磁場作用下Cu-水納米流體傳熱數(shù)值模擬

王曉峰, 程 宏

（閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,福建漳州363000）

國家“十三五”時期，積極尋求能源效率利用，大力推動節(jié)能降耗工作，節(jié)能減排工作取得了顯著的成效，但要實現(xiàn)國際承諾的在2030年左右“碳達峰”“碳中和”的目標任務(wù)依然艱巨.為了順利實現(xiàn)這個宏偉目標，要積極研究新型節(jié)能環(huán)保技術(shù).納米流體作為一種新型高效換熱工質(zhì)展現(xiàn)出良好的換熱性能[1]，在車輛散熱、航天器熱控制、電子儀器設(shè)備熱管理、生物醫(yī)學(xué)、核能系統(tǒng)、制冷空調(diào)等領(lǐng)域具有十分廣闊的應(yīng)用前景[2-3].例如，宣益民[4]研究表明，在水中添加2%的Cu納米粒子，相同條件下納米流體的對流傳熱效率比水增大了約60%；Tharayil 等[5]發(fā)現(xiàn)在乙二醇中添加體積分數(shù)為0.3%的Cu 粒子，其導(dǎo)熱效率比基液提高40%以上.王曉峰等[6-9]對納米流體的傳熱問題進行了一系列數(shù)值研究，研究了三角形腔、梯形腔、方腔內(nèi)納米流體的傳熱問題，數(shù)值研究結(jié)果均表明增加納米流體的體積分數(shù)能提升納米流體的傳熱效率.

磁場作用對納米流體的傳熱也會有一定的影響[10].郭永健[11]對磁場作用下磁性納米流體的強化對流換熱進行了實驗研究，結(jié)果表明，磁場的加入使其換熱性能系數(shù)增大，施加外磁場能夠明顯增強磁性納米流體在管內(nèi)的換熱性能.齊美娜等[12]采用Chebyshev 配置點譜方法對磁場作用下方腔內(nèi)納米流體自然對流問題進行了數(shù)值模擬，結(jié)果表明納米流體流動與傳熱受Gr 數(shù)影響比較顯著.通過以上分析可以發(fā)現(xiàn)，大部分學(xué)者對磁性納米流體傳熱的研究是基于實驗室實驗或者已有的數(shù)值方法，更多關(guān)注于納米流體可顯著提高流體導(dǎo)熱系數(shù)的現(xiàn)象描述中，而對其提高納米流體傳熱效率的合理解釋較少.對傾斜方形腔內(nèi)Cu-水納米流體對流傳熱問題進行了研究，利用有限差分法對控制方程建立二階精度的差分格式，為減少邊界層對數(shù)值結(jié)果的影響，邊界采用四階精度離散，研究磁場作用對Cu-水納米流體傳熱效率的影響.

1 數(shù)學(xué)模型的建立

所考慮的物理模型及計算區(qū)域如圖1所示，傾斜方腔內(nèi)充滿Cu-水納米流體，正方形方腔邊長為L，左右壁面低溫度為Tc，上下兩個壁面絕熱，方腔的傾斜角為γ，磁場強度為B0.

圖1 物理模型及計算區(qū)域Fig.1 Physical model and calculation area

假定方腔內(nèi)Cu-水納米流體為各向同性、不可壓縮的牛頓流體，不考慮黏性耗散和熵的影響，Cu納米顆粒與水處于熱平衡，表1給出水和Cu納米顆粒的熱物性參數(shù)[12].

表1 水與Cu的物性參數(shù)Tab.1 Physical properties of water and Cu

對應(yīng)物理模型的無量綱控制方程[13]為

這里

Ra為瑞利數(shù)，Ha為哈特曼數(shù)，Ψ為流函數(shù)，T為溫度函數(shù)，γ為傾斜角，ρ為密度，?為納米顆粒體積分數(shù)，下標s,f分別表示Cu納米顆粒和水對應(yīng)的物性參數(shù)下標，cp為比熱容，κ為導(dǎo)熱系數(shù)，σ為導(dǎo)電率.相應(yīng)的邊界條件為上邊界Ψ= 0, ?Ψ?y= 0，?T?y= 0，下邊界Ψ= 0, ?Ψ?y= 0，?T?y= 0，左邊界Ψ= 0,?Ψ?x= 0，T= 1，右邊界Ψ= 0,?Ψ?x= 0，T= 0，局部努塞爾數(shù)和平均努塞爾數(shù)分別表示為

2 有限差分格式

為建立式(1)-(2)的有限差分格式，將求解區(qū)域[0,1]×[0,1]進行均勻網(wǎng)格剖分，令xi=ih,yj=jh,h= 1/M,i,j=0,1,...,M,M為正整數(shù).對于任意變量u，引入如下差分算子:

則可得式(1)-(2)的二階精度差分格式為

由于四個邊界上速度U= 0，故而在四個邊界上對應(yīng)的流函數(shù)Ψ= 0.對于時間邊界的處理，左右邊界T= 0，上下兩個邊界考慮如下四階精度格式[13]:

3 數(shù)值模擬結(jié)果分析

本節(jié)主要討論磁場作用下不同哈特曼數(shù)Ha、不同瑞利數(shù)Ra、不同傾斜角γ、不同納米顆粒體積分數(shù)?對Cu-水納米流體傳熱效率的影響.首先，先進行網(wǎng)格獨立性驗證,確定網(wǎng)格節(jié)點取多大時平均努塞爾數(shù)保持不變,為此分別取如下參數(shù)Ra= 100，Ha= 10，γ= π 6，?= 5%，分別采用如下八個步長h= 1 10,1 20,…,1 80 計算對應(yīng)的Cu-水納米流體平均努塞爾數(shù), 所得結(jié)果如圖2a).從圖2 中可以看到，當采用h= 1 60 的計算網(wǎng)格時平均努塞爾數(shù)就不再明顯變化，故而采用61× 61 的網(wǎng)格點進行計算，此時得到的流函數(shù)如圖2b).

圖2 網(wǎng)格無關(guān)性驗證及流函數(shù)分布Fig.2 Grid independence validation and stream function distribution

采用61× 61 的計算網(wǎng)格來研究各種物性參數(shù)對Cu-水納米流體傳熱效率的影響.表2 給出不同瑞利數(shù)下Cu-水納米流體平均努塞爾數(shù)及其增長率，取Cu 納米顆粒體積分數(shù)，Ha= 0,γ= π 6，取Ra=100,300,500，這里增長比例的計算公式為這里表示?= 1%,2%,3%,4%,5%時納米流體的平均努塞爾數(shù)，Nu*f表示?= 0%時納米流體(水)的平均努塞爾數(shù).

從表2中可以看出,在固定Ha= 0,γ= π 6時，對于所考慮的瑞利數(shù)Ra= 100,300,500，提高Cu-水納米顆粒的體積分數(shù)?均可以使得Cu-水納米流體平均努塞爾數(shù)增大，也即Cu-水納米流體的傳熱效率也逐漸增強.比如，在Ra= 300 時，當Cu 納米顆粒的體積分數(shù)從1%增加到5%，Cu-水納米流體的平均努賽爾數(shù)從0.019%增加到0.399%，由此可以看到，加入納米顆粒對納米流體的傳熱效率起到積極的促進作用.

表2 不同瑞利數(shù)下納米流體平均努塞爾數(shù)及其增長比例Tab.2 The average Nusselt number and its growth rate with different Rayleigh number

表3 給出不同哈特曼數(shù)Ha下Cu-水納米流體平均努塞爾數(shù)，取Ra= 100,γ= 0,?= 0% ～5%.從表3中可以看出，當Ha= 1 時,增加Cu 納米顆粒體積分數(shù)?，納米流體平均努塞爾數(shù)隨之增強，但當Ha= 10和50時，隨著納米顆粒體積分數(shù)?的增加，納米流體平均努塞爾數(shù)略有減弱.另一方面，隨著哈特曼數(shù)Ha的增加，相同的納米顆粒的體積分數(shù)?下Cu-水納米流體平均努塞爾數(shù)有輕微的降低，比如在取定?= 5%時，當哈特曼數(shù)Ha從1增加到50時，Cu-水納米流體平均努塞爾數(shù)從0.486 65降到0.486 37.

表3 不同哈特曼數(shù)下納米流體平均努塞爾數(shù)Tab.3 The average Nusselt number with different Hartmann number

圖3 給出了不同傾斜角下Cu-水納米流體所對應(yīng)的流函數(shù)分布，這里取Ha= 10,Ra= 1000,?= 5%，傾斜角取值從γ= 0 逐漸增加到到γ= π 2.從圖3 中可以看出，傾斜角對方腔Cu-水納米流體的傳熱具有明顯的影響作用.計算得當γ= 0 時Ψmax= 0.057 46,當γ= π 6 時Ψmax= 0.095 23,當γ= π 4 時Ψmax=0.142 38,當γ= π 2 時Ψmax= 0.338 57,可以看到隨著傾斜角的增加流函數(shù)最大值都隨之增加，對應(yīng)的溫度函數(shù)最大值如表4.

圖3 不同傾斜角下納米流體流函數(shù)分布Fig.3 Stream function distribution of nanofluid under different inclination angles

從表4可以看出，隨著傾斜角的增加，Cu-水納米流體溫度函數(shù)最大值也逐漸增加.

表4 不同傾斜角下納米流體溫度函數(shù)最大值Tab.4 The maximum value of the temperature function of the nanofluid under different inclination angles

4 結(jié)論

對磁場作用下傾斜方腔體內(nèi)Cu-水納米流體的傳熱問題建立了二階精度差分算法，研究了Cu-水納米流體體積分數(shù)、方腔傾斜角、哈特曼數(shù)、瑞利數(shù)對納米流體傳熱效率的影響.數(shù)值模擬結(jié)果表明，當取瑞利數(shù)從100增加到500時提高納米流體的體積分數(shù)可以提高Cu-水納米流體的傳熱效率，且在方腔傾斜角從γ= 0到γ= π 2時納米流體對應(yīng)的流函數(shù)和溫度函數(shù)最大值也隨之增加，當γ= π 2時傳熱效率最高.