從四個維度對課堂進行評價 提升素養(yǎng)*
——以立體幾何軌跡問題教學(xué)為例

廈門外國語學(xué)校石獅分校 吳志峰

課標(biāo)指出,高中數(shù)學(xué)教學(xué)要以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,啟發(fā)學(xué)生思考,掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì),落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展.課堂學(xué)習(xí)評價有利于教師進行反思,改進教學(xué),提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.判斷一節(jié)課是否能達到課標(biāo)的學(xué)業(yè)水平要求,筆者認為可以從知識技能、思想方法、核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力四個維度進行評價.筆者結(jié)合自身教學(xué)實踐,以“立體幾何軌跡問題”教學(xué)為例,對課堂進行學(xué)習(xí)評價.

1 擬定課堂評價標(biāo)準(zhǔn)

為了落實課標(biāo)所提出的學(xué)業(yè)水平要求,根據(jù)課標(biāo)要求從四個維度擬定本節(jié)課的課堂評價標(biāo)準(zhǔn):

知識技能:(1)關(guān)注學(xué)生運用圖形概念描述圖形的基本關(guān)系和基本結(jié)果,及常見曲線的軌跡定義,評價學(xué)生對軌跡的認知水平;

(2)關(guān)注學(xué)生能否運用定義法或坐標(biāo)法求軌跡,評價學(xué)生對立體幾何軌跡的運用水平.

思想方法:(1)關(guān)注學(xué)生能否借助圖形尋找?guī)缀卧嘏c數(shù)量之間的關(guān)系,評價數(shù)形結(jié)合思想的理解水平;

(2)關(guān)注學(xué)生能否將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題,評價轉(zhuǎn)化與化歸思想的理解水平.

核心素養(yǎng):(1)關(guān)注學(xué)生能否借助圖形尋找?guī)缀卧嘏c數(shù)量之間的關(guān)系,評價直觀想象、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng);

(2)關(guān)注學(xué)生表述立體幾何軌跡問題的過程,評價邏輯推理素養(yǎng);

(3)關(guān)注學(xué)生運用定義法或坐標(biāo)法求軌跡,評價數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

關(guān)鍵能力:(1)關(guān)注學(xué)生表述立體幾何軌跡問題的過程,評價推理論證能力;

(2)關(guān)注學(xué)生運用定義法或坐標(biāo)法求軌跡,評價運算求解能力.

2 復(fù)習(xí)回顧,創(chuàng)設(shè)問題

圖1

問題1求平面軌跡問題,大家一般用什么方法處理?

生:定義法,直接法(在平面直角坐標(biāo)系下找到點的橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系式),設(shè)元消參法.

問題2能否類比平面軌跡問題來處理立體幾何中的軌跡問題?

評價：通過復(fù)習(xí)回顧,關(guān)注學(xué)生對常見曲線的軌跡定義掌握情況.若學(xué)生能在課堂上比較流暢地回答截口曲線軌跡,則可進入下一問題;若學(xué)生比較陌生,教師可通過作圖展示或嚴(yán)謹推證引導(dǎo)學(xué)生認識截口曲線軌跡.評價學(xué)生對曲線軌跡的認知水平,發(fā)展學(xué)生直觀想象及數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).

3 例題探析

例1已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4,M為DD1的中點,N為平面ABCD內(nèi)一動點.請思考下列問題1～5.

生:直線與平面所成的角即為直線與它在這個平面內(nèi)的射影所成的角,MN在平面ABCD內(nèi)的射影為DN,則|DN|=2.根據(jù)圓的定義,可知點N的軌跡是以D為圓心,半徑為2的圓.

追問1:若求線段MN中點P的軌跡呢?

生:在△DMN中,取DM中點Q,則|PQ|=1,且PQ⊥DD1,則點P的軌跡以Q為圓心,半徑為1的圓.

圖2

評價：問題1關(guān)注學(xué)生能否將線面所成角轉(zhuǎn)化為線線所成角,從而將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題進行處理.追問1關(guān)注學(xué)生能否將空間點P的軌跡問題轉(zhuǎn)化為繞DD1旋轉(zhuǎn)的圓柱被一個垂直于軸的平面截得的圓.追問2通過球面與正方體表面相交引導(dǎo)學(xué)生想象曲面與平面相交的問題,關(guān)注學(xué)生能否將交線問題轉(zhuǎn)化為平面截球面所得截口曲線問題.截口曲線并不是完整的圓,需要通過角度判斷曲線的長度;若學(xué)生能較好地回答,則可以順利通過,若學(xué)生比較難理解,可以將球被平面截得的截口曲線作出.培養(yǎng)轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,發(fā)展學(xué)生的空間想象、邏輯推理核心素養(yǎng),提高運算求解能力.

問題2若△AC1N的面積為定值,則點N的軌跡是什么?

生:若S△AC1N為定值,又線段AC1長度已知,則點N到直線AC1的距離為定值,即點N在以AC1為軸,定長為半徑的圓柱(圓柱沒有高度)上.又因為點N在平面ABCD內(nèi),所以用一個與旋轉(zhuǎn)軸AC1不垂直的平面截圓柱,截口曲線為橢圓,即點N的軌跡.

問題3若點N到直線BB1與直線DC的距離相等,則點N的軌跡是什么?

生:由題意知點N到點B與直線DC的距離相等,根據(jù)拋物線的定義知點N的軌跡是拋物線.

追問3:若平面A1BCD1內(nèi)一動點P到直線AB1和BC的距離相等,則點P的軌跡是什么?

生:設(shè)AB1∩A1B=O,則PO表示點P到直線AB1的距離.因為平面A1BCD1內(nèi)一動點P到直線AB1和BC的距離相等,所以PO與點P到直線BC的距離相等.根據(jù)拋物線的定義,可得點P的軌跡為拋物線．

追問4:若點P在平面CDD1C1內(nèi),滿足∠A1BD1=∠PBD1,則動點P的軌跡是什么?

生:點P在以B為頂點,BD1為對稱軸,A1B為母線的圓錐與平面CDD1C1的交線上,又A1B∥平面CDD1C1,所以與圓錐母線平行的平面截圓錐得到的截口曲線是拋物線,即點P的軌跡．

評價：關(guān)注學(xué)生對圓錐曲線定義的掌握情況,評價學(xué)生對軌跡的認知,發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模、空間想象、邏輯推理核心素養(yǎng).

問題5對于問題4,還可以用什么方法來處理?

圖3

所以點N的軌跡為雙曲線．

評價：關(guān)注學(xué)生用幾何法處理問題不容易時,能否想到可通過坐標(biāo)法實現(xiàn),對比各自的優(yōu)缺點,評價轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想;關(guān)注學(xué)生能否運用定義法或坐標(biāo)法求軌跡問題,評價學(xué)生對立體幾何軌跡問題的運用水平;關(guān)注學(xué)生能否借助圖形尋找?guī)缀卧嘏c數(shù)量之間的關(guān)系及將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題,評價數(shù)形結(jié)合思想及轉(zhuǎn)化與化歸思想的理解水平;關(guān)注學(xué)生通過不同方法表述軌跡的過程,發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理素養(yǎng),培養(yǎng)學(xué)生推理論證及運算能力.

例2如圖4,設(shè)點M是長方體ABCD-A1B1C1D1的棱AD的中點,AD=AA1=4,AB=5,點P在面BCC1B1上,若平面D1PM分別與平面ABCD和平面BCC1B1所成的銳二面角相等,則點P的軌跡為( ).

圖4

A．橢圓的一部分 B．拋物線的一部分

C．一條線段 D．一段圓弧

圖5

圖6

評價：例2、例3關(guān)注學(xué)生求解軌跡問題的方法選擇,坐標(biāo)法中坐標(biāo)的正確書寫,幾何法中量的正確表達以及運算求解能力.通過方程的形式判斷軌跡及表述軌跡的過程,關(guān)注學(xué)生能否將線面交點問題轉(zhuǎn)化為線線交點問題,例3中交點Q的軌跡是平面與平面的交線,尋找這條線的關(guān)鍵是找出兩個交點.評價數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想的理解水平;發(fā)展學(xué)生直觀想象、邏輯推理核心素養(yǎng),培養(yǎng)推理論證、運算求解能力.

4 課堂練習(xí)

(1)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運動,并且保持AP⊥BD1,則動點P的軌跡為( ).

A．線段B1CB．線段BC1

C．BB1的中點與CC1的中點連成的線段

D．BC的中點與B1C1的中點連成的線段

(2)已知異面直線a,b成60°角,其公垂線段為EF,|EF|=2,長為4的線段AB的兩端點分別在直線a,b上運動,則AB中點的軌跡為( ).

A．橢圓 B．雙曲線

C．圓 D．以上都不是

評價：通過課堂鞏固練習(xí),加深對立體幾何軌跡問題的認知,反饋學(xué)生對本節(jié)課內(nèi)容的掌握情況,進一步發(fā)展學(xué)生的能力.

5 課堂小結(jié)與課后練習(xí)

本文從略,可掃碼觀看具體內(nèi)容.

根據(jù)學(xué)生的認知規(guī)律,合理地設(shè)計教學(xué)過程,再進行學(xué)習(xí)評價,這樣不僅可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,提高他們的自我認知,更好地落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),也有利于教師進行教學(xué)反思,改進教學(xué),提高教學(xué)質(zhì)量.