遙測(cè)振動(dòng)信號(hào)單通道盲源分離自適應(yīng)濾波幅度校正方法

肖 瑛，馬藝偉，劉 學(xué)

(1.大連民族大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，遼寧 大連 116600；2.中國(guó)人民解放軍91550部隊(duì)94分隊(duì)，遼寧 大連 116023)

隨著盲源分離理論和算法的發(fā)展，盲分離技術(shù)在語(yǔ)音信號(hào)處理、醫(yī)學(xué)信號(hào)處理、機(jī)械故障檢測(cè)等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1]。單通道盲源分離作為欠定盲源分離的一個(gè)特例，除利用信號(hào)的稀疏特性或?qū)⑿盘?hào)通過一定變換轉(zhuǎn)化為具有稀疏特性的稀疏化盲源分離方法[2]，利用信號(hào)分解擴(kuò)維將單通道盲源分離轉(zhuǎn)化為正定分離問題的方法也得到了較好的效果，典型的如結(jié)合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解的單通道盲源分離(empirical mode decomposition and independent component analysis，EMD-ICA)[3]、結(jié)合變分模態(tài)分解的單通道盲源分離[4]和結(jié)合小波變換的單通道盲源分離[5]。在盲源分離算法的研究過程中，幅度不確定性和順序不確定性目前仍然是難以解決的技術(shù)瓶頸問題[6]。盡管在很多工程上，幅度不確定性并不影響盲源分離技術(shù)的應(yīng)用，但是，在故障檢測(cè)中，信號(hào)的幅度有時(shí)是不可忽略的一個(gè)重要因素。如在飛行器試驗(yàn)遙測(cè)振動(dòng)信號(hào)處理中，在準(zhǔn)確獲得信號(hào)所包含分量的時(shí)間頻率信息之外，各分量的能量也是檢測(cè)和診斷時(shí)的一個(gè)重要依據(jù)。此時(shí)，利用盲源分離技術(shù)來(lái)處理遙測(cè)振動(dòng)信號(hào)，對(duì)各分離分量信號(hào)進(jìn)行幅度校正就成為一個(gè)關(guān)鍵問題。

盲源分離幅度不確定性的校正目前主要有兩種方法，最小失真法和分離矩陣歸一化方法[7]。最小失真法是以分離信號(hào)與觀測(cè)信號(hào)的能量方差最小為準(zhǔn)則，隱含的約束條件是混合矩陣具有單位方差，即在混合過程中不改變?cè)葱盘?hào)的能量。分離矩陣歸一化方法以每個(gè)頻率段能量為依據(jù)，強(qiáng)制每個(gè)頻率段上的分離信號(hào)以單位陣為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行伸縮，完成幅度校正，但是對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)，以傅里葉變換為基礎(chǔ)的頻率能量估計(jì)是不準(zhǔn)確的，這一方法的適用范圍受限。文中基于EMD-ICA的單通道盲源分離過程，在最小失真準(zhǔn)則基礎(chǔ)上提出了一種基于自適應(yīng)濾波的單通道盲源分離幅度不確定性校正方法。利用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(empirical mode decomposition,EMD)得到一系列本征模態(tài)函數(shù)(intrinsic mode function,IMF)分量，在對(duì)數(shù)坐標(biāo)下依據(jù)邊際譜分布確定單通道信號(hào)所包含的獨(dú)立分量數(shù)目，并以對(duì)應(yīng)的IMF組合作為獨(dú)立分量分析(independent component analysis,ICA)的觀測(cè)信號(hào)分量實(shí)現(xiàn)盲源分離。根據(jù)分離信號(hào)數(shù)目確定橫向?yàn)V波器階數(shù)，并將分離信號(hào)作為濾波器的輸入信號(hào)分量，以濾波器輸出和原始單通道信號(hào)設(shè)計(jì)自適應(yīng)濾波算法的目標(biāo)函數(shù)，通過自適應(yīng)訓(xùn)練使算法達(dá)到收斂，并將算法收斂后的濾波器權(quán)系數(shù)作為對(duì)應(yīng)分離信號(hào)分量的幅度校正系數(shù)。仿真信號(hào)和某次飛行器試驗(yàn)中某傳感器采集得到的遙測(cè)振動(dòng)信號(hào)處理結(jié)果證明了文中提出方法的有效性。

1 EMD-ICA單通道盲源分離

1.1 EMD基本原理

希爾伯特-黃變換(Hilbert-Huang transform,HHT)是非平穩(wěn)信號(hào)的一種有效處理方法，EMD是HHT的核心內(nèi)容[8]，利用EMD可以將多分量非平穩(wěn)信號(hào)分解為具有內(nèi)蘊(yùn)物理意義的一系列IMF。與小波變換相比，EMD不需要基函數(shù)，分解過程具有自適應(yīng)性，并且已證明，EMD分解滿足局部正交性。EMD分解過程是首先找到待分解信號(hào)的所有極值點(diǎn)，利用插值方法擬合最大極值點(diǎn)和最小極值點(diǎn)的包絡(luò)線，計(jì)算得到上下包絡(luò)線的均值m(t)，從原始信號(hào)x(t)中減去m(t)，得到h1(t)[9]。

h1(t)=x(t)-m(t)

(1)

對(duì)h1(t)重復(fù)上述過程，直到h1(t)滿足IMF的條件，即極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)和過零點(diǎn)數(shù)目相同或最多相差一個(gè)，且上下包絡(luò)線關(guān)于時(shí)間軸局部對(duì)稱。這樣，得到信號(hào)x(t)的第一個(gè)IMF分量h1(t)，記作c1(t)。在原信號(hào)中減去c1(t)得到一個(gè)新的信號(hào)x1(t)。

x1(t)=x(t)-c1(t)

(2)

將x1(t)作為新的待分解信號(hào)重復(fù)上述過程繼續(xù)得到第二個(gè)IMF分量c2(t)，直到x(t)中所有的滿足IMF條件分量被分解出來(lái)達(dá)到分解結(jié)束條件時(shí)，原始信號(hào)x(t)可以表示為

(3)

式中:m為分解得到的IMF的個(gè)數(shù);r(t)為分解殘余分量，通常r(t)為信號(hào)中的長(zhǎng)周期趨勢(shì)成分，不具有實(shí)際的物理意義。

由于EMD結(jié)果僅滿足局部正交性，因此分解得到的IMF由于能量泄露、模態(tài)混疊、端點(diǎn)效應(yīng)等因素，會(huì)產(chǎn)生個(gè)別虛假分量，虛假分量也可以看作是數(shù)學(xué)計(jì)算插值過程中的產(chǎn)物。在實(shí)際進(jìn)行信號(hào)處理和分析中，對(duì)虛假分量需要進(jìn)行識(shí)別并剔除，常用的虛假分量識(shí)別方法為相關(guān)法[10]，即設(shè)定一個(gè)較小閾值，當(dāng)某一IMF分量與原信號(hào)相關(guān)系數(shù)小于該閾值時(shí)，認(rèn)為該IMF分量為虛假分量。

1.2 EMD-ICA實(shí)現(xiàn)流程

EMD-ICA單通道盲源分離的實(shí)現(xiàn)過程，如圖1所示。其中x(t)作為待分解的單通道多分量非平穩(wěn)信號(hào)，經(jīng)EMD后得到一系列IMF分量，采用適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行虛假分量剔除得到剔除虛假分量后的IMF組合，文中利用相關(guān)法進(jìn)行IMF虛假分量的檢測(cè)和剔除。IMF分量組合作為ICA的觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行盲源分離，從而得到分離信號(hào)sj(t),j=1,2,…,n，實(shí)現(xiàn)單通道盲分離。

圖1 EMD-ICA實(shí)現(xiàn)流程Fig.1 EMD-ICA implementation flow

ICA的目的是在源信號(hào)和混合矩陣未知的條件下，僅僅依靠觀測(cè)信號(hào)實(shí)現(xiàn)對(duì)源信號(hào)的估計(jì)。設(shè)源信號(hào)為S(t)=[s1(t),s2(t),…,sn(t)]T，混合矩陣為Am×n，觀測(cè)信號(hào)為X(t)=[x1(t),x2(t),…,xm(t)]T，那么混合模型[11]可以表示為

X(t)=AS(t)

(4)

如果混合矩陣的維數(shù)滿足m=n，由式(4)給出的盲源分離模型稱為正定分離問題。此時(shí)約束混合矩陣A滿足非奇異且時(shí)不變，即混合矩陣A滿秩可逆，那么必然存在一個(gè)可逆矩陣W使式(5)成立。

(5)

在采用EMD-ICA進(jìn)行單通道遙測(cè)振動(dòng)信號(hào)處理中，首先要確定信號(hào)中所包含獨(dú)立分量的數(shù)目。由于遙測(cè)振動(dòng)信號(hào)具有非平穩(wěn)特征，因此根據(jù)頻譜峰值判別的方法不嚴(yán)謹(jǐn)。相對(duì)于頻譜，邊際譜能反映信號(hào)某一頻率成分在信號(hào)周期中是否出現(xiàn)，因此邊際譜更適用于非平穩(wěn)信號(hào)的分析[13]。由于EMD分解在對(duì)數(shù)頻率坐標(biāo)下具有帶通特性，因此可以在對(duì)數(shù)頻率坐標(biāo)下依據(jù)邊際譜峰值來(lái)確定構(gòu)成原信號(hào)的獨(dú)立分量數(shù)目，并基于獨(dú)立分量數(shù)目檢測(cè)結(jié)果來(lái)組合IMF構(gòu)成ICA的觀測(cè)信號(hào)分量。

對(duì)EMD分解得到IMF分量作希爾伯特變換可以得到

(6)

從而得到對(duì)應(yīng)的解析信號(hào)

(7)

其中幅值函數(shù)為

(8)

相位函數(shù)為

(9)

對(duì)相位函數(shù)求導(dǎo)可以得到瞬時(shí)頻率為

(10)

這樣原信號(hào)就可以表示成為時(shí)間t和瞬時(shí)頻率ωi(t)的函數(shù)，稱為Hilbert譜

(11)

如果將Hilbert譜沿時(shí)間t進(jìn)行積分，就得到了邊際譜

(12)

因此可知，邊際譜表示的是每個(gè)頻率成分在全局上的幅度貢獻(xiàn)，代表了在統(tǒng)計(jì)意義上的全部幅度數(shù)據(jù)的累加，或者說邊際譜表示的是某一頻率成分在信號(hào)的整個(gè)時(shí)間歷程中出現(xiàn)過。Wu等[14]利用高斯白噪聲的EMD分解證明了EMD在對(duì)數(shù)頻率上具有帶通特性，因此，可以根據(jù)對(duì)數(shù)頻率坐標(biāo)下邊際譜的分布來(lái)確定單通道信號(hào)中所包含的獨(dú)立分量數(shù)目。

2 自適應(yīng)濾波幅度不確定性校正

根據(jù)信號(hào)的混合過程式(4)可知，由于源信號(hào)和混合矩陣均是未知的，如果對(duì)源信號(hào)乘以任意一個(gè)不為0的標(biāo)量ai，同時(shí)在混合矩陣對(duì)應(yīng)的列上乘以1/ai，那么觀測(cè)信號(hào)X(t)的幅值不會(huì)發(fā)生變化，即無(wú)法確定源信號(hào)為si(t)還是aisi(t)，從而導(dǎo)致盲源分離幅度不確定性問題的產(chǎn)生。目前，最小失真法和分離矩陣歸一化方法是解決盲源分離幅度不確定性問題的兩種有效方法，最小失真法以分離后信號(hào)與觀測(cè)信號(hào)方差最小為依據(jù)，通過矩陣變換來(lái)確定最優(yōu)分離矩陣，隱含的約束條件是混合矩陣具有單位方差，即混合矩陣不改變?cè)葱盘?hào)的幅度，但是這一約束條件具有很大的局限性。分離矩陣歸一化方法以分離信號(hào)和觀測(cè)信號(hào)在不同頻率段上的能量為依據(jù)，強(qiáng)制每個(gè)頻率段上的分離信號(hào)以單位陣為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行伸縮，完成幅度校正。設(shè)某一頻段上分離矩陣為W(f)，則最優(yōu)分離矩陣為

(13)

對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)而言，以傅里葉變換為基礎(chǔ)的頻譜分析本身就是不完善的，典型的是如果某一頻率成分間歇性出現(xiàn)在信號(hào)的時(shí)間歷程中，如果該頻率成分持續(xù)時(shí)間很短，則該頻率成分在頻譜中體現(xiàn)的能量與信號(hào)本身實(shí)際的能量相比將被衰減，極端條件下會(huì)出現(xiàn)檢測(cè)失效的情況。因此在對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)處理中，分離矩陣歸一化方法并不可靠。

根據(jù)單通道EMD-ICA的過程可知，觀測(cè)信號(hào)由EMD產(chǎn)生的IMF組合構(gòu)成，而EMD過程中的能量泄露有限，即EMD不會(huì)對(duì)單通道信號(hào)中的各獨(dú)立分量幅度產(chǎn)生影響。那么為了消除盲源分離過程中的幅度不確定性，使分離信號(hào)的和逼近原單通道信號(hào)即可。這里給出一種自適應(yīng)濾波幅度不確定性校正方法，如圖2所示。

圖2 自適應(yīng)濾波幅度校正原理框圖Fig.2 Block diagram of adaptive filter amplitude correction

(14)

根據(jù)最小失真準(zhǔn)則，利用濾波器輸出與單通道信號(hào)x(i)設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)為

J(i)=[y(i)-x(i)]2

(15)

利用隨機(jī)梯度下降算法對(duì)濾波器系數(shù)進(jìn)行更新[15]。

(16)

式中,μ為學(xué)習(xí)步長(zhǎng)，控制算法的收斂速度和精度。

(17)

e(i)=2[y(i)-x(i)]

(18)

則濾波器的更新公式可以寫為

(19)

當(dāng)算法收斂后，可以得到最優(yōu)的濾波器系數(shù)fopt，利用fopt對(duì)分離信號(hào)進(jìn)行幅度校正可以消除盲源分離的幅度不確定性問題。

(20)

算法流程可歸納如表1所示。

表1 自適應(yīng)濾波幅度校正算法流程Tab.1 Algorithm flow of adaptive filter amplitude correction

3 仿真分析與試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理

3.1 仿真分析

仿真中利用3個(gè)中心頻率不同的正弦信號(hào)疊加構(gòu)成單通道信號(hào)，采樣頻率fs=2 048 Hz，3個(gè)正弦信號(hào)的中心頻率分別為f1=5 Hz、f2=20 Hz、f3=100 Hz。

(21)

式中,幅值幅度系數(shù)bi分別設(shè)置為b1=1、b2=2、b3=4。仿真信號(hào)的時(shí)域波形及其EMD分解結(jié)果，如圖3所示，其中圖3(a)為仿真信號(hào)的時(shí)域波形，圖3(b)～圖3(g)依次為EMD分解得到的從高到低各階次的IMF分量。

(a)

(a)

(a)

(a)

(a)

(a)

仿真信號(hào)對(duì)應(yīng)的邊際譜,如圖4所示。在對(duì)數(shù)頻率坐標(biāo)下可以清晰的分辨出信號(hào)x(t)包含3個(gè)獨(dú)立分量。對(duì)x(t)分解所得到的IMF利用相關(guān)法進(jìn)行虛假分量判別和剔除，在相關(guān)法虛假分量判別中設(shè)置相關(guān)系數(shù)閾值為0.01，檢測(cè)結(jié)果顯示第5階和第6階IMF與原信號(hào)的相關(guān)系數(shù)分別為0.008 2，0.003 4，因此將第5階和第6階IMF進(jìn)行剔除。

圖4 仿真信號(hào)的邊際譜Fig.4 The marginal spectrum of simulation signal

根據(jù)邊際譜檢測(cè)結(jié)果，將第3階和第4階IMF組合構(gòu)成一路觀測(cè)信號(hào)，并與第1階和第2階IMF共同構(gòu)成ICA的三路觀測(cè)信號(hào)，采用FastICA算法進(jìn)行盲源分離，分離結(jié)果，如圖5所示，從圖5可以看出，得到的分離信號(hào)與源信號(hào)在幅度上具有較大差異。如果不對(duì)幅度進(jìn)行校正，則會(huì)對(duì)時(shí)域中統(tǒng)計(jì)參數(shù)的求取和時(shí)頻分析中能量的分析產(chǎn)生嚴(yán)重影響。

采用文中提出的自適應(yīng)濾波算法對(duì)分離信號(hào)進(jìn)行幅度校正，濾波器階數(shù)為3，學(xué)習(xí)步長(zhǎng)μ=0.001。幅度校正后的分離信號(hào)，如圖6所示。自適應(yīng)濾波均方誤差收斂曲線，如圖7所示。從圖6中可以看出，經(jīng)過自適應(yīng)濾波幅度校正，各分離信號(hào)的幅度基本與仿真信號(hào)的幅度一致。

圖7 自適應(yīng)濾波均方誤差收斂曲線Fig.7 MSE convergence curve of adaptive filtering

為量化說明自適應(yīng)濾波幅度校正有效性，利用幅度校正后的分離信號(hào)與仿真信號(hào)的方差殘差來(lái)評(píng)價(jià)幅度校正精度。

(22)

(23)

從圖8可以看出:在信噪比較低的條件下(SNR<20 dB)，分離矩陣歸一化方法幅度校正精度很差;當(dāng)信噪比較高時(shí)(SNR>20 dB)，分離矩陣歸一化方法幅度校正精度要優(yōu)于最小失真法。而在不同信噪比條件下，本文提出的自適應(yīng)濾波幅度校正方法精度均優(yōu)于分離矩陣歸一化法和最小失真法。

圖8 不同信噪比(SNR)條件下的幅度校正結(jié)果Fig.8 Amplitude correction results under different signal-noise ratio(SNR)conditions

3.2 試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理

利用某次飛行器試驗(yàn)中某一傳感器采集的高頻振動(dòng)信號(hào)處理為例來(lái)說明文中算法的有效性，采樣頻率fs=5 kHz，經(jīng)過降噪和趨勢(shì)項(xiàng)剔除的信號(hào)時(shí)域波形，如圖9所示。信號(hào)的邊際譜，如圖10所示，從圖10中可以看出，該信號(hào)包含3個(gè)獨(dú)立分量成分。對(duì)信號(hào)進(jìn)行EMD分解并利用相關(guān)法(相關(guān)系數(shù)閾值設(shè)置為0.05)剔除虛假分量，得到的IMF結(jié)果，如圖11所示。對(duì)IMF分別根據(jù)各自邊際譜與原信號(hào)邊際譜的臨近關(guān)系進(jìn)行組合，獲得三路觀測(cè)信號(hào)，利用FastICA進(jìn)行盲分離，得到的結(jié)果，如圖12所示。從圖12可以看出，由于盲源分離的幅度不確定性，分離后信號(hào)的幅值與原信號(hào)差距很大。

圖9 某次試驗(yàn)?zāi)硞鞲衅鞑杉母哳l振動(dòng)信號(hào)Fig.9 High-frequency vibration signal collected by a sensor in a test

圖10 實(shí)測(cè)高頻振動(dòng)信號(hào)的邊際譜Fig.10 The marginal spectrum of measured high frequency vibration signal

在自適應(yīng)濾波算法中，濾波器階數(shù)為3，設(shè)置學(xué)習(xí)步長(zhǎng)μ=0.001，經(jīng)過幅度校正后的分離信號(hào)，如圖13所示。幅度校正后分離信號(hào)與源信號(hào)方差的殘差平均值為0.26，證明了自適應(yīng)濾波幅度校正方法具有較高精度。

在對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理結(jié)果中可知，利用對(duì)數(shù)頻率坐標(biāo)下的邊際譜能夠更加清晰的分辨出信號(hào)中包含的獨(dú)立分量數(shù)目，自適應(yīng)濾波幅度校正方法能夠有效消除盲源分離的幅度不確定性。雖然在大多數(shù)據(jù)處理分析中，更為關(guān)心的是信號(hào)的時(shí)間頻率關(guān)系，但是信號(hào)能量也是數(shù)據(jù)分析中不可忽略的一個(gè)重要因素，圖9給出的高頻振動(dòng)信號(hào)中，包含低頻弱沖擊成分，低頻弱沖擊成分常是結(jié)構(gòu)損失觸發(fā)的原因，是飛行器試驗(yàn)中振動(dòng)信號(hào)處理必須給予高度重視的分析檢測(cè)內(nèi)容之一，而準(zhǔn)確獲取該成分的能量量級(jí)具有實(shí)際意義。

4 結(jié) 論

單通道盲源分離在非平穩(wěn)信號(hào)處理和分析中具有廣泛應(yīng)用前景，消除盲源分離幅度不確定性在很多工程應(yīng)用上具有實(shí)際意義。文中在EMD-ICA的基礎(chǔ)上，提出了利用對(duì)數(shù)頻率坐標(biāo)下邊際譜來(lái)確定單通道信號(hào)包含獨(dú)立分量數(shù)目的方法，進(jìn)一步提高了獨(dú)立分量數(shù)目判別的準(zhǔn)確性。依據(jù)最小失真準(zhǔn)則提出了一種自適應(yīng)濾波幅度校正方法，該方法在單通道盲源分離中不需約束條件，仿真結(jié)果證明與最小失真法和分離矩陣歸一化方法相比，自適應(yīng)濾波幅度校正方法具有更高精度，實(shí)測(cè)振動(dòng)信號(hào)處理結(jié)果進(jìn)一步證明了方法的有效性。