速度反饋分?jǐn)?shù)階PID控制對齒輪系統(tǒng)振動特性的影響

侯靜玉，楊紹普，李 強(qiáng)，劉永強(qiáng),3

(1.北京交通大學(xué) 機(jī)械與電子控制工程學(xué)院，北京 100044；2.石家莊鐵道大學(xué) 省部共建交通工程結(jié)構(gòu)力學(xué)行為與系統(tǒng)安全國家重點實驗室，石家莊 050043；3.石家莊鐵道大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，石家莊 050043)

隨著機(jī)械系統(tǒng)不斷向著高速度、高精度、高效率等多個方向發(fā)展，對傳動系統(tǒng)的性能也提出了更高的要求。齒輪系統(tǒng)作為機(jī)械傳動中應(yīng)用最廣泛的傳動形式，其具有很多優(yōu)點，比如傳動比較準(zhǔn)確、效率高、結(jié)構(gòu)緊湊、工作可靠和壽命長等，它的性能和動力學(xué)行為在很大程度上直接影響著整個設(shè)備的工作效率和質(zhì)量。

由于時變嚙合剛度、齒側(cè)間隙和傳動誤差等非線性因素的存在，對系統(tǒng)的振動產(chǎn)生明顯的影響。齒輪系統(tǒng)的振動不僅會產(chǎn)生噪聲,引起傳動系統(tǒng)的不穩(wěn)定，而且會加速傳動系統(tǒng)的疲勞損害。因此降低其振動噪聲，在減少齒輪箱故障、提高機(jī)械系統(tǒng)的安全性和可靠性等方面具有重要的工程意義。比例-積分-微分(proportion-integration-differentiation,PID)控制作為控制系統(tǒng)中應(yīng)用廣泛、技術(shù)成熟的主動控制方法已被應(yīng)用到各個領(lǐng)域[1-5]。常規(guī)的PID控制器的微分環(huán)節(jié)和積分環(huán)節(jié)都是整數(shù)階的，隨著分?jǐn)?shù)階微積分和控制理論的發(fā)展，將常規(guī)的PID控制器引入到分?jǐn)?shù)階領(lǐng)域，可以進(jìn)一步設(shè)計出與分?jǐn)?shù)階相關(guān)的控制器。分?jǐn)?shù)階PID控制器作為常規(guī)整數(shù)階PID控制器的推廣，它具有很多顯著的優(yōu)點，比如分?jǐn)?shù)階PID控制器保留了常規(guī)PID控制器的結(jié)構(gòu)簡單、魯棒性強(qiáng)等特點，比整數(shù)階PID控制器多了兩個可調(diào)參數(shù)，對于被控系統(tǒng)來說，具有更大的靈活性和更廣的適應(yīng)性，并且對被控系統(tǒng)參數(shù)的變化不敏感。因此，近年來分?jǐn)?shù)階PID控制受到了學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注。Li等[6]將偏航率作為反饋輸入，提出了一種基于分?jǐn)?shù)階PID控制器的偏航力矩控制方法，實現(xiàn)了參數(shù)在控制過程中的在線整定。為了提高精餾塔過程的性能，Vahab等[7]提出了一種基于動態(tài)蝙蝠算法的分?jǐn)?shù)階PID控制器，用于控制餾分和底摩爾餾分。Wang等[8]基于傳統(tǒng)的PID控制器，給出了加熱爐系統(tǒng)的整數(shù)階模型的分?jǐn)?shù)階PID控制方法，結(jié)合仿真分析結(jié)果可知該控制方法對于加熱爐系統(tǒng)具有良好的控制效果。牛江川等[9-10]利用平均法研究了基于位移反饋和速度反饋分?jǐn)?shù)階PID控制的單自由度線性非參激系統(tǒng)和非線性非參激系統(tǒng)的動力學(xué)特性。另外在考慮間隙、時變剛度、內(nèi)外激勵等影響因素時，建立了分?jǐn)?shù)階PID控制下的齒輪副動力學(xué)模型，利用增量諧波平衡法求得解析解，并詳細(xì)分析了分?jǐn)?shù)階PID控制器的系數(shù)及階次對系統(tǒng)無碰撞狀態(tài)條件下的動力學(xué)行為的影響[11]，而對于單邊碰撞和雙邊碰撞的情況沒有具體分析。Xiao等[12]以時滯為變參數(shù)，利用分?jǐn)?shù)階PID控制算法調(diào)節(jié)在Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義下的小世界網(wǎng)絡(luò)模型的穩(wěn)定性和分岔問題。為了有效地實現(xiàn)在太陽強(qiáng)度和溫度快速變化的光伏系統(tǒng)中最大功率點跟蹤控制，Rawat等[13]引入分?jǐn)?shù)階PID控制器，其中微分環(huán)節(jié)的系數(shù)可以在運行時進(jìn)行更新，積分環(huán)節(jié)的增益作為瞬時誤差的非線性函數(shù)在變化。然而，分?jǐn)?shù)階PID控制算法在齒輪系統(tǒng)振動和噪聲控制方面的相關(guān)研究還較少，尤其是考慮齒輪系統(tǒng)的碰撞特性時。

另外，非線性因素的存在使得齒輪傳動系統(tǒng)表現(xiàn)出強(qiáng)非線性特性。因此在建立齒輪非線性動力學(xué)模型時需要充分考慮關(guān)鍵的非線性因素，同時對系統(tǒng)的求解帶來了新的挑戰(zhàn)。當(dāng)齒輪傳動系統(tǒng)中的傳動軸、軸承、齒輪箱等的支承剛度遠(yuǎn)大于嚙合剛度時，可以簡化為剛性支承，各個組成部件的振動形式僅為扭轉(zhuǎn)振動，系統(tǒng)模型可簡化為純扭轉(zhuǎn)模型。目前對該系統(tǒng)求解的方法主要包括數(shù)值法和解析法。Shen等[14]利用增量諧波平衡法研究了考慮時變嚙合剛度和間隙的直齒輪副的非線性動力學(xué)，建立了模型的解的統(tǒng)一形式。Huang等[15]在考慮時變嚙合剛度、傳動誤差、齒側(cè)間隙等非線性因素時，建立了高速列車齒輪傳動的扭振模型，利用多尺度方法研究了系統(tǒng)的超諧共振和Hopf分岔問題。Kahraman等[16]利用諧波平衡法研究了一對直齒輪副的非線性動力學(xué)問題。Xia等[17]建立了考慮時變嚙合剛度、齒側(cè)間隙、靜傳動誤差和齒面摩擦的直齒輪副模型，推導(dǎo)出齒輪副的嚙合剛度計算的擴(kuò)展方法，并利用數(shù)值方法分析系統(tǒng)的非線性動力學(xué)特性。王立華等[18]針對齒輪系統(tǒng)時變嚙合剛度和齒側(cè)間隙耦合作用的具體特點，建立了齒輪副的純扭轉(zhuǎn)振動分析模型，利用數(shù)值積分和數(shù)值仿真的方法在某些參數(shù)域中進(jìn)行了非線性振動研究。張思進(jìn)等[19]建立了考慮齒側(cè)間隙時齒輪副主動輪的單自由度非線性模型，通過非光滑系統(tǒng)的Melnikov理論分析了該系統(tǒng)異宿軌全局分岔條件，并給出了每段線性系統(tǒng)的通解。Li等[20]利用快慢分析方法研究了考慮齒側(cè)間隙和外激勵作用時的齒輪系統(tǒng)的簇發(fā)振蕩現(xiàn)象及其產(chǎn)生機(jī)理。然而這些研究都是在整數(shù)階微積分基礎(chǔ)上進(jìn)行的，很少考慮涉及分?jǐn)?shù)階微積分的齒輪傳動系統(tǒng)。

綜上所述，現(xiàn)有研究多偏重于整數(shù)階齒輪系統(tǒng)的動力學(xué)分析，對于基于分?jǐn)?shù)階PID控制器的齒輪傳動系統(tǒng)的振動特性的研究還很少。本文將分?jǐn)?shù)階PID控制器引入到齒輪系統(tǒng)中，在同時考慮時變嚙合剛度、傳動誤差、齒側(cè)間隙的情況下，建立了基于速度反饋分?jǐn)?shù)階PID控制的齒輪動力學(xué)模型。利用增量諧波平衡法求得的近似解析解分析了分?jǐn)?shù)階PID控制器對齒輪嚙合振動的控制效果。

1 速度反饋分?jǐn)?shù)階PID控制下的齒輪動力學(xué)模型

作為整數(shù)階PID控制器的延拓，速度反饋分?jǐn)?shù)階PID控制器的時域模型[21]可以表示為

(1)

式中：Kp、Ki、Kd分別為比例、積分、微分環(huán)節(jié)的可調(diào)系數(shù)；λ和δ分別為積分和微分環(huán)節(jié)的分?jǐn)?shù)階的階次，滿足0≤λ≤1、0≤δ≤1；并且此處采用Caputo分?jǐn)?shù)階微積分定義。將其引入到考慮時變嚙合剛度、尺側(cè)間隙和靜態(tài)傳遞誤差等因素時齒輪副繞軸的扭轉(zhuǎn)振動無量綱化模型中[22]，得

(2)

圖1 閉環(huán)反饋分?jǐn)?shù)階PID控制系統(tǒng)Fig.1 Closed-loop feedback of fractional-order PID control system

2 基于增量諧波平衡法的高階近似解析解

ω2x″+(2ζ+Kp)ωx′+k(t)fh(x)+

(3)

設(shè)式(3)的N階近似解析解為

x=x0+Δx0

(4)

(5)

(6)

式中,

X=[1,cost,cos 2t,…,cosNt,

sint,sin 2t,…,sinNt],

A0=[a0,a1,a2,…,aN,b1,b2,…,bN]T

ΔA0=[Δa0,Δa1,Δa2,…,ΔaN,Δb1,Δb2,…,ΔbN]T

將式(4)代入式(3)中，fh(x)在x0處泰勒展開并略去高階小量，得

(7)

這樣復(fù)雜的常微分方程，直接求解是非常困難的，此處采用Galerkin法將其近似為代數(shù)方程后再求解。在積分過程中，分?jǐn)?shù)階微積分作為非周期函數(shù)，取周期T=∞，對于其他的周期函數(shù)取周期T=2π，并平均積分結(jié)果，式(7)可以轉(zhuǎn)化為

(8)

式(8)可以看作是關(guān)于ΔA0的2N+1階線性化代數(shù)方程組

PΔA0=G

(9)

因此，通過式(9)的迭代計算，可以求出A0的值，從而利用式(4)～式(6)求出原系統(tǒng)的解。

模型中帶量綱的參數(shù)參考Hou等的研究，無量綱化參數(shù)分別取ε=0.25,f=0.1,Kp=0.01,Ki=0.01,Kd=0.1,λ=0.5,δ=0.5。此時由增量諧波平衡法得到的關(guān)于幅值的最大值和最小值的幅頻響應(yīng)曲線，如圖2中的實線所示。由冪級數(shù)展開法得到的數(shù)值解如圖2中的圈線所示。由圖2可知，在該參數(shù)條件下，系統(tǒng)響應(yīng)中不僅存在強(qiáng)烈的主共振響應(yīng)，同時還存在二次超諧共振和三次超諧共振響應(yīng)，此時系統(tǒng)處于無碰撞狀態(tài)。很明顯，由數(shù)值解和解析解得到的結(jié)果基本重合。

(a)響應(yīng)的最大值隨激勵頻率變化的情況

3 分?jǐn)?shù)階PID控制器對齒輪振動的控制效果分析

與整數(shù)階PID控制器相比，由于分?jǐn)?shù)階PID控制器增加了兩個可調(diào)節(jié)的參數(shù)，即分?jǐn)?shù)階積分項的階次和分?jǐn)?shù)階微分項的階次，因此分?jǐn)?shù)階PID控制對齒輪系統(tǒng)振動的控制效果不僅與比例、積分、微分三項的系數(shù)密切相關(guān)，而且與分?jǐn)?shù)階積分項和分?jǐn)?shù)階微分項的階次直接相關(guān)。在第2章的參數(shù)條件下，通過調(diào)節(jié)Kp、Ki、Kd、λ、δ其中的一個參數(shù)，來分析各個參數(shù)對齒輪嚙合過程中共振幅值、共振頻率及碰撞狀態(tài)的影響。

3.1 分?jǐn)?shù)階PID控制器各項系數(shù)對齒輪振動的控制效果分析

為了分析分?jǐn)?shù)階PID控制器比例環(huán)節(jié)和積分環(huán)節(jié)的系數(shù)對系統(tǒng)振動特性的影響規(guī)律，圖3和圖4分別畫出了不同的Kp和不同的Ki對應(yīng)的系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線。由圖可以看出，隨著Kp和Ki的增大，響應(yīng)的幅值的最大值均減小，最小值均增大；共振發(fā)生的位置稍微向右偏移，但不是特別明顯。碰撞狀態(tài)沒有發(fā)生變化。

(a)Kp對幅頻曲線最大值的影響

(a)Ki對幅頻曲線最大值的影響

圖5是分?jǐn)?shù)階PID控制器的微分環(huán)節(jié)系數(shù)發(fā)生變化時，對應(yīng)的幅頻響應(yīng)曲線。由圖5可知:Kd的變化不僅影響響應(yīng)的幅值的大小和發(fā)生超諧共振和主共振的位置，還影響系統(tǒng)的碰撞狀態(tài)。即隨著微分環(huán)節(jié)系數(shù)的增加，響應(yīng)的最大值隨之減小，相反最小值隨之增大，同時共振發(fā)生的位置左移，系統(tǒng)的碰撞狀態(tài)也隨之發(fā)生變化，由最開始的雙邊碰撞轉(zhuǎn)化為單邊碰撞，當(dāng)Kd=0.1時，系統(tǒng)處于無碰撞狀態(tài)。

(a)Kd對幅頻曲線最大值的影響

3.2 分?jǐn)?shù)階PID控制器的階次對齒輪振動的控制效果分析

圖6和圖7分別為分?jǐn)?shù)階PID控制器的積分環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)的階次變化時對應(yīng)的系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線。由圖6、圖7很明顯可以看出：隨著λ的增大，二次超諧共振和主共振的幅值的最大值增大，最小值減??；而三次超諧共振的幅值的最大值減小，最小值增大；共振發(fā)生的位置右移；系統(tǒng)的碰撞狀態(tài)不受積分環(huán)節(jié)分?jǐn)?shù)階階次的影響，一直處于無碰撞狀態(tài)。隨著δ的增大，超諧共振和主共振的幅值的最大值增大，最小值減小，共振發(fā)生的位置左移，系統(tǒng)的碰撞狀態(tài)隨著δ的增大，由無碰撞轉(zhuǎn)化為單邊碰撞，當(dāng)δ繼續(xù)增大時，系統(tǒng)進(jìn)入雙邊碰撞狀態(tài)。

(a)λ對幅頻曲線最大值的影響

(a)δ對幅頻曲線最大值的影響

3.3 分?jǐn)?shù)階PID控制器和整數(shù)階PID控制器的控制效果比較

圖8是系統(tǒng)在不同方式的控制器作用下的響應(yīng)圖?；A(chǔ)參數(shù)為ε=0.25，f=0.1，其中實線是在分?jǐn)?shù)階PID控制器下的系統(tǒng)響應(yīng)，即Kp=0.01，Ki=0.01，Kd=0.1，λ=0.5，δ=0.5。雙劃線是在整數(shù)階PID控制器作用下的系統(tǒng)響應(yīng)，此時其他參數(shù)與分?jǐn)?shù)階PID控制下的參數(shù)取值一致，但是積分環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)的分?jǐn)?shù)階的階次均取為1。點線繪制的是當(dāng)Kp=0，Ki=0，Kd=0時，即無PID控制器條件下系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)。由圖8可以看出:在分?jǐn)?shù)階PID控制下的系統(tǒng)處于無碰撞狀態(tài)，而相同的條件下，在整數(shù)階PID控制器和沒有PID控制器的作用下，系統(tǒng)響應(yīng)均出現(xiàn)雙邊碰撞。另外，不論是超諧共振還是主共振，分?jǐn)?shù)階PID控制下的幅值的最大值比其他兩種情況下的值小很多。由此可以看出，分?jǐn)?shù)階PID控制器的控制效果明顯優(yōu)于相同系數(shù)的整數(shù)階PID控制器的控制效果，并且兩種控制器的控制效果都比沒有控制器的系統(tǒng)響應(yīng)好一些。

圖8 不同控制器作用下的幅頻響應(yīng)曲線Fig.8 Amplitude-frequency response curves for different controllers

在實際工程應(yīng)用中，傳動系統(tǒng)的動力學(xué)參數(shù)常存在一定的不確定性，如嚙合剛度系數(shù)和激勵幅值等，進(jìn)而造成系統(tǒng)響應(yīng)具有一定的不確定性。為了討論分?jǐn)?shù)階PID控制器對系統(tǒng)參數(shù)的魯棒性，圖9和圖10分別給出了在不同的嚙合剛度系數(shù)和不同的激勵幅值的影響下，含有整數(shù)階PID控制器和含有分?jǐn)?shù)階PID控制器時系統(tǒng)響應(yīng)的幅頻曲線。由圖9可以看出:隨著嚙合剛度系數(shù)的不斷增大，超諧共振和主共振的幅值的最大值均增大；并且隨著ε的增大，系統(tǒng)的碰撞狀態(tài)由無碰撞狀態(tài)轉(zhuǎn)化為單邊碰撞狀態(tài)，再轉(zhuǎn)化為雙邊碰撞狀態(tài)。但是超諧共振和主共振發(fā)生時對應(yīng)的頻率的大小沒有受到嚙合剛度系數(shù)的影響。另外，隨著激勵幅值的增大，響應(yīng)的幅值的最大值減小；系統(tǒng)的碰撞狀態(tài)由雙邊碰撞狀態(tài)轉(zhuǎn)化為單邊碰撞狀態(tài)，再轉(zhuǎn)化為無碰撞狀態(tài)。同樣，超諧共振和主共振發(fā)生的位置沒有受到激勵幅值的影響。由圖10可以看出:當(dāng)ε或f變化時，只對超諧共振和主共振的最大幅值產(chǎn)生一定影響，而系統(tǒng)的共振頻率和碰撞狀態(tài)均不受影響。因此，與整數(shù)階PID控制器的控制效果相比，分?jǐn)?shù)階PID控制器能夠顯示更好的性能，同時也具有一定的魯棒性。

(a)ε對幅頻曲線最大值的影響

(a)ε對幅頻曲線最大值的影響

4 結(jié) 論

(1)利用增量諧波平衡法求得的含有時變嚙合剛度、齒側(cè)間隙、傳遞誤差和含有分?jǐn)?shù)階PID控制器的齒輪副動力學(xué)模型的高階近似解析解，與直接用冪級數(shù)展開法得到的數(shù)值解吻合度很高。

(2)通過調(diào)節(jié)分?jǐn)?shù)階PID控制器各環(huán)節(jié)的系數(shù)和分?jǐn)?shù)階階次可以對響應(yīng)幅值的大小和共振頻率進(jìn)行控制。另外，分?jǐn)?shù)階PID控制器微分環(huán)節(jié)的系數(shù)和階次還可以用來控制系統(tǒng)的碰撞狀態(tài)。

(3)通過與模型整數(shù)階PID控制器和無PID控制器相比較，說明分?jǐn)?shù)階PID控制器對系統(tǒng)振動特性的控制效果明顯優(yōu)于相同系數(shù)的整數(shù)階PID控制器的控制效果，尤其是對碰撞狀態(tài)的控制。與整數(shù)階PID控制器相比，無論是嚙合剛度系數(shù)變化時，還是激勵幅值變化時，分?jǐn)?shù)階PID控制器都能夠顯示更好的性能，同時也具有一定的魯棒性。