思維接力：小初銜接的應(yīng)然視角
——以“數(shù)的運(yùn)算”為例

江蘇省蘇州市彩香實(shí)驗(yàn)小學(xué)校 陸 椿

分析小初數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接問(wèn)題，筆者以為，首要是關(guān)注并解決好思維銜接的問(wèn)題。以“數(shù)的運(yùn)算”為例，初中階段的內(nèi)容較之于小學(xué)有兩大顯著變化：一是數(shù)的范圍擴(kuò)充到有理數(shù)領(lǐng)域，數(shù)的運(yùn)算也相應(yīng)地在加、減、乘、除四則運(yùn)算的基礎(chǔ)上引入了乘方、開(kāi)方運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)了由局部到全局的跨越。二是研究領(lǐng)域從“數(shù)”擴(kuò)充到“式”，從算術(shù)運(yùn)算向代數(shù)運(yùn)算過(guò)渡，這是學(xué)生在認(rèn)知上由具體到抽象、由特殊到一般的跨越。

一、類(lèi)比：溝通思維的聯(lián)系

無(wú)論是小學(xué)還是初中，基本算理是一脈相承的。教學(xué)中應(yīng)關(guān)注知識(shí)整體，溝通不同單元板塊之間的內(nèi)在聯(lián)系，并做適當(dāng)延伸。在“數(shù)的運(yùn)算”的復(fù)習(xí)中，出示如下題組：上述由整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)三個(gè)計(jì)算組成的題組，學(xué)生在計(jì)算得到正確結(jié)果方面顯然不存在困難。重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生以此來(lái)分別復(fù)習(xí)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加（減）法的計(jì)算法則。這三種運(yùn)算表面上看有比較大的差異：整數(shù)加（減）法要求相同數(shù)位對(duì)齊；小數(shù)加（減）法要求小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊；而分?jǐn)?shù)加（減）法關(guān)鍵是要統(tǒng)一分?jǐn)?shù)單位。繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生從表面走向深入：實(shí)質(zhì)上三則計(jì)算法則的核心都是相同計(jì)數(shù)單位方可直接相加減，異分母分?jǐn)?shù)之所以不能直接相加減是因?yàn)樗鼈兊姆謹(jǐn)?shù)單位不統(tǒng)一，需要轉(zhuǎn)異為同。在學(xué)生初步感悟到“數(shù)的加減運(yùn)算，就是‘基本單位’相同情況下，‘基本單位’的個(gè)數(shù)的加減運(yùn)算”的基礎(chǔ)上，拓展思維，如：4a+5a，“基本單位”是a，就是4個(gè)a加5個(gè)a等于9個(gè)a，即9a；6ab-2ab，“基本單位”是ab，就是6個(gè)ab減2個(gè)ab等于4個(gè)ab，即4ab。如此嘗試用“基本單位”的思維方法來(lái)進(jìn)行含有字母的式子的加減運(yùn)算，學(xué)生進(jìn)入初中后，通過(guò)類(lèi)比便能更快地掌握和理解式的運(yùn)算。

在小學(xué)階段的教學(xué)中，還有很多地方可進(jìn)行上述類(lèi)比，本文就不一一列舉了。小學(xué)階段的計(jì)算教學(xué)，大多通過(guò)生活情境引入。如整數(shù)的四則混合運(yùn)算，就是通過(guò)模擬購(gòu)物，先分步再綜合，最后得出運(yùn)算順序。這樣的編排，符合小學(xué)生的年齡特征，也利于學(xué)生通過(guò)現(xiàn)實(shí)情境來(lái)理解先乘除再加減的運(yùn)算順序。進(jìn)入初中后，引入了乘方和開(kāi)方運(yùn)算，由二級(jí)運(yùn)算拓展到三級(jí)運(yùn)算。因此在教學(xué)中，可結(jié)合情境向?qū)W生說(shuō)明：從運(yùn)算的發(fā)展來(lái)看，加減法是最基本的運(yùn)算，乘法是相同加數(shù)連加的簡(jiǎn)便運(yùn)算，除法則是遞減相同減數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算（也是乘法的逆運(yùn)算），乘除法比加減法高一級(jí)。因此，“先乘除再加減”既是解決實(shí)際問(wèn)題的需要，也是根據(jù)數(shù)學(xué)的發(fā)展而規(guī)定的。而乘方（開(kāi)方）則是第三級(jí)運(yùn)算，乘方可以看作是乘法的簡(jiǎn)便運(yùn)算，要優(yōu)先計(jì)算，這是由法則本身的形成及法則之間的關(guān)系規(guī)定的。這樣就便于學(xué)生循序漸進(jìn)地理解和掌握三級(jí)運(yùn)算的運(yùn)算順序。

教學(xué)中還要注意溝通四則運(yùn)算的意義、算理和算法、運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)之間的聯(lián)系。理解運(yùn)算律（特別是乘法分配律）和運(yùn)算性質(zhì)的本質(zhì)和作用，溝通一級(jí)運(yùn)算和二級(jí)運(yùn)算之間的聯(lián)系。溝通“數(shù)”與“式”的聯(lián)系，通過(guò)類(lèi)比將“數(shù)的運(yùn)算”過(guò)渡到“式的運(yùn)算”。挖掘教材中的銜接點(diǎn)，如乘方、解方程、面積和體積的公式計(jì)算等，主動(dòng)實(shí)現(xiàn)小初的整體銜接。

二、遷移：感悟思維的遞進(jìn)

從“數(shù)”到“式”的變化，是初中階段顯著的一個(gè)變化。用字母表示數(shù)是小初銜接的一項(xiàng)重要內(nèi)容，是初中階段學(xué)習(xí)代數(shù)式、整式的基礎(chǔ)。如：兒子今年a歲，爸爸的年齡是兒子的4倍，媽媽比兒子大26歲，則爸爸年齡為4a歲，媽媽年齡為（a+26）歲。這些關(guān)系，在小學(xué)稱(chēng)為用字母表示數(shù)，而到了初中，4a我們稱(chēng)為單項(xiàng)式，a+26為代數(shù)式。小學(xué)階段可適當(dāng)加強(qiáng)用字母表示稍復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系的教學(xué)，以順利過(guò)渡到初中“式”的運(yùn)算。

小學(xué)階段的運(yùn)算主要是“數(shù)”在參與運(yùn)算，而初中階段則進(jìn)入了代數(shù)式的領(lǐng)域——整式、分式、有理式、代數(shù)式等，更強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，也更抽象，更能解決問(wèn)題。從思維層面來(lái)說(shuō)，無(wú)論是“數(shù)”還是“式”，其實(shí)質(zhì)都是基于乘法分配律的運(yùn)算。乘法分配律:（a+b）×c=a×c+b×c，拓展時(shí)可以把括號(hào)內(nèi)的兩個(gè)數(shù)增加到三個(gè)數(shù)或更多數(shù)，如（a+b+c）×d=a×d+b×d+c×d，這是從量上進(jìn)行拓展。還可以安排這樣的思維訓(xùn)練：

求圖1所示樓層的總面積，可以這樣算：12b+12b+12b+ab=36b+ab；也可以這樣算：（12+12+12+a）×b=（36+a）×b。這兩種算法都是正確的，通過(guò)兩種算法滲透運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行合并同類(lèi)項(xiàng)的基本方法。

圖1

另外在小學(xué)階段，還可加強(qiáng)運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算的各種變式練習(xí)，如：4.44×3.3+2.22×3.4=（2.22×2）×3.3+2.22×3.4=2.22×6.6+2.22×3.4=2.22×10=22.2；3333×2222÷6666=（3×1111）×（2×1111）÷（6×1111）=1111。通過(guò)讓學(xué)生找相同的“數(shù)”（即相同的“項(xiàng)”），體會(huì)“合并”的數(shù)學(xué)思想方法。

從“數(shù)”到“式”，雖然外在“形”的變化很大，但實(shí)質(zhì)上與小學(xué)階段學(xué)過(guò)的運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)是一致的。在小初銜接中，我們就要抓住這一“變”與“不變”的辯證關(guān)系，進(jìn)行滲透。如整式的運(yùn)算中，去括號(hào)是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，其實(shí)去括號(hào)也可以利用小學(xué)階段的乘法分配律或減法的性質(zhì)來(lái)說(shuō)明。因此在小學(xué)階段，應(yīng)加強(qiáng)運(yùn)用運(yùn)算定律和運(yùn)算性質(zhì)的訓(xùn)練，達(dá)到知識(shí)遷移的目的。

三、推理：體會(huì)思維的延展

教材的知識(shí)體系是根據(jù)學(xué)生的年齡特征和認(rèn)知規(guī)律交替螺旋上升編排的，學(xué)生的思維要經(jīng)歷不同階段的延伸、拓展和豐富，由淺入深，最終形成清晰和完整的概念。因此，我們要建立小初銜接的整體理念，主動(dòng)進(jìn)行思維推理。如蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)安排了《用字母表示數(shù)》，其中涉及“平方”的知識(shí)，即“a×a可以寫(xiě)成a·a，也可以寫(xiě)成a2，a2讀作a的平方”。在六年級(jí)上冊(cè)《長(zhǎng)方體和正方體》中涉及“立方”的知識(shí)，即“a·a·a也可以寫(xiě)成a3，讀作a的立方，a3表示三個(gè)a相乘”。在七年級(jí)上冊(cè)《有理數(shù)》中，則對(duì)“有理數(shù)的乘方”進(jìn)行了系統(tǒng)的教學(xué)，指出：“一個(gè)數(shù)的二次方，也稱(chēng)為這個(gè)數(shù)的平方；一個(gè)數(shù)的三次方，也稱(chēng)為這個(gè)數(shù)的立方?！币源藴贤ㄇ昂笾R(shí)間的聯(lián)系，明確“平方”和“立方”的實(shí)質(zhì)都是“求相同因數(shù)的積的運(yùn)算”。

小學(xué)階段關(guān)于“平方”和“立方”的學(xué)習(xí)主要是讓學(xué)生理解它們的意義、讀法和寫(xiě)法，以及作為計(jì)量單位（如cm3、m2）的表示方式和含義。到了初中，“乘方”則作為一級(jí)運(yùn)算直接參與到有理數(shù)的混合運(yùn)算中。因此，我們?cè)谛W(xué)階段可以滲透以下幾個(gè)方面的教學(xué)：

首先，讓學(xué)生理解a2和a3的意義，a2=a×a，表示2個(gè)a相乘；2a=a+a，表示2個(gè)a相加。對(duì)比兩者在“形”與“意”方面的異同。也可以讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)b3表示的意義。

其次，適當(dāng)安排簡(jiǎn)單的乘方運(yùn)算，如32=3×3=9，43=4×4×4=64。在運(yùn)算的時(shí)候，強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生寫(xiě)出過(guò)程，即幾個(gè)幾相乘，以加深對(duì)乘方意義的理解。除了求整數(shù)的乘方外，還可以安排小數(shù)和分?jǐn)?shù)的乘方運(yùn)算，如0.12=0.1×0.1=0.01，0.23=0.2×0.2×0.2=0.008。需要特別指出的是，求某個(gè)分?jǐn)?shù)的二次方或三次方，在形式上應(yīng)該用小括號(hào)把分?jǐn)?shù)整個(gè)括起來(lái)，同時(shí)分子和分母都要參與運(yùn)算。

第三，滲透含有乘方的混合運(yùn)算的運(yùn)算順序。雖然含有乘方的混合運(yùn)算是七年級(jí)的全新內(nèi)容，但小學(xué)階段其實(shí)也有所涉及。如圓的面積計(jì)算公式S=πr2，圓柱的體積計(jì)算公式v=πr2·h，學(xué)生都知道要先算“半徑的平方”，再依次計(jì)算其他步驟。教師可強(qiáng)調(diào)類(lèi)似含有“平方”的需要優(yōu)先計(jì)算，并安排一些練習(xí)讓學(xué)生計(jì)算和體會(huì)，如32-23，82-14，8+22，等等。需要注意的是，含有乘方的混合運(yùn)算，除乘方運(yùn)算本身外，其他以一步為宜。

最后，在六年級(jí)總復(fù)習(xí)階段，復(fù)習(xí)到“平方”和“立方”的知識(shí)時(shí)，也可以進(jìn)行一下適當(dāng)拓展，如：10×10寫(xiě)作102，10×10×10寫(xiě)作103，那10×10×10×10可以寫(xiě)作什么呢？讓學(xué)生通過(guò)找規(guī)律的形式，合情推理，為后續(xù)學(xué)習(xí)做鋪墊。

總之，當(dāng)小初過(guò)渡中思維實(shí)現(xiàn)了無(wú)縫銜接，其他諸如教學(xué)方式、知識(shí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)習(xí)慣等方面的問(wèn)題也就迎刃而解了。