復(fù)合跟蹤微分器在電容式位移傳感器中的應(yīng)用

吳 昊，陳 豫

(1.上海交通大學(xué) 自動(dòng)化系，上海 200240；2.上海維宏電子科技股份有限公司，上海 200241)

電容式位移傳感器是一種基于電容極板效應(yīng)的間接測距裝置。由于其具有結(jié)構(gòu)簡單、檢測精度高、靈敏度高、非接觸式等優(yōu)點(diǎn)[1]，廣泛應(yīng)用于激光隨動(dòng)控制系統(tǒng)測量切割頭與加工工件距離。加工過程中，由于噴渣、極板接地不良、氣體擾動(dòng)、工件表面不平整、電容邊緣效應(yīng)等原因，導(dǎo)致電容傳感器獲取的位置信息中存在較大隨機(jī)擾動(dòng)。為獲得良好控制品質(zhì)，在進(jìn)行控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)過程中，需要對位置微分信號(hào)進(jìn)行有效提取[2-3]。采用直接微分(差分)方法進(jìn)行微分信號(hào)提取，由于噪聲擾動(dòng)導(dǎo)致不能有效提取微分信號(hào)[4]，嚴(yán)重情況下引發(fā)震顫，機(jī)械異響等問題。因此獲取高質(zhì)量原始信號(hào)逼近和準(zhǔn)確的微分信號(hào)對于控制品質(zhì)的提高有重要意義。

跟蹤微分器(DT, differential tracker)，由韓京清提出一種從不連續(xù)或者帶有隨機(jī)噪聲信號(hào)中提取連續(xù)信號(hào)以及微分信號(hào)技術(shù)[5]。通過對其頻域分析，表明其在含有隨機(jī)噪聲、不連續(xù)原始信號(hào)逼近、微分信號(hào)提取具有較好性能[6]，相較于廣泛應(yīng)用的卡爾曼濾波器[7]計(jì)算復(fù)雜度更小。跟蹤微分器應(yīng)用于自抗擾控制[2]、信號(hào)處理[8]、模式識(shí)別等領(lǐng)域。

跟蹤微分器中的作用函數(shù)對濾波特性、跟蹤相位滯后、微分信號(hào)估計(jì)準(zhǔn)確度起決定性作用，因此作用函數(shù)被作為重點(diǎn)研究內(nèi)容?，F(xiàn)有文獻(xiàn)中，在解決相位滯后，微分信號(hào)提取方面許多學(xué)者提出了不同形式跟蹤函數(shù)。文獻(xiàn)[9]中提出非線性冪次項(xiàng)形式跟蹤函數(shù)，在平衡點(diǎn)附近為線性，遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)為非線性，避免抖振現(xiàn)象發(fā)生。文獻(xiàn)[10]在非線性滑模跟蹤微分器分析基礎(chǔ)上,提出一種結(jié)構(gòu)簡單、易于實(shí)現(xiàn)的非線性微分器。文獻(xiàn)[11]在綜合分析綜合控制器屬性基礎(chǔ)上提出雙曲正切形式的跟蹤微分器，文獻(xiàn)[12]對采用此形式的跟蹤微分器進(jìn)行相位分析。此外不乏基于sigmoid函數(shù)[13]，反正切[14]等其他形式的跟蹤微分器。文獻(xiàn)[15]提出一種通過使用原始信號(hào)進(jìn)行補(bǔ)償方式改進(jìn)跟蹤微分器，該方法中將通過低通濾波器濾波的原始信號(hào)作為補(bǔ)償量，但由于低通濾波器本質(zhì)是一階慣性環(huán)節(jié)，自身存在響應(yīng)及時(shí)性和噪聲抑制的矛盾，導(dǎo)致在輸入信號(hào)噪聲較大情況下，不能兼顧相位補(bǔ)償和輸出噪聲問題。實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，雖然基于不同形式作用函數(shù)的跟蹤微分器都能有較好效果，但存在參數(shù)調(diào)試繁瑣，不能很好平衡跟蹤相位滯后和微分信號(hào)噪聲放大問題。將前饋補(bǔ)償思路引進(jìn)跟蹤微分器，針對跟蹤微分器由于二階串聯(lián)積分系統(tǒng)導(dǎo)致跟蹤相位滯后以及降低噪聲影響提出復(fù)合跟蹤微分器。在不增大微分信號(hào)噪聲情況下，通過前饋補(bǔ)償作用降低跟蹤信號(hào)相位滯后。在等效線性分析基礎(chǔ)上[16]，跟蹤微分器等效于二階環(huán)節(jié)，可以將二階環(huán)節(jié)固有頻率和阻尼比對系統(tǒng)性能影響作為參考。最后將復(fù)合跟蹤微分器應(yīng)用于電容式位移傳感器中，通過仿真及實(shí)測結(jié)果表明，復(fù)合跟蹤微分器在相位滯后、微分信號(hào)提取方面具有更好效果，且方便調(diào)試。

1 電容式位移傳感器原理分析

實(shí)驗(yàn)平臺(tái)所采用的傳感器類型為變間隙式平行板電容傳感器，電容極板由感應(yīng)極板和固定極板2部分構(gòu)成，感應(yīng)極板安裝于電容傳感器下端，待加工工件作為固定極板。感應(yīng)極板形狀為激光切割系統(tǒng)中普遍使用的圓形極板。加工過程中，安裝在切割頭底部的電容極板隨著切割頭運(yùn)動(dòng)，通過檢測固定極板和感應(yīng)極板間電容信號(hào)，并由電容放大電路對信號(hào)進(jìn)行初步處理，實(shí)現(xiàn)切割頭相對于加工工件位置的實(shí)時(shí)測量。電容式位移傳感器激光切割頭示意圖如圖1所示，變間隙式平行板感應(yīng)極板端截面如圖2所示。

圖1 切割頭示意Fig. 1 Schematic of cutting head

圖2 電容極板截面圖Fig. 2 Sectional view of capacitor plate

測距原理

(1)

其中：C為極板電容；S為極板面積；d為極板間距；ε1,ε0為真空介電常數(shù)、相對介電常數(shù)。

由于極板之間為空氣，一般情況下ε1=1，上式可表述為

(2)

極板間距變化量Δd與電容變化量ΔC對應(yīng)關(guān)系

(3)

從式(2)可以看出，電容傳感器位置和電容值對應(yīng)關(guān)系和介電常數(shù)有關(guān)，介電常數(shù)通常不是固定值，且非線性和靈敏度之間存在矛盾。因此，實(shí)驗(yàn)中采用離線查表的方式實(shí)現(xiàn)位置檢測。在進(jìn)行查表前，需完成標(biāo)定動(dòng)作以生成電容—位置高度對應(yīng)表。加工過程中根據(jù)實(shí)時(shí)電容查表獲取對應(yīng)高度。上述根據(jù)電容查表獲取高度的方法相較于通過電容值計(jì)算得到高度方法具有計(jì)算機(jī)資源消耗低、精度高等優(yōu)勢。

2 復(fù)合跟蹤微分器

2.1 經(jīng)典跟蹤微分器

跟蹤微分器具有較好的濾波特性,不僅能在含有噪聲的測量信號(hào)中獲取良好的原始信號(hào)逼近，還兼具微分信號(hào)的估計(jì)作用[17]。研究限于二階跟蹤微分器在原始信號(hào)濾波，及一階微分信號(hào)提取中的使用。

經(jīng)典跟蹤微分器的基本原理如下

二階系統(tǒng)

(4)

其中：x1，x2是系統(tǒng)的狀態(tài)變量；f(.)是系統(tǒng)的作用函數(shù)。

定理1：

對上述二階系統(tǒng)，按菲利波夫意義所有解x1(t),x2(t)有界且滿足

(5)

(6)

結(jié)論表明，構(gòu)造適當(dāng)?shù)淖饔煤瘮?shù)f(.)，使得式(4)漸進(jìn)穩(wěn)定，x1(t)將平均收斂于v(t)，x2(t)收斂于x1(t)的廣義導(dǎo)數(shù)，式(6)稱為跟蹤微分器，文獻(xiàn)[18]從收斂性角度對跟蹤微分器給出完整的理論證明。

2.2 復(fù)合跟蹤微分器

1)等效線性分析

針對由不同形式跟蹤函數(shù)構(gòu)成的跟蹤微分器在分析以及參數(shù)調(diào)試等方面存在難點(diǎn)，浙江大學(xué)的勞立明[19]等人對跟蹤微分器在平衡點(diǎn)附近和遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)進(jìn)行系統(tǒng)性分析并得出結(jié)論：跟蹤微分器性能主要由平衡點(diǎn)附近動(dòng)態(tài)特性決定。在忽略高階項(xiàng)時(shí)，給出不同形式跟蹤函數(shù)的統(tǒng)一形式，并從頻域角度給出理論分析證明。

(7)

α1,α2,β1,β2的參數(shù)在設(shè)計(jì)過程中，需要保證式(4)的收斂性[18]。通過在平衡點(diǎn)附近線性化之后，可進(jìn)一步將不同形式跟蹤函數(shù)寫成如下形式，

(8)

2)復(fù)合跟蹤微分器原理

復(fù)合跟蹤微分器由2個(gè)跟蹤微分器通過串級形式構(gòu)成，復(fù)合跟蹤微分器系統(tǒng)框圖如圖3所示。

圖3 復(fù)合跟蹤微分器系統(tǒng)框圖Fig. 3 Block diagram of compound tracking differentiator system

復(fù)合跟蹤微分器的微分表達(dá)式如下，其中：v是輸入信號(hào)；x1,x2為跟蹤微分器(I)的跟蹤輸出和一階微分輸出；R1,k1,k2為跟蹤微分器(I)的系統(tǒng)參數(shù)；x3,x4為跟蹤微分器(II)的跟蹤輸出和一階微分輸出；R2,k3,k4為跟蹤微分器(II)的系統(tǒng)參數(shù)。

(9)

對上述復(fù)合跟蹤微分器在零初始條件下進(jìn)行拉斯變換，可以得到復(fù)合跟蹤微分器中參考信號(hào)和跟蹤輸出傳遞函數(shù)分別為

(10)

(11)

從傳遞函數(shù)可知，使用前饋補(bǔ)償?shù)姆绞浇o系統(tǒng)引入了零點(diǎn)，并且可以通過修改系數(shù)補(bǔ)償系數(shù)α對零點(diǎn)進(jìn)行配置，修改補(bǔ)償系數(shù)就是對零點(diǎn)進(jìn)行配置的過程，當(dāng)補(bǔ)償系數(shù)為零則為一般形式的跟蹤微分器。對系統(tǒng)而言，零點(diǎn)的配置一方面提升系統(tǒng)的穩(wěn)定性，另一方面系統(tǒng)的響應(yīng)速度也相應(yīng)提高，有利于降低跟蹤信號(hào)的相位滯后。

設(shè)補(bǔ)償系數(shù)α=0 ，則跟蹤微分器傳遞函數(shù)變?yōu)槎A環(huán)節(jié)形式，

(12)

(13)

對復(fù)合跟蹤微分器而言，2個(gè)跟蹤器的作用不相同。跟蹤微分器(I)主要作用是從原始信號(hào)中提取光滑跟蹤信號(hào)作為跟蹤微分器(II)的補(bǔ)償量，跟蹤微分器(II)在復(fù)合跟蹤微分器中起主導(dǎo)作用，在設(shè)計(jì)過程中，需要根據(jù)原始信號(hào)特性分別調(diào)整相應(yīng)跟蹤微分器(I)和跟蹤微分器(II)的參數(shù)。滿足濾波和微分信號(hào)提取要求。

3 仿真及實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

為驗(yàn)證復(fù)合跟蹤微分器在原始信號(hào)逼近，以及微分信號(hào)提取的有效性，搭建Simulink仿真模型，仿真模型框圖如圖4所示，復(fù)合跟蹤微分器使用跟蹤微分器(I)和跟蹤微分器(II)串聯(lián)形式，跟蹤微分器輸入帶高斯白噪聲(均值：0，方差0.001)頻率1 Hz，幅值1的正弦信號(hào)。實(shí)驗(yàn)平臺(tái)通過控制工件進(jìn)行正弦(頻率1 Hz，幅值1 mm)運(yùn)動(dòng)，模擬實(shí)際加工過程。

圖4 Simulink仿真圖Fig. 4 Simulink simulation diagram

分別對上述跟蹤微分器在MATLAB/SIMULINK平臺(tái)上進(jìn)行仿真，并在測試平臺(tái)上進(jìn)行實(shí)際測試，從仿真和實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上的結(jié)果看，復(fù)合跟蹤微分器在電容式位移傳感器中，提取原始位置信號(hào)以及速度信號(hào)估計(jì)中優(yōu)異性能，圖5、圖6分別為仿真和實(shí)際測試結(jié)果。

圖5 仿真結(jié)果Fig. 5 Simulation results

圖6 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)測試Fig. 6 Experimental platform test

從仿真和實(shí)測結(jié)果可以看出，在相同原始信號(hào)輸入的條件下，復(fù)合跟蹤器在相位滯后和微分信號(hào)提取準(zhǔn)確性上有更好效果。復(fù)合跟蹤微分器是由2個(gè)等效線性形式跟蹤微分器組成，2個(gè)跟蹤微分器的作用不同，決定其在參數(shù)上的差異。通過跟蹤微分器在零點(diǎn)附近進(jìn)行等效線性變換可知，跟蹤微分器為二階環(huán)節(jié)，二階環(huán)節(jié)的性能由系統(tǒng)的固有頻率和阻尼系數(shù)決定。降低系統(tǒng)的阻尼系數(shù)、增大固有頻率，可減小跟蹤信號(hào)相位滯后，但阻尼系數(shù)過小會(huì)降低抑制噪聲能力導(dǎo)致振蕩。為保證復(fù)合跟蹤微分器既能以較小相位滯后跟蹤原始信號(hào)，又能很好抑制噪聲保證微分估計(jì)信號(hào)的品質(zhì)。通過跟蹤器(I)對原始信號(hào)進(jìn)行濾波，并將經(jīng)過濾波之后的跟蹤輸出作為跟蹤微分器(II)補(bǔ)償量。將跟蹤微分器(I)阻尼系數(shù)設(shè)置小于0.5，以實(shí)現(xiàn)光滑跟蹤輸出。跟蹤微分器(II)在復(fù)合跟蹤微分器中起主導(dǎo)作用，其阻尼系數(shù)和固有頻率設(shè)置比跟蹤微分器(I)大，具有較好濾波性能，在跟蹤微分器(I)的光滑補(bǔ)償作用下，保證復(fù)合跟蹤微分器跟蹤輸出相位滯后小的同時(shí)能對噪聲有很好的抑制作用。因此，與經(jīng)典跟蹤微分器比較，復(fù)合跟蹤微分器具有更靈活結(jié)構(gòu)，更好兼顧跟蹤輸出相位滯后和微分信號(hào)的提取。

4 結(jié) 語

主要討論了跟蹤微分器的等效線性形式，以及復(fù)合跟蹤微分器原理，將復(fù)合跟蹤微分器使用在電容式位移傳感器中，通過MATLAB/SIMULINK仿真以及實(shí)際測試，驗(yàn)證了復(fù)合跟蹤微分器相較于經(jīng)典跟蹤微分器在原始信號(hào)逼近及微分信號(hào)提取相位滯后更小。通過輸入幅值 1、頻率1 Hz的含噪正弦測試信號(hào)，結(jié)果表明復(fù)合跟蹤微分器和經(jīng)典跟蹤微分器均能光滑逼近原始信號(hào)、提取微分信號(hào)，復(fù)合跟蹤微分器相比于經(jīng)典微分跟蹤器，相位滯后小0.03 rad，兼顧了相位滯后和噪聲放大。跟蹤微分器作為自抗擾控制的重要組成部分，在對含噪原始信號(hào)處理過程中，保證光滑逼近的同時(shí)降低相位滯后，對于提高激光隨動(dòng)控制系統(tǒng)性能具有重要意義。