基于概率密度演化方法的裝配式箱涵構(gòu)件可靠度研究

康玉梅, 李佳其, 劉子傲, 于佳月

(東北大學(xué) 資源與土木工程學(xué)院, 遼寧 沈陽(yáng) 110819)

裝配式箱涵是一種常見的工程結(jié)構(gòu),具有良好的場(chǎng)地適應(yīng)能力和整體受力性能,現(xiàn)已被廣泛應(yīng)用于公路和鐵路工程中[1-2].如何精確高效地分析裝配式箱涵各個(gè)構(gòu)件在設(shè)計(jì)和使用過程中的可靠性[3]是一個(gè)非常值得研究的問題.國(guó)內(nèi)外學(xué)者多采用蒙特卡羅方法[4]、隨機(jī)攝動(dòng)方法[5]和正交多項(xiàng)式展開理論[6]等可靠度求解方法分析地下結(jié)構(gòu)[7]和邊坡[8]的可靠度.蒙特卡羅法基于大數(shù)定律,在求解過程中需要多次迭代,計(jì)算量極大,花費(fèi)時(shí)間較長(zhǎng),且計(jì)算結(jié)果具有隨機(jī)收斂性,難以適用于實(shí)際工程.驗(yàn)算點(diǎn)法則存在計(jì)算精度不足的問題,學(xué)者們?yōu)榱颂岣唑?yàn)算點(diǎn)法的精度,提出了基于驗(yàn)算點(diǎn)法的改進(jìn)方法,例如,Chen等[9]依據(jù)在驗(yàn)算點(diǎn)處相似概率密度函數(shù)導(dǎo)數(shù)相等的原則,提出了三參數(shù)正態(tài)尾區(qū)近似的原則;Guo等[10]給出了結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的三階與四階可靠指標(biāo).雖然已經(jīng)在改進(jìn)驗(yàn)算點(diǎn)法方面取得了一些進(jìn)展,但是改進(jìn)后的驗(yàn)算點(diǎn)法在分析實(shí)際工程可靠度時(shí)的精度尚有待提高.Li等[11]提出了概率密度演化方法,該方法基于概率守恒原理,能夠充分考慮參數(shù)隨機(jī)性和樣本點(diǎn)之間的概率聯(lián)系,彌補(bǔ)了傳統(tǒng)可靠度分析方法中存在的不足[12].目前,概率密度演化方法已經(jīng)被應(yīng)用于部分地上和地下結(jié)構(gòu)的可靠度分析[13].

本文依托“雙遼至洮南高速公路 03A 設(shè)計(jì)段”裝配式箱型涵洞工程項(xiàng)目,基于概率密度演化方法分析裝配式箱涵構(gòu)件的可靠度,并與蒙特卡羅法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,驗(yàn)證概率密度演化方法的計(jì)算效率和精度,以期為裝配式箱涵構(gòu)件可靠度研究提供一種新的途徑和方法.

1 概率密度演化理論

在隨機(jī)物理系統(tǒng)中,概率密度演化理論可以描述任意狀態(tài)量的概率分布和演化過程.其為分析結(jié)構(gòu)受力的物理過程和考察隨機(jī)性的傳播規(guī)律,從概率角度求解結(jié)構(gòu)可靠度提供了理論依據(jù).概率密度守恒原理是概率密度演化理論的基礎(chǔ),具有兩種描述方式,分別為狀態(tài)空間描述和隨機(jī)事件描述[14].

狀態(tài)空間描述可表示為

ΔPD=ΔPS.

(1)

式中:ΔPD為確定時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)中的概率增加量;ΔPS為確定時(shí)間內(nèi)流入系統(tǒng)中的概率總量.

隨機(jī)事件描述可表示為

(2)

式中：D(·)為物質(zhì)導(dǎo)數(shù);Ωt為在給定時(shí)刻的狀態(tài)域.

隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)可表示為

(3)

式中:X為狀態(tài)向量,X(t0)=X0為系統(tǒng)的初始狀態(tài)向量;Θ為隨機(jī)向量;t為時(shí)間;f為微分函數(shù).

根據(jù)概率守恒原理:

(4)

特別地,對(duì)于靜力系統(tǒng)分析,需要構(gòu)造虛擬隨機(jī)過程:

Z(τ)=φ(Θ,τ) .

(5)

式中，φ(·)為虛擬過程函數(shù)，一般可取為φ(τ)=z·τ，其中虛擬時(shí)間τ∈[0,1]，z為靜力系統(tǒng)響應(yīng).此時(shí)，由式(5)可得其演化速度：

(6)

進(jìn)而可得(Z,Θ)的聯(lián)合概率密度函數(shù)，且滿足：

(7)

確定初始條件,采用數(shù)值求解算法對(duì)式(7)進(jìn)行求解.在給定的條件下求解式(4),即可獲得物理量Z的概率密度函數(shù):

(8)

取τ=1并對(duì)概率密度函數(shù)pZ(·)進(jìn)行求解，即可得到相應(yīng)的靜力可靠指標(biāo).

2 基于概率密度演化方法的裝配式箱涵構(gòu)件可靠度研究

2.1 功能函數(shù)

根據(jù)裝配式箱涵的受力情況來確定箱涵構(gòu)件的功能函數(shù).對(duì)于箱涵頂板、側(cè)墻及底板組成的整體需要重點(diǎn)關(guān)注其抗彎可靠度,對(duì)于鉸縫構(gòu)造處(上下各取0.5 m作為研究對(duì)象)需要重點(diǎn)關(guān)注其抗剪可靠度,實(shí)際的結(jié)構(gòu)受力形式如圖1所示.其中:g1為頂板自重力(kN)；q1為上部填土體重力(kN)；p為車輛荷載(kN)；q2,q3,q4分別為不同位置側(cè)向土壓力(kN)；q5為撐腳土體重力(kN)；g2為結(jié)構(gòu)整體自重力(kN).

圖1 結(jié)構(gòu)受力示意簡(jiǎn)圖

裝配式箱涵構(gòu)件有兩種極限狀態(tài)方程[15]:

1) 箱涵構(gòu)件抗彎承載能力極限狀態(tài)設(shè)計(jì)式為

(9)

(10)

(11)

2) 箱涵鉸縫構(gòu)造處抗剪極限狀態(tài)設(shè)計(jì)式為

Vu=0.6Asdfsd≥V.

(12)

式中:Asd為抗剪鋼筋截面面積(m2);fsd為抗剪鋼筋的抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值(kN/m2);V為單位長(zhǎng)度鉸縫剪力設(shè)計(jì)值(kN);Vu為混凝土鉸縫構(gòu)造處的抗剪承載力(kN).鉸縫構(gòu)造處的功能函數(shù)為

Z3=0.6Asdfsd-q3.

(13)

式中,q3為鉸縫構(gòu)造處的荷載.

2.2 概率密度演化方程

箱涵構(gòu)件的抗力與荷載效應(yīng)可以分別表示為

Mr=G1(φ1,σ1) ,

(14)

Ms=G1(φ1,φ2,σ1,σ2) .

(15)

式中:φ1為箱涵構(gòu)件的確定性參數(shù);σ1為箱涵構(gòu)件的隨機(jī)參數(shù);φ2為其他確定性參數(shù);σ2為其他隨機(jī)參數(shù).

箱涵構(gòu)件的功能函數(shù)可以表示為

Z=Mr-Ms.

(16)

由式(16)的結(jié)果,可以分析出構(gòu)件的真實(shí)狀態(tài).當(dāng)Z=0時(shí),表示構(gòu)件處于極限狀態(tài);當(dāng)Z>0時(shí),表示構(gòu)件為可靠狀態(tài);當(dāng)Z<0時(shí),表示構(gòu)件為失效狀態(tài).結(jié)合式(14)和(15)可得

Z=G(φ,σ) .

(17)

引入虛擬時(shí)間t,構(gòu)造虛擬隨機(jī)過程H=φ(Z,t)=φ(φ,σ,t),其中,Z=φ(z,t|t=t0).

當(dāng)σ取某一特定值μ時(shí),隨機(jī)變量H的概率為φ(φ,σ,t),可得

fH|σ(h|μ,t)=η[h-φ(φ,σ,t)] .

(18)

式中:fH|σ表示條件概率密度函數(shù)；η為Dirac函數(shù).對(duì)式(18)兩端關(guān)于時(shí)間t求導(dǎo),可得

(19)

fH|σ(h,μ,t)=fH|σ(h|μ,t)·fσ(μ) .

(20)

進(jìn)一步地,由式(19)和(20)可得

(21)

式(21)即為箱涵構(gòu)件的概率密度演化方程,其初始條件為

fH|σ(h,μ,t|t=0)=fσ(μ)·η(h) ,

(22)

fZ(z)=fH(h)|t=t0.

(23)

箱涵構(gòu)件可靠概率的數(shù)學(xué)表達(dá)為

(24)

2.3 構(gòu)件可靠度分析步驟

1) 確定功能函數(shù)Z1,Z2,Z3中隨機(jī)變量的分布類型.結(jié)合給定的初始條件,采用數(shù)論選點(diǎn)法[16]對(duì)隨機(jī)變量在概率空間Ωθ中選取代表點(diǎn),記剖分域?yàn)棣竡,可得

(25)

式中,Pr{·}表示對(duì)于?q≠r條件下的隨機(jī)事件概率.由此,可以確定相對(duì)應(yīng)的代表點(diǎn)θ=θq,q=1,2,…,n,以及每組點(diǎn)的賦得概率:

(26)

2) 構(gòu)造虛擬隨機(jī)過程.根據(jù)概率密度演化理論可知,對(duì)于虛擬隨機(jī)過程的刻畫有許多途徑,因此,虛擬隨機(jī)過程函數(shù)的選擇只需要滿足式(6)要求即可.本文所分析的箱涵構(gòu)件屬于靜力結(jié)構(gòu),構(gòu)造的虛擬隨機(jī)過程為

φ(Θ,τ)=W(Θ,τ)cos(ωτ) .

(27)

式中:ω=2π;τ∈[0,1].

5) 以Z>0為積分區(qū)間,對(duì)概率密度函數(shù)積分求得可靠概率:

(28)

求解步驟流程如圖2所示.

圖2 構(gòu)件可靠度分析步驟流程

3 概率密度演化方法在裝配式箱涵構(gòu)件可靠度分析中的應(yīng)用

3.1 工程概況

“雙遼至洮南高速公路 03A 設(shè)計(jì)段”路線全長(zhǎng)25.702 km,周圍土體主要是泥巖和粉質(zhì)黏土,具體的土層參數(shù)如表1所示,其中涵洞共有22道,均采用預(yù)制裝配式鋼筋混凝土箱涵,其結(jié)構(gòu)形式分為三種,標(biāo)準(zhǔn)節(jié)段均為3 m.以四構(gòu)件組合結(jié)構(gòu)箱涵為例,頂板和側(cè)墻為鉸接,側(cè)墻采用混凝土現(xiàn)澆的方式和底板連接(見圖3和圖4).

表1 土層基本參數(shù)

圖3 裝配式箱涵結(jié)構(gòu)示意圖

圖4 鉸縫構(gòu)造處示意圖

3.2 有限元模型

通過現(xiàn)場(chǎng)勘察資料得到箱涵構(gòu)件鋼筋和混凝土的材料參數(shù),采用等效彈性模量和容重來代替鋼筋混凝土的彈性模量和容重.利用ABAQUS軟件建立箱涵構(gòu)件三維模型,如圖5所示.箱涵頂板、側(cè)墻和底板組成的整體采用鉸接形式,對(duì)于鉸縫構(gòu)造處, 取其上下0.5 m范圍的計(jì)算單元作為研究對(duì)象,上下兩端均采用固接形式.網(wǎng)格劃分采用四邊形單元,在易破壞區(qū)域細(xì)密劃分,其余區(qū)域

圖5 構(gòu)件三維模型圖

的網(wǎng)格劃分可以較為稀疏,這樣有利于提高計(jì)算效率.箱涵各構(gòu)件均采用8節(jié)點(diǎn)實(shí)體單元,進(jìn)行力學(xué)性能分析,得到箱涵頂板、側(cè)墻及底板整體的跨中彎矩和鉸縫構(gòu)造處的剪力值,為后續(xù)的可靠度分析提供確定性的依據(jù).當(dāng)所有參數(shù)均作為確定性值考慮的時(shí)候,數(shù)值分析和采用截面法計(jì)算得到的內(nèi)力響應(yīng)結(jié)果相近,誤差在允許的范圍內(nèi),驗(yàn)證了本模型的正確性.

3.3 隨機(jī)變量的確定及特性統(tǒng)計(jì)

定義箱涵構(gòu)件的鋼筋抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值、構(gòu)件鋼筋直徑、混凝土保護(hù)層厚度、截面寬度、計(jì)算跨度、回填土重力密度、鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)重力密度、內(nèi)摩擦角、車輛荷載、鉸縫鋼筋直徑和鋼筋抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值為隨機(jī)變量,通過參考現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)資料與相關(guān)文獻(xiàn)[17]可知,各個(gè)隨機(jī)變量均服從正態(tài)分布[18],隨機(jī)變量的具體分布參數(shù)如表2所示.

表2 箱涵隨機(jī)參數(shù)特性統(tǒng)計(jì)[17-18]

3.4 隨機(jī)變量的敏感性分析

隨機(jī)變量的敏感性會(huì)對(duì)箱涵構(gòu)件的可靠度分析產(chǎn)生影響,因此在進(jìn)行箱涵構(gòu)件可靠性研究之前,需要對(duì)隨機(jī)變量進(jìn)行敏感性分析.將對(duì)可靠度分析影響程度較大的隨機(jī)變量繼續(xù)作為隨機(jī)變量考慮,影響程度較小的隨機(jī)變量作為確定性值考慮,敏感性系數(shù)如表3所示.

由表3可知:在進(jìn)行箱涵頂板、側(cè)墻和底板構(gòu)成的整體的可靠度研究時(shí),鋼筋的抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值、內(nèi)摩擦角、鋼筋直徑、土的重力密度以及計(jì)算跨度的敏感程度較大,需要作為隨機(jī)變量考慮.對(duì)于鉸縫構(gòu)造處的可靠度分析,計(jì)算跨度的敏感程度較小,因此僅將鋼筋的抗拉強(qiáng)度設(shè)計(jì)值、內(nèi)摩擦角、鋼筋直徑、土的重力密度這四個(gè)參數(shù)作為隨機(jī)變量,其他參數(shù)均作為確定性值考慮.

表3 隨機(jī)變量的敏感性系數(shù)

3.5 構(gòu)件可靠度分析

結(jié)合隨機(jī)變量敏感性的分析結(jié)果,利用數(shù)論選點(diǎn)法對(duì)各構(gòu)件的隨機(jī)變量選取2 000組代表點(diǎn)進(jìn)行確定性分析,得到構(gòu)件的荷載效應(yīng)如圖6所示,頂板荷載效應(yīng)的均值為130.029 kN·m,標(biāo)準(zhǔn)差為7.967 1,變異系數(shù)為0.061 3;側(cè)墻及底板組成的整體均值為87.161 8 kN·m,標(biāo)準(zhǔn)差為9.437 3,變異系數(shù)為0.108 3;鉸縫構(gòu)造處的均值為43.161 1 kN,標(biāo)準(zhǔn)差為3.015 7,變異系數(shù)為0.069 9.

圖6 構(gòu)件荷載效應(yīng)概率密度函數(shù)

當(dāng)構(gòu)件的隨機(jī)參數(shù)均服從正態(tài)分布時(shí),其荷載效應(yīng)也基本服從正態(tài)分布,且荷載效應(yīng)的變異系數(shù)要大于單個(gè)隨機(jī)變量的變異系數(shù),因此,在構(gòu)件可靠度的研究過程中,需要充分考慮參數(shù)的隨機(jī)性.將有限元軟件中確定性分析得到的效應(yīng)值以及相應(yīng)的抗力值代入式(27),構(gòu)造虛擬隨機(jī)過程,各構(gòu)件的虛擬隨機(jī)過程如圖7所示.

圖7 各構(gòu)件的虛擬隨機(jī)過程

構(gòu)造虛擬隨機(jī)過程需要引入時(shí)間向量,將結(jié)構(gòu)受到的靜力轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)過程.在虛擬隨機(jī)過程中,箱涵構(gòu)件響應(yīng)的概率密度演化過程如圖8所示.在構(gòu)件可靠度的分析過程中,經(jīng)過概率密度演化,構(gòu)件響應(yīng)的變異性會(huì)增大,需要充分考慮參數(shù)的隨機(jī)性和樣本點(diǎn)之間的概率聯(lián)系.

采用MATLAB編程的方法,依次得到頂板、側(cè)墻及底板組成的整體和鉸縫構(gòu)造處的最后時(shí)刻響應(yīng)截口概率密度函數(shù)的圖像,如圖9所示.對(duì)最后時(shí)刻截口概率密度函數(shù)在失效域上積分,即可得到構(gòu)件的失效概率,進(jìn)而求得可靠指標(biāo).其中,頂板的可靠指標(biāo)為4.281 4,側(cè)墻及底板構(gòu)成的整體的可靠指標(biāo)為4.328 2,鉸縫構(gòu)造處的可靠指標(biāo)為4.399 9,均符合規(guī)范要求.

圖8 構(gòu)件響應(yīng)的概率密度演化曲面圖

圖9 構(gòu)件響應(yīng)最后時(shí)刻的截口概率密度函數(shù)

3.6 兩種方法對(duì)比分析

采用蒙特卡羅法對(duì)不同抽樣次數(shù)下箱涵構(gòu)件可靠度進(jìn)行計(jì)算,計(jì)算結(jié)果均滿足規(guī)范要求.當(dāng)給定抽樣次數(shù)為800萬(wàn)次時(shí),求得箱涵頂板的可靠指標(biāo)為4.307 6,側(cè)墻及底板構(gòu)成的整體的可靠指標(biāo)為4.428 3,鉸縫構(gòu)造處的可靠指標(biāo)為4.391 6.隨著抽樣次數(shù)的增加,構(gòu)件可靠度的計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)了明顯的隨機(jī)收斂性.800萬(wàn)次到2 000萬(wàn)次抽樣下失效概率的變化情況如圖10所示.

圖10 構(gòu)件失效概率隨抽樣次數(shù)變化趨勢(shì)圖

將兩種方法求得的箱涵構(gòu)件可靠指標(biāo)進(jìn)行對(duì)比,其結(jié)果如表4所示,可以看出:兩種方法的計(jì)算結(jié)果基本一致,均能較為精確地求出箱涵構(gòu)件的可靠指標(biāo).表5給出了兩種方法的計(jì)算效率,可見,同樣的計(jì)算精度,蒙特卡羅法的選點(diǎn)次數(shù)是概率密度演化方法的4 000倍,所需要的計(jì)算時(shí)間為概率密度演化方法的5倍,且無(wú)法避免隨機(jī)收斂性.

表4 可靠指標(biāo)計(jì)算結(jié)果

表5 計(jì)算效率對(duì)比

綜上所述,蒙特卡羅法以抽樣理論為基礎(chǔ),其結(jié)果的準(zhǔn)確性受到抽取樣本數(shù)量的影響,且求解過程耗時(shí)較長(zhǎng),結(jié)果具有明顯的隨機(jī)收斂性.概率密度演化方法則充分考慮了構(gòu)件參數(shù)的隨機(jī)性,所需選取的代表點(diǎn)集數(shù)量較小,計(jì)算速度較快,具有較高的準(zhǔn)確性,可以有效避免蒙特卡羅法在求解過程中的弊端.

4 結(jié) 語(yǔ)

1) 對(duì)裝配式箱涵構(gòu)件可靠度分析的概率密度演化方法進(jìn)行了研究,確定了裝配式箱涵構(gòu)件的功能函數(shù),并基于此求解出概率密度演化方程;給出了相應(yīng)的構(gòu)件可靠度求解步驟.

2) 分別采用蒙特卡羅法和概率密度演化方法對(duì)裝配式箱涵構(gòu)件的可靠度進(jìn)行求解;概率密度演化方法可以有效避免計(jì)算結(jié)果的隨機(jī)收斂性,在保證計(jì)算結(jié)果唯一和較高精度的同時(shí),能夠極大地提高計(jì)算效率.

3) 概率密度演化方法充分考慮了裝配式箱涵構(gòu)件參數(shù)的隨機(jī)性和樣本點(diǎn)之間的概率聯(lián)系,對(duì)于求解裝配式箱涵構(gòu)件可靠度具有良好的適用性,是一種高效、適用范圍廣的可靠度分析方法.