基于高保真度代理模型的衛(wèi)星結(jié)構(gòu)優(yōu)化

楊麗麗，孔祥龍,2，李文龍，許 浩，尤超藍(lán)

(1.上海衛(wèi)星工程研究所，上海 201109；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150080)

對(duì)于大型復(fù)雜的衛(wèi)星結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，苛刻的質(zhì)量輕量化要求和復(fù)雜的力學(xué)環(huán)境要求，使得衛(wèi)星結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)優(yōu)化成為衛(wèi)星總體設(shè)計(jì)的關(guān)鍵技術(shù)。進(jìn)化算法(evolutionary algorithms，EAs)是模擬自然現(xiàn)象而發(fā)展起來(lái)的一系列仿生智能優(yōu)化算法，如模擬退火算法、遺傳算法、粒子群算法等，EAs因?yàn)閷?duì)目標(biāo)函數(shù)的連續(xù)性沒(méi)有要求及其較好的全局搜索能力，在衛(wèi)星結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題中得到了廣泛應(yīng)用[1-2]。但是EAs通常需要大量的適應(yīng)度函數(shù)評(píng)價(jià)來(lái)搜索全局最優(yōu)解。對(duì)于復(fù)雜衛(wèi)星結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題，通常需要借助數(shù)值仿真計(jì)算來(lái)建立設(shè)計(jì)變量與適應(yīng)度函數(shù)值之間的關(guān)系，如結(jié)構(gòu)有限元仿真分析，由于每一次適應(yīng)度函數(shù)評(píng)價(jià)的計(jì)算耗時(shí)較大，尋優(yōu)過(guò)程中成千上萬(wàn)次的適應(yīng)度函數(shù)評(píng)價(jià)必將導(dǎo)致總的結(jié)構(gòu)數(shù)值計(jì)算量過(guò)于浩大，從而使得通過(guò)EAs求解結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題的效率受到限制。對(duì)于高計(jì)算代價(jià)的衛(wèi)星結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題，采用多項(xiàng)式回歸模型、Kriging模型以及徑向基函數(shù)(radial basis function,RBF)等代理模型來(lái)構(gòu)建設(shè)計(jì)變量與適應(yīng)度函數(shù)值之間的關(guān)系，避免耗時(shí)的數(shù)值計(jì)算，已成為當(dāng)前解決此類(lèi)優(yōu)化問(wèn)題的有效途徑之一[3-4]。但是，基于代理模型的優(yōu)化技術(shù)在顯著提高計(jì)算效率的同時(shí)，給優(yōu)化設(shè)計(jì)引入了模型誤差，降低了優(yōu)化結(jié)果的可靠性，而若要保證代理模型的精度，就需要選取足夠多的樣本點(diǎn)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，導(dǎo)致了優(yōu)化效率的降低。

為了滿(mǎn)足高效率、高精度的要求，基于動(dòng)態(tài)代理模型的優(yōu)化方法在工程設(shè)計(jì)中得到了越來(lái)越多的關(guān)注。動(dòng)態(tài)代理模型方法是在一個(gè)初始代理模型基礎(chǔ)上，通過(guò)給定的加點(diǎn)準(zhǔn)則不斷新增樣本點(diǎn)以實(shí)現(xiàn)優(yōu)化過(guò)程中代理模型的更新，提高代理模型的精確度。與傳統(tǒng)靜態(tài)代理模型方法相比，動(dòng)態(tài)代理模型在保證優(yōu)化結(jié)果精確度的同時(shí)，具有更高的優(yōu)化效率，因而成為近些年國(guó)內(nèi)外學(xué)者的研究熱點(diǎn)。Wang等[5-6]提出了自適應(yīng)響應(yīng)面的代理模型方法，在全局收斂性和優(yōu)化效率方面表現(xiàn)出了較大的優(yōu)勢(shì)。Jones等[7]基于Kriging模型提出了一種高效全局優(yōu)化方法(efficient global optimization,EGO)。Viana等[8]在EGO概念的基礎(chǔ)上提出了一種基于多模型的高效全局優(yōu)化方法(multiple surrogate efficient global optimization,MSEGO)，每次可以補(bǔ)充多個(gè)樣本點(diǎn)。Hu等[9-10]在求解不確定性多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題時(shí)采用了一種基于Kriging模型的動(dòng)態(tài)代理模型，使得優(yōu)化求解過(guò)程中函數(shù)評(píng)估的次數(shù)得到了顯著減少。曾峰[11]利用最小化置信方法的全局搜索性和信賴(lài)域的局部搜索特性，提出了一種基于Kriging模型的動(dòng)態(tài)代理模型，提高了全局收斂性和優(yōu)化效率。文獻(xiàn)[12]提出了一種基于動(dòng)態(tài)RBF代理模型的優(yōu)化策略，在求解桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，顯著提高了獲得全局最優(yōu)解的優(yōu)化效率。龍騰等[13]引入信賴(lài)域思想，發(fā)展了一種基于信賴(lài)域的動(dòng)態(tài)RBF代理模型優(yōu)化策略，具有較好的優(yōu)化效率和全局收斂性。Wang等[14]通過(guò)限制樣本點(diǎn)分布規(guī)律，提出了一種基于RBF代理模型的序列采樣方法，顯著減少了原模型的調(diào)用次數(shù)。Shi等[15]提出了一種基于興趣采樣區(qū)域的高效序列RBF代理模型方法，高效求解了一個(gè)衛(wèi)星系統(tǒng)多學(xué)科優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。Xing等[16]根據(jù)期望改進(jìn)函數(shù)的多峰特性，提出了一種基于Kriging動(dòng)態(tài)代理模型和并行計(jì)算的全局優(yōu)化策略，并應(yīng)用于一個(gè)無(wú)褶皺膜結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題，顯著提高了計(jì)算效率和解的精確性。在以往的研究中，大多數(shù)動(dòng)態(tài)代理模型都是只對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行擬合，而未考慮復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題的約束函數(shù)；另一方面，在很多動(dòng)態(tài)代理模型的建立和最優(yōu)解的尋優(yōu)過(guò)程中，并沒(méi)有對(duì)代理模型的擬合精度進(jìn)行量化考慮，尤其是缺乏對(duì)最優(yōu)解處的預(yù)測(cè)精度進(jìn)行評(píng)估，這使得優(yōu)化結(jié)果的精確性缺乏可信度?；诖砟Ｐ偷膬?yōu)化方法在衛(wèi)星結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題中已得到廣泛應(yīng)用，但是動(dòng)態(tài)代理模型在衛(wèi)星結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題中的應(yīng)用研究還很少見(jiàn)。包含靜力分析與動(dòng)力學(xué)分析的衛(wèi)星結(jié)構(gòu)仿真分析過(guò)程是很費(fèi)時(shí)的，而衛(wèi)星系統(tǒng)對(duì)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的可靠性要求又很高，因此，迫切需要開(kāi)展高效高精度的衛(wèi)星結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)優(yōu)化方法研究。本文針對(duì)具有高度非線性約束函數(shù)的衛(wèi)星結(jié)構(gòu)復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題，考慮到優(yōu)化過(guò)程中EAs需要大量的適應(yīng)度函數(shù)評(píng)價(jià)來(lái)搜索全局最優(yōu)解，以及基于代理模型的優(yōu)化方法面臨著計(jì)算成本與擬合精度相沖突的問(wèn)題，提出了一種高保真度動(dòng)態(tài)代理模型(high fidelity dynamic surrogate model,HFDSM)方法。在眾多代理模型中，RBF代理模型在擬合精確性、計(jì)算效率以及魯棒性方面具有較好的綜合性能[17]，在衛(wèi)星結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題中也表現(xiàn)出了較大的潛力[18]。因此，本文基于RBF代理模型，并采用自適應(yīng)模擬退火(adaptive simulated annealing,ASA)全局優(yōu)化算法，構(gòu)造了一種基于HFDSM的全局優(yōu)化策略，該策略在優(yōu)化過(guò)程中同時(shí)考慮了最優(yōu)解處代理模型的預(yù)測(cè)精度和目標(biāo)函數(shù)真實(shí)分析值的下降程度，根據(jù)已有優(yōu)化結(jié)果信息自適應(yīng)調(diào)整搜索空間的位置和大小，并在搜索空間內(nèi)補(bǔ)充樣本點(diǎn)，以提高搜索空間內(nèi)代理模型的精確度，使尋優(yōu)結(jié)果盡可能地接近真實(shí)全局最優(yōu)解,在提高全局優(yōu)化計(jì)算效率的同時(shí)，也保證了代理模型在最優(yōu)設(shè)計(jì)點(diǎn)的預(yù)測(cè)精度。

1 背景介紹

1.1 RBF代理模型

RBF代理模型[19]方法采用線性函數(shù)對(duì)非線性函數(shù)進(jìn)行逼近，RBF模型的基本形式為

(1)

fr(xi)=yi,i=1,2,…,N

(2)

式中：fr(xi)為RBF模型的預(yù)測(cè)值；yi為第i個(gè)樣本點(diǎn)處的函數(shù)精確值。則有

Aω=y

(3)

ω=A-1y

(4)

(5)

式中，φ為徑向函數(shù)，常用的徑向函數(shù)包括高斯函數(shù)、多二次函數(shù)及逆多二次函數(shù)。通過(guò)求解式(4)，即可求得權(quán)系數(shù)ωi，代入式(1)進(jìn)而可求得代理模型fr(x)。

1.2 ASA算法

模擬退火算法是一種啟發(fā)于固體物質(zhì)退火過(guò)程的隨機(jī)搜索方法，具有參數(shù)少和適用性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。在凝聚態(tài)物理中，只要初始給定的溫度足夠高以及冷卻速度足夠緩慢，那么緩慢下降的溫度就能夠使金屬中的原子在一個(gè)相應(yīng)的低能量基態(tài)中重新排列并形成規(guī)則的晶體結(jié)構(gòu)。優(yōu)化過(guò)程與金屬物質(zhì)的退火過(guò)程非常相似，可通過(guò)采用特定的算法來(lái)適當(dāng)控制溫度的下降過(guò)程實(shí)現(xiàn)模擬退火，從而完成對(duì)優(yōu)化問(wèn)題全局最優(yōu)解的搜索。ASA算法[20]在標(biāo)準(zhǔn)模擬退火算法的基礎(chǔ)上，通過(guò)采用一套更快的退火程序和一種重退火策略來(lái)達(dá)到自適應(yīng)調(diào)整，改善了算法的收斂速度問(wèn)題。ASA算法的迭代過(guò)程，如圖1所示。

圖1 ASA算法的迭代過(guò)程Fig.1 Flowchart of ASA

在ASA算法的尋優(yōu)過(guò)程中，從初始設(shè)計(jì)點(diǎn)開(kāi)始，每生成一定數(shù)量的新設(shè)計(jì)點(diǎn)就會(huì)進(jìn)行一次退火過(guò)程，而每接受一定數(shù)量的新設(shè)計(jì)點(diǎn)就會(huì)進(jìn)行一次重退火，利用一個(gè)新設(shè)計(jì)點(diǎn)生成裝置和接受準(zhǔn)則，不斷對(duì)當(dāng)前設(shè)計(jì)點(diǎn)進(jìn)行迭代，從而使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)。另外，在ASA算法的迭代過(guò)程中，除了接受使目標(biāo)函數(shù)更優(yōu)的點(diǎn)，還會(huì)接受部分較差的設(shè)計(jì)點(diǎn)，這個(gè)接受概率的值在優(yōu)化開(kāi)始時(shí)較大，隨著溫度的下降逐漸減小，這個(gè)機(jī)制可以使算法跳出局部最優(yōu)解，便于在設(shè)計(jì)空間內(nèi)找到問(wèn)題的全局最優(yōu)解。算法的終止條件是目標(biāo)函數(shù)的值在一定次數(shù)的重退火后保持不變，或者是總迭代次數(shù)達(dá)到預(yù)設(shè)的最大值。

2 基于HFDSM的優(yōu)化策略

2.1 基于HFDSM的優(yōu)化流程

在基于代理模型進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的過(guò)程中，樣本點(diǎn)越多，建立的代理模型越精確，但需要調(diào)用的高精度分析的次數(shù)也會(huì)隨之增加，因此需要權(quán)衡訓(xùn)練樣本數(shù)量和預(yù)測(cè)精度，得到精度與效率的折中。另外，在優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果中，設(shè)計(jì)者關(guān)注的是代理模型對(duì)最優(yōu)解附近函數(shù)特性進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測(cè)的能力，而對(duì)全局的近似精度要求并不高，所以可以適當(dāng)放寬全局的近似精度要求，重點(diǎn)保證對(duì)最優(yōu)解附近區(qū)域的高精度近似。為了充分利用有限的樣本點(diǎn)信息以及獲取優(yōu)化問(wèn)題的高精度全局最優(yōu)解，本文結(jié)合ASA優(yōu)化算法構(gòu)造基于HFDSM的全局優(yōu)化策略。

一般約束優(yōu)化問(wèn)題可描述為

(6)

式中：x為nv維設(shè)計(jì)向量；BU和BL分別為設(shè)計(jì)空間的上下邊界矢量；f(x)為目標(biāo)函數(shù)；gj(x)為不等式約束。采用代理模型對(duì)目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)進(jìn)行模擬后，上述問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

(7)

在基于HFDSM的優(yōu)化策略中，本文采用了變搜索空間和不斷補(bǔ)充樣本點(diǎn)的動(dòng)態(tài)建模方法，根據(jù)全局優(yōu)化算法的優(yōu)化結(jié)果收斂情況和最優(yōu)解處代理模型的預(yù)測(cè)精度來(lái)動(dòng)態(tài)更新搜索空間，然后在新的搜索空間內(nèi)補(bǔ)充樣本點(diǎn)，改善該區(qū)域代理模型近似精度，引導(dǎo)優(yōu)化策略收斂到全局最優(yōu)解，并以代理模型的預(yù)測(cè)誤差作為流程結(jié)束判定準(zhǔn)則之一，保證了最優(yōu)解的精確性?；贖FDSM的優(yōu)化策略流程圖如圖2所示。

圖2 HFDSM優(yōu)化策略流程圖Fig.2 Framework of the HFDSM optimization method

基于HFDSM優(yōu)化策略的具體步驟如下。

步驟1建立優(yōu)化問(wèn)題數(shù)學(xué)模型，確定設(shè)計(jì)變量和初始設(shè)計(jì)空間V0，并建立目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的真實(shí)分析模型。

步驟2令迭代計(jì)數(shù)參數(shù)k=1，采用最優(yōu)超拉丁方試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法在設(shè)計(jì)空間內(nèi)選擇初始樣本點(diǎn)或補(bǔ)充樣本點(diǎn)，并計(jì)算樣本點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的真實(shí)分析模型的響應(yīng)值。將樣本點(diǎn)及其真實(shí)響應(yīng)值保存到樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)庫(kù)中，樣本點(diǎn)數(shù)量取為

(8)

步驟5將第k次優(yōu)化結(jié)果中的可能最優(yōu)解xk代入真實(shí)分析模型中，分析獲得它所對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)真實(shí)模型響應(yīng)值f(xk)、g(xk)，并將其保存到最優(yōu)解集合中。

(9)

(10)

步驟7計(jì)算第k次與第k-1次優(yōu)化所得最優(yōu)設(shè)計(jì)點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)真實(shí)響應(yīng)值的相對(duì)偏差，判斷該相對(duì)偏差是否滿(mǎn)足給定的收斂標(biāo)準(zhǔn)ε2，如式(11)所示。若滿(mǎn)足，則優(yōu)化流程結(jié)束，第k次優(yōu)化最優(yōu)解xk即為優(yōu)化問(wèn)題的全局最優(yōu)解；若不滿(mǎn)足，則轉(zhuǎn)入步驟8。

(11)

步驟8更新搜索空間，令迭代計(jì)數(shù)參數(shù)k=k+1，轉(zhuǎn)入步驟3。

2.2 搜索空間更新策略

(2)確定搜索空間半徑大小δk。定義第k-1次更新后搜索空間大小的矢量為Ck-1，Ck-1的計(jì)算公式為

Ck-1=BU，k-1-BL，k-1

(12)

式中，BU，k-1和BL，k-1分別為第k-1次更新后搜索空間的上下邊界矢量。第k次更新的搜索空間半徑大小δk按式(3)計(jì)算

δk=λkCk-1

(13)

(14)

3 數(shù)值算例

為了驗(yàn)證第2章HFDSM優(yōu)化方法的有效性，本文選擇曾鋒等研究的HD1函數(shù)和Xing等研究中的Ackley函數(shù)作為測(cè)試算例進(jìn)行驗(yàn)證，并分別采用基于真實(shí)分析模型與ASA的組合優(yōu)化策略以及基于靜態(tài)RBF代理模型與ASA的組合優(yōu)化策略對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行求解，設(shè)置靜態(tài)代理模型的樣本點(diǎn)數(shù)與HFDSM的總樣本點(diǎn)數(shù)相同，以比較優(yōu)化結(jié)果的優(yōu)劣。

HD1函數(shù)的表達(dá)式為

(15)

該函數(shù)有10個(gè)設(shè)計(jì)變量，本文設(shè)置最小化目標(biāo)函數(shù)為f(x)=ln[F(x)+1]，其全局極小值為0。

Ackley函數(shù)的表達(dá)式為

xi∈[-3,3],i=1,2,3,…,Nd

(16)

在該函數(shù)中取Nd=10，即有10個(gè)設(shè)計(jì)變量，該函數(shù)的全局極小值為0。

采用上述3種方法對(duì)兩個(gè)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行求解時(shí)，ASA算法的最大迭代次數(shù)均設(shè)為10 000次。在HFDSM優(yōu)化策略中，取最優(yōu)解目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的預(yù)測(cè)誤差標(biāo)準(zhǔn)ε1=0.01及目標(biāo)函數(shù)收斂標(biāo)準(zhǔn)ε2=0.01。得到3種優(yōu)化策略的優(yōu)化結(jié)果，如表1所示?？紤]到HFDSM優(yōu)化策略中多次采用最優(yōu)拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，其采樣過(guò)程具有一定的隨機(jī)性，本文對(duì)HFDSM優(yōu)化策略重復(fù)進(jìn)行了5次近似模型構(gòu)建及優(yōu)化過(guò)程，得到目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解及對(duì)應(yīng)真實(shí)值，如表2所示。

表1 測(cè)試函數(shù)優(yōu)化結(jié)果Tab.1 Optimization results of the test functions

表2 HFDSM優(yōu)化策略5次優(yōu)化結(jié)果Tab.2 Results of five times optimization for the HFDSM strategy

從表1中可以看出，兩個(gè)測(cè)試函數(shù)通過(guò)HFDSM優(yōu)化策略、靜態(tài)代理模型與ASA組合優(yōu)化策略以及直接采用ASA算法都得到了全局極小值0附近的最優(yōu)解，但是兩個(gè)函數(shù)直接采用ASA算法進(jìn)行優(yōu)化需調(diào)用真實(shí)分析模型9 097次和10 107次，計(jì)算代價(jià)較大，而基于近似模型優(yōu)化策略只需分別調(diào)用330次和396次，顯著提高了優(yōu)化效率。同時(shí)，基于HFDSM優(yōu)化策略所得的最優(yōu)解與真實(shí)值之間的相對(duì)誤差均小于1%，而基于靜態(tài)代理模型進(jìn)行求解得到的最優(yōu)解相對(duì)誤差分別為9.805%和19.753%，說(shuō)明采用HFDSM優(yōu)化策略得到的最優(yōu)解具有非常高的保真度。另外，從表2 中的5次優(yōu)化結(jié)果可以看出，最優(yōu)解都在全局極小值附近，相對(duì)誤差也都控制在1% 以?xún)?nèi)，表明HFDSM優(yōu)化方法對(duì)于求解高維非線性問(wèn)題具有較好的魯棒性。

4 工字梁優(yōu)化測(cè)試算例

工字梁設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題可以描述為：在給定負(fù)載情況下，使得工字梁在滿(mǎn)足橫截面積和應(yīng)力約束的條件下梁的撓度最小。工字梁的結(jié)構(gòu)和受力情況，如圖3所示。其中梁的長(zhǎng)度L=200 cm，彈性模量E=2×104kN/cm2，彎曲力P=600 kN，截面負(fù)載Q=50 kN，x1～x4為梁的截面尺寸參數(shù)。工字梁設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型如式(17)所示。

s.t.g1=2x2x4+x3(x1-2x4)≤300，

(17)

式中:目標(biāo)函數(shù)f為梁的撓度；約束函數(shù)g1為梁的橫截面積；g2為彎曲應(yīng)力。

(a)

將本文提出的基于HFDSM的優(yōu)化策略應(yīng)用于工字梁設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題的求解過(guò)程中，取最優(yōu)解目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的預(yù)測(cè)誤差標(biāo)準(zhǔn)ε1=0.01及目標(biāo)函數(shù)收斂標(biāo)準(zhǔn)ε2=0.01。另外，分別采用基于真實(shí)分析模型與ASA的組合優(yōu)化策略以及基于靜態(tài)RBF代理模型與ASA的組合優(yōu)化策略對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行求解，并設(shè)置靜態(tài)代理模型的樣本點(diǎn)數(shù)與HFDSM的總樣本點(diǎn)數(shù)相同，以比較優(yōu)化結(jié)果的優(yōu)劣。3種方法中，ASA算法的最大迭代次數(shù)設(shè)為10 000次。優(yōu)化結(jié)果如表3所示。

表3 工字梁優(yōu)化結(jié)果Tab.3 Optimization results of the I-beam problem

從表3中可以看出，通過(guò)HFDSM優(yōu)化策略、靜態(tài)代理模型與ASA組合優(yōu)化策略以及直接采用ASA算法都能獲得工字梁優(yōu)化問(wèn)題的全局最優(yōu)解，但是直接采用ASA算法需調(diào)用真實(shí)分析模型5 918次，計(jì)算代價(jià)較大，而采用本文提出的HFDSM優(yōu)化策略只需調(diào)用45次，顯著提高了優(yōu)化效率。在模型的精確性方面，HFDSM優(yōu)化策略所得的最優(yōu)解與真實(shí)分析模型的響應(yīng)值對(duì)比，最大的預(yù)測(cè)誤差為0.698%，說(shuō)明該方法中的動(dòng)態(tài)代理模型在最優(yōu)解處具有很高的保真度，而采用靜態(tài)代理模型進(jìn)行求解時(shí)，在相同的模型調(diào)用次數(shù)下，其預(yù)測(cè)誤差最大值達(dá)到了29.476%，若要保證代理模型的精度，還需要更多的樣本點(diǎn)進(jìn)行逼近模擬。顯然，與另外兩種優(yōu)化策略相比，本文所提出的HFDSM優(yōu)化策略很好地權(quán)衡了計(jì)算效率與預(yù)測(cè)精度的問(wèn)題，在保證優(yōu)化結(jié)果精確性的條件下，顯著提高了優(yōu)化求解的效率。

5 衛(wèi)星結(jié)構(gòu)優(yōu)化實(shí)例

隨著現(xiàn)代衛(wèi)星系統(tǒng)平臺(tái)規(guī)模的日益增大，衛(wèi)星結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)除了結(jié)構(gòu)輕量化要求之外，還對(duì)衛(wèi)星結(jié)構(gòu)在靜力載荷下的強(qiáng)度、模態(tài)特性以及動(dòng)力響應(yīng)等提出了很高的要求，因此衛(wèi)星結(jié)構(gòu)一般優(yōu)化問(wèn)題可以描述為在滿(mǎn)足衛(wèi)星結(jié)構(gòu)靜力強(qiáng)度和動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的約束條件下使衛(wèi)星結(jié)構(gòu)質(zhì)量最小化。本章以某一衛(wèi)星結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題為例，探討基于HFDSM的優(yōu)化策略在衛(wèi)星結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的適用性。

5.1 優(yōu)化問(wèn)題描述

某衛(wèi)星結(jié)構(gòu)的有限元模型，如圖4所示。通過(guò)有限元分析軟件Nastran分析得出衛(wèi)星結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性、靜態(tài)慣性力作用下的力學(xué)特性以及正弦激勵(lì)下的動(dòng)力學(xué)特性?？紤]衛(wèi)星主承力結(jié)構(gòu)對(duì)整星性能的影響，選取主承力結(jié)構(gòu)中板材的蜂窩芯高度、承力框架的截面尺寸以及承力筒蒙皮和桁條截面尺寸為設(shè)計(jì)變量。該衛(wèi)星結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題的簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)模型如式(18)所示。

圖4 衛(wèi)星結(jié)構(gòu)有限元模型Fig.4 Finite element model of satellite

(18)

式中：優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)為衛(wèi)星結(jié)構(gòu)的總質(zhì)量Mass；Amax為通過(guò)頻響分析得到的結(jié)構(gòu)最大加速度響應(yīng)；[A]為加速度響應(yīng)值的上限；σmax為靜力學(xué)分析得到的結(jié)構(gòu)最大應(yīng)力值；[σ]為相應(yīng)的許用應(yīng)力；fx、fy和fz分別為模態(tài)分析中衛(wèi)星結(jié)構(gòu)的x、y、z方向一階基頻基頻；[fx]、[fy]和[fz]分別為其下限；設(shè)計(jì)變量x1～x16為衛(wèi)星主承力結(jié)構(gòu)的尺寸參數(shù)，其中x1為星箭連接環(huán)殼體的厚度，x2、x3、x4、x5分別為底板、層板、頂板和隔板的蜂窩芯高度，x6為承力筒蒙皮厚度，x7和x8為承力筒上下端框的截面尺寸，x9～x14為承力筒周邊桁條的截面尺寸，x15和x16為衛(wèi)星結(jié)構(gòu)加強(qiáng)框的截面尺寸。

5.2 優(yōu)化求解及分析結(jié)果

本節(jié)同樣分別采用HFDSM優(yōu)化策略、靜態(tài)代理模型與ASA組合優(yōu)化策略以及真實(shí)仿真模型與ASA組合優(yōu)化策略求解上述衛(wèi)星結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題。由于衛(wèi)星結(jié)構(gòu)質(zhì)量可以通過(guò)有限元模型直接輸出，分析時(shí)間可以忽略，因此采用基于代理模型的優(yōu)化策略進(jìn)行求解時(shí)，只對(duì)約束函數(shù)建立代理模型，目標(biāo)函數(shù)均為真實(shí)響應(yīng)值。在HFDSM優(yōu)化策略中仍取約束函數(shù)的預(yù)測(cè)誤差標(biāo)準(zhǔn)ε1=0.01及目標(biāo)函數(shù)收斂標(biāo)準(zhǔn)ε2=0.01。上述衛(wèi)星結(jié)構(gòu)的單次有限元仿真分析耗時(shí)較大，考慮到計(jì)算資源的有限，3種優(yōu)化策略中ASA的最大迭代次數(shù)均設(shè)置為1 000次，優(yōu)化結(jié)果如表4所示。在基于HFDSM優(yōu)化策略得到的優(yōu)化結(jié)果中，衛(wèi)星結(jié)構(gòu)的各階模態(tài)振型圖及應(yīng)力云圖，如圖5所示。

從表4中可以看出，對(duì)于上述衛(wèi)星結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題，采用基于HFDSM的優(yōu)化策略以及靜態(tài)代理模型與ASA的組合優(yōu)化策略都獲得了與直接采用ASA算法相近的的全局最優(yōu)解。在基于代理模型的優(yōu)化結(jié)果中，加速度響應(yīng)相對(duì)于其他約束函數(shù)具有較大的預(yù)測(cè)誤差，但是值得注意的是，在同樣調(diào)用459次仿真模型的情況下，傳統(tǒng)靜態(tài)代理模型在最優(yōu)解處的最大預(yù)測(cè)誤差為6.217%，而基于HFDSM優(yōu)化策略所得最優(yōu)解的最大預(yù)測(cè)誤差僅為0.65%，達(dá)到可以忽略的量級(jí)，顯著改善了優(yōu)化結(jié)果的精確性。

表4 衛(wèi)星結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果Tab.4 Optimization results of the satellite structure

(a)x方向一階振型

基于代理模型優(yōu)化策略的時(shí)間成本主要由兩部分組成：① 收集樣本信息的時(shí)間成本，主要為通過(guò)有限元分析獲得樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的真實(shí)響應(yīng)值，每個(gè)樣本點(diǎn)的分析時(shí)間為9 min，459個(gè)樣本點(diǎn)共耗時(shí)68.85 h；② 基于代理模型進(jìn)行優(yōu)化的時(shí)間成本，ASA算法迭代1 000次共耗時(shí)0.75 h，在該優(yōu)化問(wèn)題求解過(guò)程中，基于HFDSM的優(yōu)化策略進(jìn)行了3次循環(huán)，則共耗時(shí)2.25 h。綜上所述，基于HFDSM的優(yōu)化策略總的時(shí)間成本為71.1 h。對(duì)于直接采用ASA算法的優(yōu)化策略，其時(shí)間成本主要為調(diào)用真實(shí)仿真模型進(jìn)行分析的時(shí)間，共調(diào)用有限元模型1 000次，時(shí)間成本為150 h，是基于HFDSM優(yōu)化策略時(shí)間成本的2倍以上，若ASA算法采取更大的迭代次數(shù)進(jìn)行全局尋優(yōu)，其時(shí)間成本將會(huì)更高。因此，基于HFDSM的優(yōu)化策略在提高優(yōu)化效率方面也顯現(xiàn)了出色的潛質(zhì)。

6 結(jié) 論

針對(duì)具有設(shè)計(jì)變量多、非線性強(qiáng)以及計(jì)算成本高等特點(diǎn)的衛(wèi)星結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題，本文在RBF代理模型和ASA全局優(yōu)化算法的基礎(chǔ)上，依據(jù)優(yōu)化結(jié)果中目標(biāo)函數(shù)的收斂情況和最優(yōu)解處系統(tǒng)輸出的預(yù)測(cè)精度構(gòu)造了一種搜索空間自適應(yīng)更新策略，并通過(guò)在搜索空間內(nèi)補(bǔ)充樣本點(diǎn)提高代理模型的預(yù)測(cè)精度，進(jìn)而發(fā)展了一種基于HFDSM的全局優(yōu)化方法?；贖FDSM的優(yōu)化流程中通過(guò)采用上述搜索空間更新策略，根據(jù)已有優(yōu)化結(jié)果信息自適應(yīng)調(diào)整搜索空間的位置和大小，充分利用有限的樣本點(diǎn)信息，提高代理模型精度，并引導(dǎo)優(yōu)化過(guò)程收斂到全局最優(yōu)解，從而達(dá)到提高優(yōu)化效率和最優(yōu)解預(yù)測(cè)精度的目的。

本文采用兩個(gè)高維非線性測(cè)試函數(shù)和工字梁設(shè)計(jì)優(yōu)化算例對(duì)基于HFDSM的優(yōu)化策略的性能進(jìn)行測(cè)試，并與基于靜態(tài)代理模型的優(yōu)化策略以及直接采用ASA算法的優(yōu)化策略進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明，基于HFDSM的優(yōu)化策略在保證優(yōu)化結(jié)果精確性的條件下，顯著提高了優(yōu)化求解的效率。最后，采用基于HFDSM的優(yōu)化策略求解某個(gè)具有16個(gè)設(shè)計(jì)變量的衛(wèi)星結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題，在得到的全局最優(yōu)解中，結(jié)構(gòu)基頻及加速度響應(yīng)等非線性約束都具有非常高的預(yù)算精度，最大預(yù)測(cè)誤差僅為0.65%，而與直接采用ASA算法進(jìn)行求解相比，時(shí)間成本降低了50%以上。因此，該方法在保證優(yōu)化結(jié)果精確度的同時(shí)，能夠有效提高優(yōu)化求解效率，對(duì)于衛(wèi)星結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題具有很好的適用性。