng)險度量方法解決了這一問題，同時周全等[11]提出利用分組Copula-CoVaR模型通過事先對金融產(chǎn)品進(jìn)行分組，再用Copula進(jìn)行連接，尋找到了更加精確的風(fēng)險度量方法。本研究提出先用聚類方法分析，然后與Copula相結(jié)合的t-Copula聚類-CoVaR模型來分析金融市場的協(xié)同風(fēng)險。

1 相關(guān)理論及方法

1.1 CoVaR的定義

傳統(tǒng)的風(fēng)險度量工具VaR是在險價值(value at risk)的縮寫，是進(jìn)行風(fēng)險測度的一個重要的工具。其意義是當(dāng)資產(chǎn)價值波動時，在一定的概率水平下，投資者或金融機構(gòu)所持有的資產(chǎn)在未來的一段時間內(nèi)產(chǎn)生最大可能的損失。用公式表示為

?P為單一資產(chǎn)或組合資產(chǎn)在持有期內(nèi)的損失，VaR為執(zhí)行水平α下的風(fēng)險價值。這一公式由Adrian和Brunermeier提出，表示在一定概率水平下，某一金融機構(gòu)的風(fēng)險VaR值一定時，其他金融機構(gòu)的最大可能損失。

在機構(gòu)i陷入危機，其損失為時，則機構(gòu)j的VaR值為

其中，X i表示機構(gòu)i的收益率。通過CoVaR可以測度單個機構(gòu)破產(chǎn)對系統(tǒng)性風(fēng)險的影響，從而可以量化單個機構(gòu)對整個金融系統(tǒng)的重要性。假定j是整個金融系統(tǒng)，機構(gòu)i對整個金融系統(tǒng)j的系統(tǒng)性風(fēng)險貢獻(xiàn)為

1.2 K-均值聚類算法

金融投資機構(gòu)所持有的金融產(chǎn)品往往數(shù)量眾多，若用每一個金融產(chǎn)品依次測度整個機構(gòu)的條件風(fēng)險則太過繁瑣，所以本研究從金融產(chǎn)品收益率的相似程度著手，將收益率相似的金融產(chǎn)品歸為一類，從而達(dá)到降維的目的。

K-均值聚類算法是動態(tài)聚類中的典型算法，在1968年由MacQuean提出，在各領(lǐng)域都具有廣泛的影響力。算法開始時先將要被分類的數(shù)據(jù)分為K個組，之后從樣本中隨機挑選出K個對象作為聚類中心，由此計算每個數(shù)據(jù)與K個聚類中心之間的距離，進(jìn)行臨近分配，這樣聚類中心和分給它們的數(shù)據(jù)對象就形成一個類別。而當(dāng)我們每分配一個數(shù)據(jù)，聚類中心就會被重新計算。由此不斷重復(fù)直到滿足聚類中心不再發(fā)生變化時，即誤差平方和局部最小，就形成了最終的聚類情況[13]。

1.3 基于Copula函數(shù)的CoVaR計算

Copula函數(shù)的概念最早是由Sklar提出的，其在統(tǒng)計學(xué)上的作用是將多個單獨的分布函數(shù)通過Copula函數(shù)作用成一個聯(lián)合分布[14]，能夠刻畫出多個變量之間的非線性相關(guān)關(guān)系，同時也可以描述變量之間的尾部相關(guān)性。相比于分位數(shù)回歸，Copula函數(shù)對金融數(shù)據(jù)的風(fēng)險價值計算有更好的效果。表現(xiàn)函數(shù)為

其中C(?,…,?)就是一個Copula函數(shù)，那么就可以得到多元分布的概率密度函數(shù)為

1.3.1 t-Copula函數(shù)

目前已經(jīng)出現(xiàn)了多種Copula函數(shù)，可大致分為橢圓Copula和Archimidean Copula兩大類，其中橢圓Copula函數(shù)根據(jù)隨機變量所服從的具體分布可分為多元正態(tài)Copula和t-Copula。

由于金融數(shù)據(jù)的尖峰厚尾性，本研究將各板塊的綜合金融指數(shù)擬合成t分布，利用t-Copula函數(shù)進(jìn)行組合資產(chǎn)的風(fēng)險價值測量。t-Copula滿足

其中的參數(shù)可以由兩階段法的極大似然估計求出，即先估計出各邊緣分布的參數(shù)，邊緣分布確定后，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行（0，1）之間的映射則可得出累計分布的數(shù)據(jù)，再由映射后的數(shù)據(jù)得出Copula函數(shù)的參數(shù)。圖1是參數(shù)為（0.5，3）的二元t-Copula函數(shù)的展示，從四角的分布情況可以看出其具有的厚尾特性，這表示極端值出現(xiàn)的可能大小[15]。

圖1 二元t-Copula函數(shù)

1.3.2 CoVaR的計算

若X i和X j分別表示板塊i和整個機構(gòu)j的對數(shù)收益率序列，f(X i，X j)表示X i和X j的聯(lián)合分布密度函數(shù)，則X j在既定的條件下分布密度函數(shù)為

將Copula函數(shù)與式(9)結(jié)合，便可得到

所以整個機構(gòu)j的CoVaR值可以由下式得到

也就是說，在確定了分位數(shù)q、金融板塊i的VaR值，就可以反解出的值，通過Fj函數(shù)的逆運算，就可以得出整個機構(gòu)j的CoVaR值[16]。

2 實證分析

本研究選擇中央?yún)R金資產(chǎn)管理公司所投資的20只股票進(jìn)行研究，數(shù)據(jù)來源于東方財富choice金融終端，為2015年6月1日至2021年3月23日的日收盤數(shù)據(jù)，去除缺失值后，數(shù)據(jù)數(shù)量為948個，股票名稱及類別如表1所示。

表1 樣本分類及名稱

利用對數(shù)收益率公式

其中Pt表示第t天該股票的收盤價格，則可計算出每只股票的波動率，再進(jìn)行k-均值聚類，將收益率相似的股票聚為一組，由此產(chǎn)生新的5個板塊，如表2所示。

表2 聚類后樣本分類情況

令每股的股本數(shù)為1，利用加權(quán)法計算出各板塊(A-E)和總體的股票收益率F的綜合指數(shù)[17]，給出圖1所示對應(yīng)的二維平面散點，如圖2（a）所示；繪制出各板塊和總體收益率映射之后的散點圖，如圖2（b-f）所示。

通過上述圖像的比對，可以看到圖2（b-f）的分布情況都與圖2（a）具有極大相似性，并展現(xiàn)出不同程度的厚尾特征，所以選擇二元t-Copula函數(shù)是合理的?，F(xiàn)在將各數(shù)據(jù)擬合成t分布，計算出所有邊緣分布函數(shù)的參數(shù)，再利用t-Copula函數(shù)進(jìn)行連接，估計出5個t-Copula函數(shù)的參數(shù)(ρ,v)，結(jié)果如表3所示。

圖2 散點圖

表3 參數(shù)估計情況

根據(jù)上述Copula函數(shù)的參數(shù)估計結(jié)果，以及Copula函數(shù)自身定義域的特點，可采用Monte Carlo模擬計算各個板塊的綜合收益率對整個金融機構(gòu)的風(fēng)險貢獻(xiàn)[18]，當(dāng)各個板塊的股票出現(xiàn)危機時，可以選用5%的分位點，相對應(yīng)的機構(gòu)收益率便是所求的CoVaR。第一步，隨機生成滿足上述t-Copula函數(shù)的兩列1 000個屬于(0,1)之間的概率序列；第二步，篩選出當(dāng)5個板塊處于5%的分位點時，整個機構(gòu)的累計概率值；第三步，重復(fù)以上步驟10 000次。這樣就能得到當(dāng)某個板塊處于風(fēng)險和正常狀態(tài)下整個機構(gòu)的累積概率的分布情況，再取出5%分位點的累積概率值，通過邊緣分布的逆運算得出相應(yīng)的CoVaR，ΔCoVaR和ΔCoVaR/VaR值,結(jié)果如表4所示。

表4 計算結(jié)果及檢驗情況

從表4可以看出，各個股票板塊的風(fēng)險溢出雖然對整個投資機構(gòu)的影響程度各有不同，但通過CoVaR方式測度出的系統(tǒng)性風(fēng)險都要遠(yuǎn)大于用VaR測出的風(fēng)險，出現(xiàn)這種情形的原因，是由于整個系統(tǒng)的綜合股票收益率指數(shù)是由各個金融產(chǎn)品的收益率通過簡單平均計算而來，所以各個板塊的綜合收益率與整個機構(gòu)的綜合收益率之間存在著從屬關(guān)系，故當(dāng)某個板塊陷入風(fēng)險時，對整個金融機構(gòu)的系統(tǒng)性風(fēng)險存在嚴(yán)重的影響。

其中第1、2、3、4個板塊的溢出水平較高，都達(dá)到80%以上，管理者和投資者在進(jìn)行整個機構(gòu)的風(fēng)險管理時應(yīng)著重注意這4個板塊；而第5個板塊的風(fēng)險溢出水平約有60%，是所有板塊中溢出水平最低的一類，當(dāng)該板塊的股票陷入危機時，其對整個機構(gòu)的溢出風(fēng)險水平影響相對較?。坏渲械?個板塊的風(fēng)險溢出水平最高，超過100%，所以應(yīng)對迪馬股份、中信重工、四方股份、中天科技、北方導(dǎo)航這幾支股票尤為注意。

3 結(jié)論

本研究基于Adrian等提出的CoVaR理論，結(jié)合聚類分析和Copula函數(shù)，對中央?yún)R金投資機構(gòu)進(jìn)行了系統(tǒng)性的風(fēng)險測度，并且在進(jìn)行整體風(fēng)險管控時，從所持有股票對整個機構(gòu)的風(fēng)險溢出水平進(jìn)行分析，指出了管理者應(yīng)該著重監(jiān)督管理的股票。這一方法增加了管理者對金融機構(gòu)監(jiān)管的靈活程度，對整個機構(gòu)的風(fēng)險管理不再采用籠統(tǒng)的一體化監(jiān)管方法，而是可以根據(jù)機構(gòu)本身所擁有的金融產(chǎn)品的風(fēng)險溢出情況，對不同類型的股票進(jìn)行有差別的靈活管控，為風(fēng)險管理者提供了新的管控方向。