基于重構(gòu)噪聲子空間的相干信號(hào)DOA估計(jì)

張 石, 許方晗, 佘黎煌, 劉平凡

(東北大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院, 遼寧 沈陽 110169)

DOA(direction of arrival)估計(jì)是一種重要的陣列信號(hào)處理技術(shù),廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、通信及醫(yī)療領(lǐng)域[1-2].隨著通信環(huán)境的日益復(fù)雜,到達(dá)天線陣的信號(hào)通常是相干的,傳統(tǒng)DOA估計(jì)算法的性能會(huì)逐漸下降甚至完全失效[3-4].因此,相干信源的波達(dá)方向估計(jì)是當(dāng)前空間譜估計(jì)領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn)問題[5].

目前解相干有兩種方法:一種是降維處理[6-8],例如前后向空間平滑(FBSS)算法,它具有較好的解相干性能[6],但會(huì)損失陣列孔徑[7];另一種則沒有進(jìn)行降維處理,此類方法主要利用接收數(shù)據(jù)矩陣來構(gòu)造Toeplitz矩陣從而實(shí)現(xiàn)解相干[9],但計(jì)算復(fù)雜度也會(huì)隨之增加.

針對(duì)傳統(tǒng)的多信號(hào)分類(multiple signal classification,MUSIC)算法對(duì)相干信源不能進(jìn)行正確的施密特正交化[10],文獻(xiàn)[11]提出了IMMUSIC(improved MUSIC)算法.IMMUSIC算法使重構(gòu)的協(xié)方差矩陣具有Toeplitz矩陣的特征,可以得到相干信源的DOA估計(jì);但如果信號(hào)信噪比較低或信號(hào)間隔較小時(shí)則無法準(zhǔn)確地分辨信號(hào),DOA估計(jì)的性能將明顯下降[12].對(duì)于相干信號(hào)而言,本文充分利用陣元接收數(shù)據(jù)來構(gòu)造一個(gè)新的增廣矩陣,提出一種基于重構(gòu)噪聲子空間的相干信源DOA估計(jì)算法.

1 信號(hào)模型

假設(shè)角度分別為θi(i= 1,2,…,D)的D(D

(1)

式中:si(t)(i= 1,2,…,D)是入射到天線陣的波前信號(hào)源;λ是信號(hào)波長;d為陣元間距;nk(t)是t時(shí)刻測量到的理想高斯白噪聲.假設(shè)接收信號(hào)與接收噪聲統(tǒng)計(jì)獨(dú)立,并且陣元接收到的噪聲彼此不相關(guān),方程(1)可以用矩陣形式改寫成

X(t)=A(θ)S(t)+N(t) .

(2)

(3)

N(t)=[n1(t),n2(t),…,nM(t)]T為噪聲矢量.

2 新型高精度DOA估計(jì)算法

2.1 MUSIC算法

對(duì)于解決非相干信號(hào)的DOA估計(jì),MUSIC算法可以達(dá)到高分辨率估計(jì)的效果[10].接收數(shù)據(jù)矩陣X(t)的協(xié)方差矩陣RX可表示為

RX=E[X(t)XH(t)]=AE[S(t)SH(t)]AH+E[N(t)NH(t)]=ARSAH+RN.

(4)

式中:RS=E[S(t)SH(t)];RN=σ2I.

對(duì)矩陣RX進(jìn)行特征分解,得

RX=UΣUH.

(5)

式中:U為特征向量矩陣;Σ為特征值構(gòu)成的對(duì)角陣,Σ=diag(λ1,λ2,…,λM)且λ1≥λ2≥…≥λM.按序排列矩陣RX的特征值,可以得到與信號(hào)源數(shù)量相等的D個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量構(gòu)成的信號(hào)子空間和由M-D個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量構(gòu)成的噪聲子空間:

(6)

式中:US是信號(hào)子空間;UN是噪聲子空間.

(7)

在入射信號(hào)源為非相干情況下,MUSIC算法可以實(shí)現(xiàn)高分辨率的DOA估計(jì);但是當(dāng)相干的信號(hào)源入射到陣元上時(shí),MUSIC算法的估計(jì)性能惡化,甚至完全失效.為了能準(zhǔn)確估計(jì)相干信號(hào)的波達(dá)方向,需要對(duì)陣列輸出信號(hào)協(xié)方差矩陣進(jìn)行一系列運(yùn)算,使信號(hào)協(xié)方差的秩恢復(fù)為rank(RX)=D,從而正確地估計(jì)信源的DOA.

2.2 修正MUSIC(MMUSIC)算法

在MUSIC算法中接收信號(hào)模型表達(dá)式為

X(t)=A(θ)S(t)+N(t).

(8)

定義新的矩陣Y(t)為

Y(t)=JX*(t).

(9)

式中J是M×M階反單位矩陣:

(10)

因此Y(t)的協(xié)方差矩陣可表示為

(11)

定義矩陣G為

G=diag(e-j(M-1)φ1,e-j(M-1)φ2,…,e-j(M-1)φD).

(12)

通過推導(dǎo)可以得到

JA*=AG*.

(13)

協(xié)方差矩陣R定義如下:

(14)

從上述公式推導(dǎo)過程可以看出,修正MUSIC算法的實(shí)質(zhì)是前后向空間平滑(FBSS)算法在子陣長度等于陣元個(gè)數(shù)的特殊情況[13].

2.3 IRNSMUSIC算法

為了解決DOA估計(jì)數(shù)組中相干信源的問題,本文提出一種基于重構(gòu)噪聲子空間(IRNS)的算法.IRNS算法的推導(dǎo)如下.

在IMMUSIC算法[11]中,只利用了X(t)和Y(t)的自協(xié)方差信息;而本文算法則充分利用X(t)和Y(t)的互協(xié)方差信息去構(gòu)造一個(gè)新的増廣矩陣,其表達(dá)式為

RA=[RXRYRXYRXY] .

(15)

式中:RXY=E[X(t)YH(t)]是X(t)和Y(t)的互協(xié)方差矩陣;RYX=E[Y(t)XH(t)]是Y(t)和X(t)的互協(xié)方差矩陣.

通過對(duì)增廣矩陣RA進(jìn)行奇異值分解,可以得到對(duì)應(yīng)的噪聲子空間和特征值為

RA=UZVT.

(16)

將式(14)作奇異值分解,得

[U1,Z1,V1]=SVD(R) .

(17)

式中,Z1=diag(η1,η2,…,ηM)是特征值矩陣且η1≥η2≥…≥ηM.

Zn=diag(λn,1,λn,2,…,λn,M) .

(18)

式中,λn,1≥λn,2≥…≥λn,M.

選擇Zn的特征值關(guān)聯(lián)的特征向量以構(gòu)造一個(gè)新的特征向量矩陣:

Un=[μn,1,μn,2,…,μn,M] .

(19)

從矩陣Un中選擇第D+1列到第M列來重建一個(gè)M×(M-D)維矩陣,則新的噪聲子空間表達(dá)式為

Urecn=[μn,D+1,μn,D+2,…,μn,M].

(20)

最后,IRNSMUSIC算法的空間譜估計(jì)表達(dá)式為

(21)

對(duì)譜峰進(jìn)行搜索,尖峰的位置就是相干信號(hào)的波達(dá)方向.IRNSMUSIC算法的實(shí)現(xiàn)過程如下:

1) 根據(jù)式(15)構(gòu)造接受數(shù)據(jù)的增廣協(xié)方差矩陣;

2) 對(duì)式(16)的RA執(zhí)行奇異值分解;

3) 對(duì)式(14)的R執(zhí)行奇異值分解;

4) 根據(jù)式(20)重構(gòu)新的噪聲子空間;

5) 求PIRNS的D個(gè)最大峰值,得到相干信號(hào)的DOA估計(jì).

3 仿真和分析

為解決相干信源DOA估計(jì)的問題,仿真分析了新算法的性能.性能分析的主要指標(biāo)包括不同算法的空間分辨率及算法的穩(wěn)健性隨著信噪比和采樣快拍數(shù)的變化關(guān)系等.實(shí)驗(yàn)條件為8個(gè)間距為d(d=λ/2)的傳感器組成的均勻等距線陣,噪聲為理想高斯白噪聲.

3.1 驗(yàn)證IRNSMUSIC算法的有效性

實(shí)驗(yàn)一.3個(gè)遠(yuǎn)場窄帶信號(hào)的入射角分別為-20°,40°,60°,其中前兩個(gè)信號(hào)為相干信號(hào),第3個(gè)信號(hào)為非相干信號(hào).圖1顯示了信噪比為0 dB時(shí)IMMUSIC算法、MMUSIC算法和IRNSMUSIC算法的DOA估計(jì)結(jié)果.

由圖1的仿真曲線可知,當(dāng)信噪比較低時(shí),MMUSIC算法對(duì)相干信源的估計(jì)性能嚴(yán)重下降,而IMMUSIC算法與本文的IRNSMUSIC算法在信噪比較低時(shí)均具有較好的估計(jì)性能,并且IRNSMUSIC算法的譜峰更尖銳.

實(shí)驗(yàn)二.3個(gè)遠(yuǎn)場窄帶信號(hào)的入射角分別為0°,5°,60°,其中前兩個(gè)信號(hào)為相干信號(hào),第3個(gè)信號(hào)為非相干信號(hào).圖2顯示了信噪比為5 dB時(shí)所提IRNSMUSIC算法與IMMUSIC算法的DOA估計(jì)結(jié)果.

圖1 低信噪比3種算法的DOA估計(jì)

圖2 低信噪比及入射信號(hào)間隔較小時(shí)的DOA估計(jì)

由圖2的仿真曲線可得,IRNSMUSIC算法在低信噪比及信源入射間隔較小時(shí)也能夠準(zhǔn)確估計(jì)這兩個(gè)相干信號(hào)且譜峰較尖銳.

3.2 驗(yàn)證IRNSMUSIC算法的準(zhǔn)確性

為了驗(yàn)證IRNSMUSIC算法的DOA估計(jì)精度,以均方根誤差(RMSE)衡量算法準(zhǔn)確性的標(biāo)準(zhǔn):

(22)

實(shí)驗(yàn)三.采用MMUSIC算法、IMMUSIC算法及本文的IRNSMUSIC算法進(jìn)行性能對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn).采樣快拍數(shù)為1 024.兩組相干信源的入射角分別為0°和10°,測試信噪比從-10 dB變化到10 dB,每間隔2 dB進(jìn)行500次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn),結(jié)果如圖3所示.

從圖3的仿真曲線可知,在采樣快拍數(shù)一定的條件下,隨著信噪比的增加,3種算法的均方根誤差都呈現(xiàn)減小的趨勢,說明估計(jì)性能隨信噪比的增加而逐漸提升.IMMUSIC算法和IRNSMUSIC算法的RMSE曲線位置比MMUSIC算法更低,即估計(jì)性能更好;而IRNSMUSIC算法的RMSE曲線位置不僅略低于IMMUSIC算法而且曲線較為平滑,說明IRNSMUSIC算法具有更好的估計(jì)性能.

圖3 均方根誤差與信噪比之間的關(guān)系

實(shí)驗(yàn)四.采用MMUSIC算法、IMMUSIC算法及本文的IRNSMUSIC算法進(jìn)行性能對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn).信噪比為0 dB.兩組相干信源的入射角分別為0°和10°,測試采樣快拍數(shù)的范圍100～1 000,每間隔100個(gè)快拍數(shù)進(jìn)行500次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn),結(jié)果如圖4所示.

從圖4的仿真曲線可知,在信噪比一定的條件下,隨著采樣快拍數(shù)的增加,3種算法的均方根誤差都呈現(xiàn)減小的趨勢,說明估計(jì)性能隨著快拍數(shù)的增加而逐漸提升.本文IRNSMUSIC算法的RMSE曲線位置低于MMUSIC和IMMUSIC算法,說明IRNSMUSIC算法具有更好的DOA估計(jì)性能.

圖4 均方根誤差與快拍數(shù)之間的關(guān)系

4 結(jié) 語

傳統(tǒng)的MUSIC等譜估計(jì)算法在對(duì)相干信源進(jìn)行估計(jì)時(shí)可能失效,針對(duì)這一問題,本文提出一種基于重構(gòu)噪聲子空間的相干信源DOA估計(jì)算法.該算法充分利用接收到的數(shù)據(jù)信息構(gòu)造成增廣矩陣作為新的協(xié)方差矩陣,對(duì)該矩陣進(jìn)行奇異值分解得到對(duì)應(yīng)的噪聲子空間和特征值矩陣.按序比較兩個(gè)特征值矩陣對(duì)應(yīng)的特征值,重構(gòu)一個(gè)由較大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量所組成的噪聲子空間.最后通過譜峰搜索完成相干信源的DOA估計(jì).

仿真結(jié)果表明,本文提出的算法無孔徑損耗,能區(qū)分較小間隔的相干信號(hào),在信噪比較低及采樣快拍數(shù)較少的情況下DOA估計(jì)精度優(yōu)于MMUSIC算法和IMMUSIC算法.